1r ciclo Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

[skinner]

Hola! Tengo una pregunta de física para ustedes, a ver si pueden prestarme algo de ayuda.

En un problema de Mecánica me dicen:

"Una partícula de masa m desliza sin rozamiento sobre una superficie de revolución de eje vertical y ecuaciones paramétricas: $x=\rho \cos\theta$, $y=\rho \sin\theta$, $z=z(\rho)$. Para un instante genérico, calcular el momento cinético de la partícula en la dirección OZ."

El momento cinético se define como:

$$\vec{\Gamma_0}=\vec{OP(t)} \wedge m\vec{v(t)}$$

Pero a la hora de calcular el vector OP(t) me quedo atascado... ¿tengo que escribirlo en función de los vectores canónicos {i,j,k}? ¿O en función de los unitarios $u_\rho$, $u_\theta$, $u_z$?

Mi profesor lo escribió así:

$$\vec{r(t)}\equiv \vec{OP(t)}=\rho\vec{u_\rho}+z\vec{u_z}$$

Mi pregunta sería, ¿por qué no ha puesto el término $\theta\vec{u_\theta}$?

En cuanto a la velocidad; a mi me sale:

$$\vec{v}= \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t }\vec{u_\rho} + \rho \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\vec{u_\theta} +\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t }\vec{u_z}$$

Mientras que al profesor no le sale el término $\dst \frac{\partial z}{\partial \rho}$ que acompaña a $\vec{u_\rho}$

Muchas gracias por su paciencia, jejeje

Un saludo!

[Al2000]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

...
Mi profesor lo escribió así:

$$\vec{r(t)}\equiv \vec{OP(t)}=\rho\vec{u_\rho}+z\vec{u_z}$$

Mi pregunta sería, ¿por qué no ha puesto el término $\theta\vec{u_\theta}$?
...

Haz un esquema de un punto $(\rho ,\theta , z)$ en el espacio y observa que el vector posición $\vec r$ lo puedes escribir en función de $\vec u_\rho$ y $\vec u_z$. La dependencia de $\vec r$ con $\theta$ está implícita en $\vec u_\rho$, que no debes olvidar que no es constante.

...
En cuanto a la velocidad; a mi me sale:

$$\vec{v}= \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t }\vec{u_\rho} + \rho \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\vec{u_\theta} +\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t }\vec{u_z}$$

Mientras que al profesor no le sale el término $\dst \frac{\partial z}{\partial \rho}$ que acompaña a $\vec{u_\rho}$
...

Bueno, pues ni idea de como estás derivando. Mi cuenta es:

$\dst \vec r = \rho \vec u_\rho + z \vec u_z \quad \Rightarrow \quad \vec v = \frac {d \vec r}{dt} = \frac {d \rho }{dt} \vec u_\rho + \rho \frac {d \vec u_\rho }{dt} + \frac {dz}{dt} \vec u_z$

siendo

$\dst \frac {d \vec u_\rho }{dt} = \frac d {dt} (\cos \theta \, \vec u_x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \vec u_y) = \frac {d \theta }{dt}(- \, \mathrm {sen} \, \theta \, \vec u_x + \cos \theta \, \vec u_y) = \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta$

es decir

$\dst \vec r = \rho \vec u_\rho + z \vec u_z \quad \Rightarrow \quad \vec v = \frac {d \rho }{dt} \vec u_\rho + \rho \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta + \frac {dz}{dt} \vec u_z$

si no me equivoco.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Oye Al unas preguntas:

1- cuando derivas el vector unitario de rho, es porque se deben incluir factores de escala no? por el cambio de métrica... por eso no se hace con z?

2- luego al derivar $\vec{u}_{rho}$ haces regla de la cadena o como es que obienes eso si puedes explicarlo mas lento ?

gracias

[Al2000]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Bueno, "factores de escala" y "métrica" me suenan muy esotéricos. Yo prefiero simplemente considerar el punto de que los vectores unitarios $\boldsymbol u_\rho$ y $\boldsymbol u_\theta$ en coordenadas cilíndricas (así como los vectores $\boldsymbol u_r,\, \boldsymbol u_\theta,\, \boldsymbol u_\varphi$ en coordenadas esféricas) no son constantes. Su magnitud es constante, pero su dirección depende de $\theta$ (de $\theta$ y $\varphi$ en coordenadas esféricas). Eso es algo importante que hay que considerar cuando derivas o integras uno de estos vectores en ambos sistemas.

