Secundaria Calcular aceleración gravitatoria con un péndulo

[angel relativamente]

Hola compañeros. Sobra decir que si estoy creando un hilo es porque hay un problema que está cumpliendo su cometido: ser un problema. El enunciado dice así:


Para medir la aceleración de la gravedad utilizando la ley del péndulo se realizan una serie de medidas cuyo resultado muestra la siguiente tabla:


a) Añadir a la tabla una columna con los valores del período de la oscilación ($T$) y otra con los de $T^2$

b)Representar gráficamente L frente a $T^2$ y ajustar una recta.

c) Utilizando la pendiente de la recta ajustada y la fórmula teórica correspondiente, calcula el valor de la gravedad.

El apartado a) creo haberlo hecho sin problemas:


A la hora de hacer la gráfica, no sale una recta, pero sí algo muy parecido. Supongo que eso es debido a pequeños errores que puedan haber habido en la medición y por eso dice "ajusta la recta". Pero, ¿cómo he de hacer para ajustarla?

El apartado c no podía hacerlo sin el b, pero aun así me surgen dudas. Aun habiendo ajustado la recta, ¿qué representa la pendiente de la misma y por qué?


Se que la fórmula del período del péndulo es:

$$T=2\pi \cdot \dst \sqrt{\dfrac Lg}\qquad \Longrightarrow \qquad g=\dfrac{4{\pi}^2L}{T^2}$$

y con ella he calculado directamente las aceleraciones de la gravedad de cada medición, que rondan entre $9.74\; m/s^2$ y $9.94\; m/s^2$
(deduzco de que son mediciones tomadas en la superficie de la Tierra). Y luego puedo hacer una media aritmética de todos los valores que da aproximadamente $9.8 \; m/s^2$. Pero no era eso lo que me pedían.
Si alguien puede aportar algo al problema, bienvenidas sean sus palabras

Saludos, Ángel

[javier m]

Re: Calcular aceleración gravitatoria con un péndulo

El apartado c no podía hacerlo sin el b, pero aun así me surgen dudas. Aun habiendo ajustado la recta, ¿qué representa la pendiente de la misma y por qué?

pues supongo que

$m=\dfrac{dL}{dT^2}=(\dfrac{gT^2}{4\pi^2})'=g/4\pi^2$

[pod]

Re: Calcular aceleración gravitatoria con un péndulo

Tienes que hacer una regresión lineal. La hacen las calculadoras, cualquier hoja de cálculo, etc. También la puedes hacer a mano, pero es un coñazo.

De la misma fórmula que pones, fíjate que se puede obtener

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} L .$$

Así que fíjate que si representas $T^2$ frente a $L$ te saldra una recta del estilo $T^2 = a L + b$, donde la pendiente es $a = 4\pi^2/g$ y la coordenada en el orígen $b= 0$ (no te saldrá exactamente cero, por errores estadísticos y todo eso, pero te debería salir muy pequeña).

La regresión lineal te dice justamente los datos de la recta que mejor se amolda a los datos que tiene, es decir, te dará "a", lo cual te permitirá calcular la gravedad.

Esta es una técnica muy común en física. Como los experimentos siempre tienen fuentes de error que no podemos controlar, lo que hacemos es muchas repeticiones para "acumular estadística". Después, buscamos los parámetros que mejor se ajustan al conjunto de todas las mediciones. Proporciona mucha mayor precisión de la que se podría conseguir con mediciones independientes. La gracia es que los errores incontrolables a veces serán "hacia arriba", otras "hacia abajo", así que al tener una amplia estadística, los errores se irán compensando.

[Ulises7]

Re: Calcular aceleración gravitatoria con un péndulo

A la hora de hacer la gráfica, no sale una recta, pero sí algo muy parecido. Supongo que eso es debido a pequeños errores que puedan haber habido en la medición y por eso dice "ajusta la recta". Pero, ¿cómo he de hacer para ajustarla?

Efectivamente no te sale una recta ya sea por errores sistemáticos o aleatorios, en éste caso los errores son debido sobretodo a la hora de obtener el período, también existe un error a la hora de medir la longitud del péndulo pero éste es menor.

Lo que tienes que hacer es una regresión lineal, las calculadoras modernas tienen ésa opción, también los programas de gráficas básicos como el del open office también pueden, si no te da pereza puedes hacerlo a mano también, la expresión de la recta de regresión te da la recta que más se aproxima al conjunto de puntos que tienes. De ésta recta te interesa el pendiente que es:

$$T^2 = \dfrac{4 \pi^2}{g} L$$

$$m = \dfrac{4 \pi^2}{g}$$

Al conocer el pendiente de la recta obtienes la aceleración de la gravedad según el experimento realizado, puedes hacer propagación de errores para obtener el error asociado a la medición del valor de la gravedad.

Todo ésto es cierto únicamente para péndulos simples y para ángulos de separación pequeños.


Ésta es una típica práctica de laboratorio fundamental, en si, es muy sencilla pero para poder hacerlo hay que haber dado regresiones lineales y propagación de errores.

pd: pod se me adelantó xD.

Saludos.

[polonio]

Re: Calcular aceleración gravitatoria con un péndulo

Este documento de podrá ayudar (aquí y en otras prácticas). Para la recta de regresión lee el apartado 5.

Y en esta página tienes enlaces en el apartado "Herramientas estadísticas" desde los que te puedes descargar hojas de cálculo ya programadas en formato excel.

[angel relativamente]

Re: Calcular aceleración gravitatoria con un péndulo

Muchas gracias a los 4
Repasandome la estadística de 1º de bach he visto lo de regresión lineal.

De la misma fórmula que pones, fíjate que se puede obtener:

$$T^2 = \dfrac{4 \pi^2}{g} L$$

Pero puesto que me están pidiendo L frente a $T^2$ y no al revés la recta correspondiente sería, si no me equivoco:

$$L=\dfrac{g}{4{\pi}^2}T^2$$

La pendiente sería pues:

$$m=\dfrac{g}{4{\pi}^2}$$

Entonces una vez sacada la recta de regresión, igualo la pendiente a esta última expresión, despejo g y santas pascuas

EDITADO: Mi calculadora me da la recta:

$L=25T^2 -0.16$

Que podemos redondear a:

$L=25T^2$

Igualando las pendientes:

$g=25\cdot 4{\pi}^2\approx 987 \; cm/s^2$



De nuevo, ¡gracias!