Secundaria Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

[jotadejuanpe]

Hola de nuevo, después de un largo tiempo sin abrir ningún hilo y haber dejado lamentablemente el estudio de la Física de lado, vuelvo a abrir otra duda más que me ha surgido en un problema.

Me dan el siguiente ejercicio:

Supón que la órbita de la Tierra en torno al Sol describe una circunferencia de radio $1,5\cdot {10}^{-11}m$ y que la Tierra tarda $3,15\cdot{10}^{7}s$ en completar dicha órbita. Calcula:

a)La masa del Sol

b)La fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

En el apartado a no he tenido ningún problema en su resolución aplicando la 3ª ley de Kepler y el resultado es muy aproximado a los valores que me proporciona la tabla con los resultados. Una vez leído el apartado b, es donde encuentro el problema pues aplicando la fórmula de fuerza gravitatoria $F=\frac{G\cdot{m}_{T}\cdot{m}_{S} }{{r}^{2}}$ me falta un dato que es el de la masa de la Tierra, pues la del Sol la he calculado en el apartado anterior y G he supuesto que me lo daban porque también lo he usado en el ejercicio anterior.

¡No me dan más datos!

¿Alguien podría decirme cómo poder plantearlo?

Gracias de nuevo y saludos.

[arivasm]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

Tienes toda la razón. El cálculo no es posible sin conocer la masa de la Tierra y usando sólo los datos que indicas. Por supuesto, una salida que tienes es dar el resultado en función de dicha masa.

[H2SO4]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

Pero la Tierra orbita en torno al Sol, y conoces su período. ¿Qué tal si escribes que la fuerza por la que te preguntan produce en la Tierra una aceleración centrípeta de valor $\omega ^2r$, es decir, aplicas la 2ª ley de Newton?

Saludos

[jotadejuanpe]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

H2SO4, muchas gracias por tu respuesta. Así, puedo decir lo siguiente

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y, esto, aplicándolo al ejercicio se quedaría:

${F}_{G}={F}_{C}={m}_{SOL}\cdot \frac{4\cdot{\pi}^{2} }{{T}^{2}}\cdot r$

Y, todos estos datos sí que los tengo (si no me equivoco en el desarrollo).

¡Gracias de nuevo!

[jotadejuanpe]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

Vale, he vuelto a editar mi mensaje

[H2SO4]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

${F}_{G}={F}_{C}={m}_{SOL}\cdot \frac{4\cdot{\pi}^{2} }{{T}^{2}}\cdot r$

No es la masa del Sol, sino la de la Tierra:

$F = G\dst \frac{M_SM_T}{r^2 } = M_T\cdot \omega^2 \cdot r$

Saludos

Editado y añadido: ¡Vaya! Ahora que lo reviso, una vez escrito, veo que he cerrado un círculo vicioso: así no llegamos a determinar la fuerza de atracción, pues seguimos sin conocer la masa de la Tierra. Lo pensaré.

[arivasm]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

${F}_{G}={F}_{C}={m}_{SOL}\cdot \frac{4\cdot{\pi}^{2} }{{T}^{2}}\cdot r$

La expresión que escribes no es correcta, al menos si aplicas el período y radio orbitales de la Tierra. Insisto en que todo lo más que puedes hacer es dar el resultado en función de la masa de la Tierra.

Veo que H2SO4 también te ha comentado lo mismo.

[H2SO4]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

La 3ª ley de Kepler, en rigor, incluye la masa de la Tierra:

$\dst \frac{T^2}{r^3 }= \frac{4 \pi ^2}{G(M_s+M_T) }$

así que de ahí podría despejarse la masa de la Tierra. Después ya podrías calcular la fuerza de atracción.

Pero me temo que no va por ahí la cosa, así que creo que, o tomas la masa de una tabla o dejas la fuerza en función de$m_T$ como dice arivasm.

Saludos

[angel relativamente]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

Pues iba a comentar yo lo mismo que han dicho ya. Estoy de acuerdo en que solo puedes dejar la fuerza en función de la masa de la Tierra, han de darte el dato por algún lugar si lo que quieres es un resultado numérico.Para cualquier fuerza gravitatoria es necesario conocer ambas masas. Se podría calcular la masa de la Tierra en caso de conocer su radio (y el valor de g en la superfície), pero sin estos datos yo veo imposible calcularlo.

PD: Si el radio de la órbita que describe la Tierra alrededor del Sol fuese como dices en tu enunciado ($1,5\cdot {10}^{-11}m$) no tendríamos que usar chaqueta

$PD_2$: Para ácido sulfúrico:

La 3ª ley de Kepler, en rigor, incluye la masa de la Tierra:
$\dst \frac{T^2}{r^3 }= \frac{4 \pi ^2}{G(M_s+M_T) }$

$F_c=F_g\quad \Rightarrow \quad \dfrac{4{\pi}^2m_Tr}{T^2}=G\dfrac{M_s m_T}{r^2}\quad \Rightarrow \quad T^2=\dfrac{4{\pi}^2}{GM_s}r^3$

Creo haber sido riguroso y no me aparece la masa de la Tierra. Se que esa demostración es para órbitas circulares, pero para órbitas elípticas tampoco veo que dependa de la masa de la tierra (si no, sería incorrecto decir que esa fracción es una constante pues en el sistema Solar dependería de cada planeta). ¿Me equivoco yo?
¡Saludos!

[H2SO4]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

Creo haber sido riguroso y no me aparece la masa de la Tierra. Se que esa demostración es para órbitas circulares, pero para órbitas elípticas tampoco veo que dependa de la masa de la tierra (si no, sería incorrecto decir que esa fracción es una constante pues en el sistema Solar dependería de cada planeta). ¿Me equivoco yo?

No te equivocas, pero solo en primera aproximación; si consideras la masa del planeta despreciable comparada con la del Sol, tu ecuación es válida. Pero en el caso más general (órbita elíptica y masa no despreciable) la expresión es la que he escrito antes. De hecho, es así como se determinan las masas de estrellas dobles en órbita una alrededor de la otra una vez conocida la distancia que las separa; e incluso se aplica para determinaciones precisas referentes a satélites artificiales.

Si buscas, en Wikipedia y otras muchas páginas puedes ver esta expresión; por ejemplo aquí.

Saludos

[jotadejuanpe]

Re: Fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra

Vale, o sea en función de masa o tendrían que darme como dato la masa de la Tierra.

¡Gracias a todos por vuestras aportaciones!