1r ciclo Oscilador armónico isótropo

[Arri]

¡Hola a todos!

Tengo grandes dudas conceptuales respecto al oscilador armónico isótropo. Lo estoy estudiando a partir del libro de texto "Classical Mechanics" de "Tom W.B. Kibble" y, muchas veces, se queda falto de explicaciones para mi gusto.

Lo que no entiendo de este concepto es, principalmente, que no llego a visualizar cómo es ese movimiento ¿Cómo es una oscilación en 3D?

Otra de mis dudas es la siguiente: al resolver la ecuación del movimiento, tenemos una ecuación tal que:

$\vec r= \vec c \cos\omega t + \vec d\sin \omega t$

De forma que r está en el plano generado por c y d. Después hace un cambio en la ecuación para que, en lugar de tener el vector posición en función de estos vectores c y d, estén en función de dos vectores ortogonales, de manera que tenemos:

$\vec r= \vec a \cos(\omega t + \theta) + \vec b \sin (\omega t + \theta)$

Siendo $\theta$ tal que:

$\tan 2\theta = \frac{2\vec c \vec d}{{\vec c}^{ 2} -{\vec d}^{2}}$

Entiendo cómo llega a estos resultados y por qué el ángulo \theta tiene que cumplir que la tangente de su ángulo doble sea eso. Lo que no entiendo es que, en todo momento, se refieren a la trayectoria del movimiento como una órbita ¿por qué es así? ¿por qué "saben" que es una órbita? No termino de ver que un supuesto "oscilador en 3D" tenga como resultado de movimiento una órbita. Y otra cosa importante ¿Qué significado físico tiene el ángulo $\theta$?

Simple y llanamente: no entiendo qué es un oscilador isótropo. Entiendo las ecuaciones, pero no sé qué significan, no sé "visualizarlas".

Gracias de antemano (y siento mi ausencia en el foro, aunque visto cómo está internet, los libros de texto y demás, creo que voy a empezar a frecuentarlo más)

¡Un saludo!

[pod]

Re: Oscilador armónico isótropo

Lo que no entiendo de este concepto es, principalmente, que no llego a visualizar cómo es ese movimiento ¿Cómo es una oscilación en 3D?

Puedes imaginarla como la composición de tres MAS en los tres ejes coordenados. Los tres MAS tendrán la misma frecuencia y período, pero pueden tener distintos desfases y amplitudes.

Lo que no entiendo es que, en todo momento, se refieren a la trayectoria del movimiento como una órbita ¿por qué es así? ¿por qué "saben" que es una órbita? No termino de ver que un supuesto "oscilador en 3D" tenga como resultado de movimiento una órbita.

Por órbita entendemos un movimiento restringido en el espacio al rededor de un centro de fuerzas. Como el potencial del oscilador armónico crece indefinidamente, el movimiento siempre estará "restringido en el espacio", y oscilará al rededor de la posición de equilibrio.

De hecho, con la solución que has puesto, demuestras que la solución es una elipse centrada en el centro de fuerzas (a diferencia de las órbitas gravitatorias, en que el centro de fuerzas está en un foco de la elipse, no en el centro).

$\vec r= \vec a \cos(\omega t + \theta) + \vec b \sin (\omega t + \theta)$
(...)¿Qué significado físico tiene el ángulo $\theta$?

En la ecuación anterior lo ves claramente si pones $t = 0$: $\theta$ es el ángulo en el que se encuentra la partícula inicialmente.

Simple y llanamente: no entiendo qué es un oscilador isótropo. Entiendo las ecuaciones, pero no sé qué significan, no sé "visualizarlas".

Básicamente, es un simple muelle con un extremo fijo (el centro de fuerzas), con una masa enganchada al otro extremo, que se puede mover libremente en cualquier dirección.

Si lo alargas, la fuerza de recuperación hará que la masa se vaya directamente hacia el centro de fuerzas; pero cuando llegué allí y tendrá cierta velocidad y se estirará en el sentido contrario. Será una oscilación normal.

Pero si además de alargarlo, le proporcionas cierta velocidad $\vec v_0$ que no sea paralela a $\vec r_0$, entonces el asunto será diferente. La fuerza siempre es paralela a $\vec r$, por lo que el movimiento siempre estará contenido en el plano definido por ese vector y la velocidad inicial. En este caso, la masa nunca pasará por el origen.

Es muy similar a la atracción gravitatoria. Las órbitas son algo diferentes (elipse centrada, en vez de focalizada). Otra diferencia es que, por mucha energía que tenga la masa, nunca llegará a "liberarse" de la atracción, porque la atracción armónica aumenta con la distancia, en vez de disminuir con la gravedad. Pero, por el resto, son bastante similares.