1r ciclo Trabajo cinematica (tenis)

[michaell]

Hola a todos de nuevo!

En esta ocasion me han planteado un pequeño trabajo, en el que hay que describir las trayectorias de una pelota de tenis, en funcion del efecto que le imprimamos.

Lo que hay que hacer basicamente es describir las trayectorias de pelotas con
efecto “cortado” y “liftado”, obteniendo las funciones posición y velocidad
en función del tiempo, bajo las condiciones:
La aceleración debida al efecto es proporcional a la velocidad, y perpendicular a ella, de forma que:
para el efecto “cortado”: (ax, ay) = (-K vy, K vx);
para el “liftado”: (ax, ay) = (K vy, -K vx),
teniendo en cuenta que K es una constante de proporcionalidad dada.
Nota: hay que tener en cuenta la atraccion gravitatoria.

Bueno pues en principio yo he tomado esas aceleraciones y sabiendo que:
v= \int a dt y x= \int v dt he obtenido las funciones velocidad y posicion.
Pero luego me he dado cuenta de que las aceleraciones que dan en el enunciado no estan en funcion del tiempo, por lo que no se puede integrar directamente como he hecho yo xd

Mi duda se debe a que no se muy bien como plantear/resolver las ecuaciones diferenciales que aparecen, si alguien que controle mas esos temas puede ayudarme le estaria sumamente agradecido

Un saludo, y muchas gracias

[carroza]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Bonito problema.

Escribe las velocidades en polares: $v_x = v \cos \phi$, $v_y = v \sin \phi$.
Verás, al aplicar las ecuaciones de la movimiento, que v es constante, y $\phi$ varía con el tiempo de una forma muy sencilla.

[michaell]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Esa parte creo que la compredo, expresar las velocidades en polares ya lo tenia, pero el lio llega cuando tengo que integrar para hallar las funciones velocidad y posicion a partir de la aceleracion. Como las componentes de la aceleracion varian con la componente contraria de la velocidad me hago un lio.

Bueno y una cosilla mas, no llego a entender eso de la relacion existente entre el angulo y el tiempo U_U

Gracias de nuevo!

[dvc]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Bueno, seguramente se podrá hacer de una manera más sencilla que esta pero yo lo resolvería así:
Para el efecto liftado, nos dan estas dos ecuaciones:
x'' = -k*y' (ec.1)
y'' = -k*x' -g*t (ec.2)
(Todas las derivadas son respecto al tiempo)
En la ecuación 2 he añadido el término -g*t ya que, además de la aceleración debida al efecto, hay que tener en cuenta la aceleración debida a la gravedad.
Integrando la ecuación 1, obtenemos que:
x' = -k*y + C (ec.3)
Donde C es una constante que depende de las condiciones iniciales.
Sustituyendo 3 en 2 obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
y''+k^2*y - k*C + g*t = 0
Como no se todavía como resolver este tipo de ecuaciones diferenciales los meto en un programa y, si no meto la pata, me da que la solución es:

y(t) = c2 sin(k*t) + c1 cos(k*t) +C/k +g*t/(k^2)

Donde c2 y c1 son constantes que también dependen de las condiciones iniciales.
derivando obtienes también vy(t) y ay(t)

Para hallar x(t) primero integro la ecuación 2 obteniendo:
y' = k*x -g*(t^2)/2 +D
Donde D depende de las condiciones iniciales
Sustituyendo y' en 1 se obtiene que:
x'' + (k^2)*x =(1/2) *k*g*t^2 - k*D
La solución de esta ecuación diferencial si no me equivoco es:
x(t)= d2*sin(k*t)+d1*cos(k*t)+1/2 *k*g*t^2 - k*D
Donde d1 y d2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
Derivando, obtienes vx(t) y ax(t).

Para resolver el problema con el efecto "cortado" se hace lo mismo.

@Carroza:
Si no me equivoco, v solo sería constante si no hubiera gravedad.
Igual se puede resolver el problema como si no hubiera gravedad y luego añadiéndole algún término g por ahi pero no me atrevo jeje.

