Secundaria Momento cinético en un MR

[angel relativamente]

Hola compañeros. Estoy estudiándome el momento cinético, y más o menos lo llevo bien. Pero en mi libro habla solo del momento cinético de movimientos curvilíneos. Revisando mis apuntes tengo que mi profesora dijo:

El momento cinético en movimientos rectilíneos no tiene por qué ser 0, sin embargo siempre es CTE.

Bueno, ahora es cuando me gustaría entender esto. Me he hecho un dibujo (perdonad su excesiva cutrez):




Según eso:

$$\vec L=\vec r_1 \times \vec p_1 =\vec r_2 \times \vec p_2 =\vec r_3 \times \vec p_3 =CTE$$

¿Alguien me justifica esa afirmación? Pues $\vec r$ varía, $\vec p$ también puede hacerlo (un movimiento recto puede ser acelerado), y el ángulo que forman entre ellos también
¡Saludos!
El dubitativo Ángel

[angel relativamente]

Re: Momento cinético en un MR

Vale, se me ha ocurrido descomponer cada momento en dos vectores, uno perpendicular al vector posición y otro paralelo al mismo (uno radial y otro transversal), de tal modo que:

$\vec L=\vec r_1 \times (\vec p_{1r}+ \vec p_{1t})=\vec r_1 \times \vec p_{1r} + \vec r_1 \times \vec p_{1t}=\vec r_1 \times \vec p_{1t}$

Si fuese constante:

$\vec L=\vec r_1 \times \vec p_{1t}=\vec r_2 \times \vec p_{2t}=\vec r_3 \times \vec p_{3t}$

Lo cual implica que el módulo $rp$ permanece constante, o lo que es lo mismo, que permanece constante $rv$.

Ahora no se me ocurre cómo seguir.
¿Son ciertas las conclusiones que llevo?

¡Saludos!

[pod]

Re: Momento cinético en un MR

Una forma muy sencilla de verlo. Fíjate que podemos escribir la trayectoria de la partícula de la siguiente forma:

$$\vec r = \vec r_0 + \vec v t = \vec r_0 + \frac{t}{m}\ \vec p .$$

Ahora, el momento angular (o cinético) simplemente es

$$\vec L = \vec r \times \vec p = \vec r_0 \times \vec p + \frac{t}{m}\ \vec p \times \vec p .$$

Por las propiedades del momento angular, el segundo término siempre es cero, el producto vectorial de un vector por si mismo se anula. Como ves, la dependencia con el tiempo se va, quedan sólo constantes.

EDICIÓN: Esto es falso. $\vec p$ depende del tiempo. Lo que sigue habla de fuerzas particulares que, debido a otros fenómenos, sí conservan el momento angular.

Que el producto vectorial permanece constante al alargar uno de los vectores a lo largo de la recta que define es una propiedad muy importante. Fíjate que uno siempre puede elegir el vector ${\vec r}^*$ que es perpendicular a $\vec p$. El módulo de este vector tiene un significado físico muy sencillo: la distancia (mínima) entre la trayectoria de la partícula y el origen de momentos. Normalmente se le llama parámetro de impacto (la distancia por la que el disparo "falla", por decirlo así), y se indica por la letra $b = |{\vec r}^*|$ (la letra b es estándar, el asterisco es invención mía para la ocasión).

Este tipo de cosas son importantes. En ocasiones en que hay una fuerza que atrae o repele desde el origen (se llaman fuerzas centrales, ejemplos son los muelles, la gravedad, la electricidad, etc) el momento angular es constante. Uno puede calcular ese momento angular imaginando la trayectoria recta que lleva la partícula cuando está muy lejos del origen (y por lo tanto la fuerza le desvía poco) y calculando el parámetro de impacto. Como el momento angular es constante, sabemos que el parámetro de impacto también lo será, pero el ángulo de la recta puede haber cambiado, como en la figura.