No se si exista otra forma de hacerlo, pero la forma que yo conozco para lidiar con esos casos es expresar los vectores unitarios en coordenadas cartesianas (por ejemplo en coordenadas cilíndricas $\boldsymbol u_\rho = \cos \theta \, \boldsymbol u_x + \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_y$) para hacer las operaciones y luego expresar el resultado, si es el caso, en el sistema original.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Es que apenas vi el $\rho$ de coeficiente en la componente $\theta$ me acorde de los factores de escala, que para coordenadas cilindricas son $h_{\rho}=1$, $h_{\theta}=\rho$, $h_{z}=1$. Una demostración:

dado el vector pocision en cilindricas $\vec{r}=\rho \cos{\theta}\hat{i}+\rho \sin{\theta}\hat{j}+z\hat{k}$ entonces:

$\dst \dd{\vec{r}}=\frac{\partial \vec{r} }{\partial \rho} \dd{\rho}+\frac{\partial \vec{r} }{\partial \theta} \dd{\theta}+\frac{\partial \vec{r} }{\partial z} \dd{z}$

$\dst \dd{\vec{r}}= (\cos{\theta}\hat{i}+\sin{\theta}\hat{j}) \dd{\rho}+ (-\rho \sin{\theta}\hat{i}+\rho\cos{\theta}\hat{j})\dd{\theta}+\hat{k}\dd{z}$

$\dst \dd{\vec{r}}= (\cos{\theta}\dd{\rho}-\rho\sin{\theta}\dd{\theta})\hat{i}+(\sin{\theta}\dd{\rho}-\rho\cos{\theta}\dd{\theta})\hat{j}+\hat{k}\dd{z}$

dado que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si desarrollamos:

$\dd{s}^2=(\cos{\theta}\dd{\rho}-\rho\sin{\theta}\dd{\theta})^2+(\sin{\theta}\dd{\rho}-\rho\cos{\theta}\dd{\theta})^2+\dd{z}^2$

$\dd{s}^2=\dd{\rho}^2+\rho^2 \dd{\theta}^2+\dd{z}^2$

$h_{\rho}=1$, $h_{\theta}=\rho$, $h_{z}=1$

Entoces Al, tu llegas a la misma conclusion pero de una forma mas práctica o menos abstracta, solo me resta saber lo que pregunté de segundo: usaste regla de la cadena al derivar porque no logro ver que haces??

[Al2000]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Vamos hombre, después de todo eso que has escrito sería muy pedante de mi parte tratar de explicarte algo...

De todas formas, lo único que yo he hecho anteriormente es aplicar las simples reglas de derivación de un producto, no olvidando la dependencia de los vectores unitarios con el ángulo.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Vamos hombre, después de todo eso que has escrito sería muy pedante de mi parte tratar de explicarte algo...

De todas formas, lo único que yo he hecho anteriormente es aplicar las simples reglas de derivación de un producto, no olvidando la dependencia de los vectores unitarios con el ángulo.
Al

jajaja Lo que pasa es que no terminaba de entender lo que hacias al derivar $\frac {d \vec u_\rho }{dt}$, pero ya lo veo. Y me parecio fascinante el metodo que usaste, no por el motivo del problema del hilo sino porque me ayudó a entender mucho mejor los factores de escala.

[skinner]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Nature y Al2000 gracias por vuestras respuestas.

Nature, en este ejemplo, al depender la coordenada "z" de $\rho$ exclusivamente, el factor de escala h1 sería

$$h_1=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\rho}$$

y por tanto, al calcular la velocidad (que en coordenadas curvilineas se expresa como $\dst \vec{v}=\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} h_i \vec{u_i}$) me sale la expresión que puse arriba en mi primer post:

$$\vec{v}= \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t }\vec{u_\rho} + \rho \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\vec{u_\theta} +\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t }\vec{u_z}$$

Por eso me hago lío... debería ser como yo digo, ¿no?

¿Me podéis ayudar con eso?

Un saludo y muchas gracias!

[nature]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

La verdad que no se como llegas a esa expresion de velocidad, voy a partir desde un punto mas lejano a ver si aclaramos esto. Dado un vector posiciíon $\vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}$ en cilindricas:

$\vec{r}= \rho \cos{\theta}\underbrace{(\cos{\theta}\hat{u}_\rho -\sin{\theta}\hat{u}_\theta )}_{\hat{\imath}}+\rho \sin{\theta}\underbrace{(\sin{\theta}\hat{u}_\rho -\cos{\theta}\hat{u}_\theta )}_{\hat{\jmath}}+z\hat{k}$

Desarrollando queda:

$\vec{r}= \rho \hat{u}_\rho +z\hat{k}$

A partir de aqui, el hecho de que la componente en k sea funcion de rho no altera en nada el procedimiento que hace Al para hallar la velocidad. Ya que si sustituyes por ejemplo $\sqrt{\rho}$ en lugar de z no se alteran los factores de escala ni mucho menos...