[angel relativamente]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

dvc por lo que más quieras, mete tus ecuaciones en $\LaTeX$. Aquí tienes un manual de cómo hacerlo. Será más cómodo para los que te leen, pues si no lo usas, además de que es poco estético, puedes crear confusiones a la hora de decir a/b+c ¿quieres decir: $\dfrac{a}{b+c}$ o $\dfrac{a}{b}+c$ ?
Y un lenguaje como es este siempre es útil de aprender, no solo para este foro.
¡Saludos!

[dvc]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

@Angel:
Tienes razón, pero es que todavía no se escribir las ecuaciones en Latex. En cuanto aprenda, escribiré las ecuaciones en Latex.
Por cierto, acabo de ver que hay algún fallo en mi solución pero no sé dónde. He obtenido x(t) e y(t) en función de 6 parámetros: c1, c2, d1, d2, C y D. Sin embargo, sólo tengo "4 condiciones iniciales" (en t=0 puedo conocer los valores de x, vx, y, vy).

[michaell]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Aiiba claro, no habia pensado lo de sustituir una ecuacion dentro de la otra y obtener asi la ecuacion diferencial final, porque a mi me quedaba la velocidad de una componente en funcion de la posicion de la otra xD

Un pequeña cuestion, en la integral que da lugar a la (ec.3) x' = -k*y + C
no falta un "t" es decir, x' = -k*y*t + C

PD: voy a mirar ese post de como usar , gracias por la aportacion

[dvc]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Michael:
No falta ningún t en la ecuación 3. Tenemos que y' es la derivada de y respecto del tiempo. Por tanto, al integrarlo nos queda la propia función:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -k\frac{dy}{dt}$$

Pasando un dt a otro lado:

$$\frac{d^2x}{dt^2}dt = -kdy$$

Luego nos queda que:

$$\int{\frac{d^2x}{dt^2}dt} =\int{ -kdy}$$

Y, por tanto, nos queda que:

$$\frac{dx}{dt} ={ -ky + C}$$

[angel relativamente]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

dvc, veo que vas cogiéndole práctica al manejo de las ecuaciones en $\LaTeX$

Aiiba claro, no habia pensado lo de sustituir una ecuacion dentro de la otra y obtener asi la ecuacion diferencial final, porque a mi me quedaba la velocidad de una componente en funcion de la posicion de la otra xD

Michaell, si dvc te ha servido de ayuda, deberías de darle un "gracias". Y no me estoy refiriendo a escribirle gracias, eso desde luego hay que hacerlo siempre, sino a el botón que hay debajo de cada mensaje. Los gracias no dan de comer, al menos que yo sepa no hay ningún lugar en el foro donde los intercambien por dinero, pero le das reputación al usuario para que en ocasiones póstumas la gente sepa que es una persona de confianza.
Saludos

[carroza]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

@Carroza:
Si no me equivoco, v solo sería constante si no hubiera gravedad.
Igual se puede resolver el problema como si no hubiera gravedad y luego añadiéndole algún término g por ahi pero no me atrevo jeje.

Yo he supuesto que las dimensiones x e y son horizontales, por lo que el movimiento en el eje z es el único afectado por la gravedad.

En ese caso, la componente horizontal de la velocidad ($v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$) se conserva.

Sy y es la dimensión vertical, entonces la solución de dvc es correcta.


Angel; Espero que los agradecimientos no sólo valgan para ocasiones "postumas".

[michaell]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Lo siento chicos , aun no estoy muy familiarizado con el foro y no habia caido en lo de los agradecimientos del perfil. Pero lo soluciono en un momento jejeje

Muchas gracias a todos de verdad! en especial a dvc que se ha currado todo el problema

Un saludo.

[carroza]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

Por cierto, acabo de ver que hay algún fallo en mi solución pero no sé dónde. He obtenido x(t) e y(t) en función de 6 parámetros: c1, c2, d1, d2, C y D. Sin embargo, sólo tengo "4 condiciones iniciales" (en t=0 puedo conocer los valores de x, vx, y, vy).

Hola. Tus constantes no son independientes. De hecho, debe cumplirse que C1=D2 y C2=-D1.

[Zhisi]

Re: Trabajo cinematica (tenis)

¿Lo has entregado ya o no? El último día para entregarlo fue ayer viernes...
Por cierto ¿eres del turno de mañana o de tarde? pensaba que de todo el curso solo dos personas conocíamos este fantástico foro jajajajaja!

Un saludo.