Secundaria Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

[jotadejuanpe]

Hola de nuevo.

Pongo un problema en el que, otra vez, vuelvo a atascarme. Me dan el siguiente enunciado:

Un meteorito de $400 kg$ de masa que se dirige en caída libre hacia la Tierra tiene una velocidad de $20 m/s$ a una altura sobre la superficie terrestre $h=500 km$. Determina

a) La energía mecánica del meteorito a dicha altura

b) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera.

(Datos: $G=6'67\cdot {10}^{-11} N\cdot {m}^{2}\cdot {kg}^{-2} ; {M}_{T}= 5'98\cdot {10}^{24} kg ; {R}_{T}= 6370 km$)

Ahora bien, el apartado a sería utilizando el concepto de ${E}_{Mec}= {E}_{C}+{E}_{P}$ que, desarrollándolo quedaría que la ${E}_{{M}_{sat}}=-\frac{1}{2}\cdot G\cdot\frac{{m}_{T}\cdot {m}_{sat}}{r}$ que, sustituyendo, me da como resultado $-1'16\cdot {10}^{10} J$

En el segundo es donde veo problemas en plantearlo porque creo que mi nivel no llega a poder estudiar un movimiento que cambia su aceleración, puesto que hasta ahora había estudiado cuerpos con MRUA en donde la variación de g era tan pequeña que se consideraba siempre con la misma aceleración.

Pero creo que aquí no he de despreciar esta variación, pues desde su ${r}_{0}=5\cdot {10}^{5}$ hasta que llega a la supercie de la Tierra hay una gran variación en g, ya que el inicial con la que comienza el movimiento es de $g=8'45 \frac{m}{{s}^{2}}$ y finaliza en g con la aceleración que todos conocemos, $g=9'8 \frac{m}{{s}^{2}}$

¿Alguien me podría ayudar, darme un consejo?¿Desprecio esta variación o hay una forma que llegue al nivel de 2º de Bachillerato para poder realizar el estudio de este movimiento de manera más correcta que el de MRUA?

Muchas gracias.

¡Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Claro que no hay que despreciar esa variación de la aceleración. Para el apartado b solo has de tener en cuenta que toda la energía mecánica que tenía al principio se convierte en cinética, puesto que no hay fricción en la caída, y como la masa del meteorito no varía, blanco y en botella
Saludos

Lean el segundo mensaje que he escrito

[jotadejuanpe]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Es verdad, muy cierto. Gracias!

[angel relativamente]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Releyéndome el problema, no estoy de acuerdo con mis primeras palabras. Voy a dar de nuevo una solución:

La energía mecánica del meteorito a dicha altura es:

$E_{mh}=E_{ch}+E_{ph}$

Cuando llegue a la superficie seguirá teniendo energía potencial y cinética, ergo su energía mecánica será:

$E_{ms}=E_{cs}+E_{ps}$

Como la energía mecánica se conserva, puedo igualar ambas expresiones, obteniendo:

$E_{ch}+E_{ph}=E_{cs}+E_{ps}$

Sustituyo todas las energías:

$\dfrac 12 m {v_h}^2-G\dfrac{mM}{R+h}=\dfrac 12 m {v_s}^2-G\dfrac{mM}{R}$

Simplifico las masas:

$\dfrac 12 {v_h}^2-G\dfrac{M}{R+h}=\dfrac 12 {v_s}^2-G\dfrac{M}{R}$

Y despejo la velocidad en la superficie:

$v_s=\dst \sqrt{2\left(\dfrac 12 {v_h}^2-G\dfrac{M}{R+h}+G\dfrac{M}{R}\right)}\approx 3020 \; m/s$

Puedes operar ahora dentro de la raíz para dejarlo bonito, pero ya tienes todos los datos y bastaría sustituir.
Creo que es así la solución, que alguien me corrija si me equivoco.
¡Saludos!
Ángel

[Al2000]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

...
Y despejo la velocidad en la superficie:

$v_s=\dst \sqrt{2\left(\dfrac 12 {v_h}^2-G\dfrac{M}{R+h}+G\dfrac{M}{R}\right)}\approx 3020 \; m/s$
...