[angel relativamente]

Re: Momento cinético en un MR

Muchas gracias por tu detallada e ilustrada explicación pod, me ha quedado mucho más claro todo
Pero sigo teniendo una duda, cuando pones:

$\vec r = \vec r_0 + \vec v t = \vec r_0 + \dfrac{t}{m}\ \vec p .$

¿No es acaso la expresión para un cuerpo con MRU (donde $\vec p$ es CTE)?
Según tengo yo apuntado esta regla se ha de cumplir para cualquier movimiento recto tenga o no aceleración.
¿Se puede generalizar la regla?
Saludos,

[pod]

Re: Momento cinético en un MR

Muchas gracias por tu detallada e ilustrada explicación pod, me ha quedado mucho más claro todo
Pero sigo teniendo una duda, cuando pones:

$\vec r = \vec r_0 + \vec v t = \vec r_0 + \dfrac{t}{m}\ \vec p .$

¿No es acaso la expresión para un cuerpo con MRU (donde $\vec p$ es CTE)?
Según tengo yo apuntado esta regla se ha de cumplir para cualquier movimiento recto tenga o no aceleración.
¿Se puede generalizar la regla?
Saludos,

Sí se puede, y es muy fácil. ¿Se te ocurre como?

[angel relativamente]

Re: Momento cinético en un MR

No estoy muy seguro. He intentado hacerlo para un MRUA.
Si:

$$\vec r =\vec r_0 + \vec v_0 t + \dfrac 12 \;\vec a t^2$$

$$\vec v = \vec v_0 +\vec a t \qquad \Rightarrow \qquad \vec a=\dfrac{\vec v -\vec v_0}{t}$$

Entonces:

$$\vec r =\vec r_0 + \vec v_0 t + \dfrac 12 \;\left(\dfrac{\vec v-\vec v_0}{t}\right) t^2\qquad \Rightarrow \qquad \vec r =\vec r_0 + \dfrac {1}{2m} \; \vec p_0 t + \dfrac {1}{2m} \; \vec p t$$

Por tanto:

$$\vec L=\vec r \times \vec p =\left[\vec r_0 + \dfrac {1}{2m} \; \vec p_0 t + \dfrac {1}{2m} \; \vec p t \right]\times \vec p = \vec p \times \vec r_0 + \underbrace{\vec p \times \dfrac {1}{2m} \; \vec p_0 t}_0 + \underbrace{\vec p \times \dfrac {1}{2m} \; \vec p t}_0= \vec p \times \vec r_0$$

Y de nuevo no depende del tiempo.
Y supongo que aunque no se trate de un MRUA siempre quedarán n términos de los cuales $n-1$ dependerán del tiempo y de la velocidad. ¿estoy en lo cierto? Perdona la escasez de rigurosidad.
¡Saludos!

[pod]

Re: Momento cinético en un MR

De hecho, con la primera ecuación lo tenías ya hecho. Sí el movimiento es rectilinio, a debe ser paralelo a v, y por tanto a p. Con eso es suficiente para asegurar que el producto vectorial es cero.

Sabes lo que es una integral?

[angel relativamente]

Re: Momento cinético en un MR

Tienes toda la razón del mundo. No quise suponer que $\vec p \parallel \vec a$ , pero se ha de cumplir por narices para un MR.
Se lo que es una integeal matemáticamente, pero no le conozco aplicaciones a la física. No obstante, me siento preparado para la siguiente lección, maestro

[pod]

Re: Momento cinético en un MR

El significado de una integral es el de una suma de muchas cosas muy pequeñas. Esto tiene su justificación (en la definición de integral de Rieman), más adelante ya la verás, si es que no la has visto.

Un movimiento cualquiera siempre se puede descomponer en muchos intervalos de tiempo muy pequeños. La duración de cada intervalo será $\dd t$. Como el intervalo de tiempo es muy pequeño, la velocidad será prácticamente constante, por lo que la desplazamiento será $\vec v \dd t$. Para obtener el desplazamiento total habrá que sumar todos los desplazamientos elementales,

$$\vec r - \vec r_0 = \int \vec v \dd t.$$

Supongo que eso de "durante un instante de tiempo muy corto suponemos que la velocidad es constante" suena a aproximación cutre. La gracia de esto es que, tomando el límite $\dd t \to 0$ todas estos razonamientos heurísticos se pueden demostrar matemáticamente de forma rigurosa. Es la base del cálculo diferencial.

Lo importante aquí es que la velocidad siempre tiene la misma dirección. Por lo tanto, podemos escribir $\vec v = v \hat v$. El módulo $v$ puede ser una función del tiempo tan complicada como uno quiera. Pero $\hat v$ es constante, y por lo tanto puedo sacarlo fuera de la integral,

$$\vec r - \vec r_0 = \hat v \int v \dd t.$$

Y si te gusta más en momentos, pues podemos hacer lo mismo,

$$\vec r - \vec r_0 = \frac1m\, \hat p \int p \dd t.$$

(Un detalle sobre unidades, como los vectores unitarios se obtienen dividiendo el vector original por su módulo, las unidades cancelan. Así, pues, no tienen unidades, por lo que estrictamente podemos escribir $\hat p = \hat v$.)