PD: Lo que entiendo de la cuestion de los factores de escala es el hecho de que para trabajar en cualquier sistema de coordenadas curvilineas se hacen transformaciones basadas en el sitema euclideo (rectangular) el cual no esta basado en ningun otro y por eso los factores en él son la unidad pero al cambiar de sistema aparecerán factores de proporcionalidad ente dicho sistema y la base euclidea. Y fijate que en cilindricas aparece precisamente en la unica variable que varia en forma circular o "no euclidea" por asi decirlo.

[Al2000]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

skinner, hay un detalle que un par de veces he empezado a mencionar y finalmente he desistido por no estar seguro de si es relevante o no a lo que estás analizando. Me diera la impresión de que hay un error en el enunciado y que este debería decir que $\rho = \rho(z)$ y no al revés como está puesto. Si se trata de una superficie de revolución, lo lógico es tomar el eje $z$ de coordenadas cilíndricas coincidiendo con el eje de revolución. De lo contrario todas las ventajas de este sistema se perderían y se trabajaría mejor en coordenadas cartesianas.

Para muestra un botón: supón la superficie mas sencilla, una superficie cilíndrica de radio $R$. Entonces para $\rho = R$, $z$ toma cualquier valor. A mi modo de ver la cosa debería ser

$\dst \vec v = \frac {d \rho }{dt} \vec u_\rho + \rho \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta + \frac {dz}{dt} \vec u_z = \frac {d \rho }{dz}\frac {dz}{dt} \vec u_\rho + \rho \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta + \frac {dz}{dt} \vec u_z = \left(\frac {d \rho }{dz}\, \vec u_\rho + \vec u_z \right) \frac {dz}{dt} + \rho \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta$

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Hola Al2000; no, creo que el enunciado no está equivocado porque primero lo pone en forma general: $z=z(\rho)$; y luego particulariza para un paraboloide $z=z(\rho)=\frac{\rho^2}{r}$... así que entonces no sé qué hacer me trae loco el ejercicio.

Un saludo

[Al2000]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Dime si esta expresión te resulta razonable o la ves muy descabellada...

$\dst z = \frac {\rho^2} r \quad \Rightarrow \quad \rho = \sqrt {r z} \quad \Rightarrow \quad \frac {d \rho }{dz} = \frac 1 2 \sqrt {\frac r z}$. El signo de $r$ determina la rama del paraboloide.

$\dst \vec v = \left(\frac {d \rho }{dz}\, \vec u_\rho + \vec u_z \right) \frac {dz}{dt} + \rho \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta = \left(\frac 1 2 \sqrt {\frac r z}\, \vec u_\rho + \vec u_z \right) \frac {dz}{dt} + \sqrt {r z} \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\theta$

$\dst \vec \Gamma_0 = \vec r \wedge (m \vec v) = \left(- z \sqrt {r z} \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_\rho + \frac 3 2 \sqrt {r z} \frac {dz}{dt}\, \vec u_\theta + r z \frac {d \theta }{dt}\, \vec u_z \right) m$

que se podría escribir

$\dst \vec \Gamma_0 = m \rho \left(- z \dot \theta \, \vec u_\rho + \frac 3 2 \dot z \, \vec u_\theta + \rho \dot \theta \, \vec u_z \right)$

Al menos dimensionalmente es correcta

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

jejeje... bastante liosa

Gracias por tu ayuda. Gracias a ti también, Nature.

Saludos a los dos

[skinner]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Por cierto, al profesor le sale:

$$\dst \vec \Gamma_0 = \vec r \wedge (m \vec v) = m\left( -z\rho \dot \theta \vec{u_\rho}+\left( z\dot \theta-\rho \dot z \right)\vec{u_\theta} +\rho^2 \dot \theta\vec{u_z} \right)$$

Bueno, también sale eso en la solución. Qué ocurrió con la segunda coordenada? Fue error del profesor?

Un saludo!

[Al2000]

Re: Coordenadas cilíndricas; vector de posición...

Por cierto, al profesor le sale:

$$\dst \vec \Gamma_0 = \vec r \wedge (m \vec v) = m\left( -z\rho \dot \theta \vec{u_\rho}+\left( z\dot \theta-\rho \dot z \right)\vec{u_\theta} +\rho^2 \dot \theta\vec{u_z} \right)$$

Bueno, también sale eso en la solución. Qué ocurrió con la segunda coordenada? Fue error del profesor?
...

Por supuesto que yo puedo haber cometido un error, lo que no sería un evento inusitado, pero permíteme resaltar que la solución que pones supuestamente obtenida por tu profesor no dimensionalmente consistente (a menos, claro, que la hayas tipeado mal).

Saludos,

Al