¡Guao! Esa es una enorme diferencia con los alrededor de 100 m/s que alcanzaría al tomar en cuenta la fricción con el aire...

[angel relativamente]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Pues menos mal que hay atmósfera si no ese meteorito hubiese causado una buena catástrofe.
Aunque si no hubiese atmósfera creo que tendríamos problemas más masivos que los meteoritos
Saludos

PD: ¿O insinúas que he operado mal?

[Al2000]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

No insinúo nada En efecto, no revisé tus cuentas, las di por buenas. Hice el comentario porque me asombró la gran diferencia con la velocidad terminal. ¿O acaso dudas de tus cuentas? ja ja ja ja

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Jo Al, con tus preguntas incitantes me has hecho rehacer los cálculos para salir de dudas
Si el desarrollo del problema está bien, al sustituir los datos que da el enunciado queda $v_h=3019.08\; m/s$

Ni uno más ni uno menos.

Dudo de mis cuentas, pero no de las de mi niña.
¡Saludos!

[Al2000]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Joder, yo todavía tengo la mía: http://images.google.es/imgres?q=HP-...p8IyVDw&zoom=1

[xXminombreXx]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Dudo de mis cuentas, pero no de las de mi niña.
¡Saludos!

Nada, nada, esas calculadoras son para nenazas. Yo como toda la vida:

La mejor calculadora del mundo.

En un examen me pongo a darle a la manivela esa y me saca las gráficas en papel impreso. Quedo como el más molón de toda la facultad.

P.D.: He hecho los cálculos que dice AL, con razomiento con el aire, me sale 64 m/s de velocidad máxima, teniendo en cuenta qeu el meteorito tiene 1 metro de radio y es mas o menos esférico.

[javier m]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Angel, ya me habías hecho sentir mal.
Gracias Al, me has hecho sentir mejor
xXminombreXx

xXminombreXx, como hiciste esos calculos?? cual es la relación entre que sea esferica y la fricción?

[xXminombreXx]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

Esos cálculos, si estás en bachillerato, como creo que es, no te tienes que preocupar de ellos (lo siento, creía que eras el que había abierto el post y que era tu duda sobre gravitación, así que no tengo absolutamente ni idea de tu nivel ). Para tí el cálculo correcto es de angel.

La fuerza de rozamiento con el aire es una fuerza dependiente de la velocidad al cuadrado:

$$F = kv^2$$

Cuando la suma de todas las fuerzas sea 0, por la ley de newton, la aceleración será 0, eso pasará cuando esa fuerza se iguale al peso, ahí tendremos la velocidad límite:

$$mg = kv^2$$

Aproximo la gravedad a un valor constante para cuando hay esa fuerza, enl a atmósfera, que será de 9.8. Pues depejamos v, sabiendo que:

$$k = f*K*S$$

Siendo f 1/2 para esferas, K $=0.6 N^2\cdot s^2/m^4$ y S la superficie de cara al aire, para una esfera de 1 metro de radio, pi metros cuadrados.

Sale una v de 64 m/s. No he refinado mucho, habría que tener en cuenta la posibilidad de que la fuerza no sea suficiente para frenarlo a la velocidad límite en el caso de que entre muy rápido (y entra muy rápido, así qeu cabe esa posibilidad), en ese caso habría que ver que velocidad es la buena, sería mayor que la mía, pero mucho menor que la otra, sin duda. Si entra a 3400 m/s, tendrá una fuerza proporcional a 3400^2, eso es enorme. Además, un pedrolo de 1 metro de radio probablemente pese más de 400 kg, así que he hecho MUCHAS aproximaciones y suposiciones en ese cálculo, pero mañana tengo exámenes y no estoy para refinar, xD.

[javier m]

Re: Velocidad con la que impacta un meteorito en la Tierra.

ah, era que no conocía eso de $k=f*K*S$.

Gracias.