[angel relativamente]

Re: Momento cinético en un MR

Genial
Se ha entendido a la perfección.
Si me pidiesen demostrarlo en un examen (cosa que no van a hacer) haría lo siguiente:

Como:

$$\vec v= \dfrac{\dd \vec r}{\dd t}\quad \Rightarrow \quad \vec v \dd t = \dd \vec r$$

Integrando en ambos miembros:

$$\dst \int_{t_0}^t \vec v \dd t=\int_{\vec r_0}^{\vec r} \dd \vec r\quad \Rightarrow \quad \dst \int_{t_0}^t v\hat{v} \dd t=\left[ \vec r \right]_{\vec r_0}^{\vec r}$$

$$\hat v\int_{t_0}^t v \dd t=\vec r - \vec r_0 \quad \Rightarrow \quad \vec r= \vec r_0 + \hat v\int_{t_0}^t v \dd t$$

El momento angular será:

$$\vec L= \vec p \times \vec r = \vec p \times \left(\vec r_0 + \hat v\int_{t_0}^t v \dd t \right)=\vec p \times \vec r_0 + \vec p \times \hat v\int_{t_0}^t v \dd t$$

Pero como $\vec p \parallel \hat v$, entonces:

$$\vec p \times \hat v\int_{t_0}^t v \dd t=0$$

Luego:

$$\vec L= \vec p \times \vec r_0$$

Que no depende del tiempo. ¿Estaría bien hecho?
PD: Nótese que he añadido los límites de integración, no se si lo he aplicado bien.
¡Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Momento cinético en un MR

Que no depende del tiempo. ¿Estaría bien hecho?

Fíjate por donde, ya sabes aplicar, y bien, integrales a la Física

Saludos,

[carmelo]

Re: Momento cinético en un MR

Hola:

Genial
...
Luego:

$$\vec L= \vec p \times \vec r_0$$

Que no depende del tiempo. ¿Estaría bien hecho?
PD: Nótese que he añadido los límites de integración, no se si lo he aplicado bien.
¡Saludos!

Todo bien, pero:

Observa que,
1) $\vec{p} \times\vec{ r }$ en general no es igual a $\vec{r} \times \vec{p}$,
2) si p depende del tiempo? sigue siendo constante L?

Saludos
Carmelo

[angel relativamente]

Re: Momento cinético en un MR

1) $\vec{p} \times\vec{ r }$ en general no es igual a $\vec{r} \times \vec{p}$ ,

Tan solo se diferencia en el sentido de $\vec L$, ¿no?

2) si p depende del tiempo? sigue siendo constante L?

Ahí ya me has roto. Supongo que en la última expresión, con $\vec p$ nos referimos a $\vec p_0$, es decir, al momento que tiene cuando se encuentra en la posición $\vec r_0$.
¿Estoy en lo cierto?
¡Saludos!

[carmelo]

Re: Momento cinético en un MR

Hola:

Correcto, son opuestos.

Con respecto a lo segundo, considero que el momento cinético no debe de ser constante en general para una trayectoria rectilinea. Considera la caida libre de un objeto y toma el momento cinético con respecto a un punto que no pertenezca a la recta que contiene a la trayectoria.

En el punto a igual altura que O, tenemos:
$\vec{L_0} =\vec{r_0} \times m\vec{v_0}\Rightarrow L_0=mv_0d$
Un instante posterior tenemos que:
$\vec{L} =\vec{r} \times \vec{p}\Rightarrow L=mvd$
Si tenemos en cuenta que es una caida libre, se tiene:
$v=v_0+gt$, y por lo tanto:
$L=m(v_0+gt)d=mv_0d+mgdt=L_0+mgdt$
Y tenemos que $\dst\frac{\dd L}{ \dd t}=mgd\neq 0$

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Momento cinético en un MR

Es que la confusión está en que en la última expresión que determinó angel relativamente, $\vec L = \vec r_0 \times \vec p$, no es correcto saltar a la conclusión de que $\vec L$ no depende del tiempo, pues el mismo $\vec p$ puede ser función del tiempo. Lo único que se puede decir es que, si el movimiento es rectilíneo y por lo tanto la dirección de $\vec p$ es fija, entonces $\vec L$ tiene dirección constante, pero su rata de cambio no es cero y será igual al torque respecto de O de la fuerza que impulsa la partícula.

Saludos,

Al