1r ciclo Ejercicio para aplicar Teoremas de Conservación

[skinner]

Buenas! Tengo el ejercicio 2 del siguiente boletín

Lo resolví por el apartado a) Leyes de Newton, en coordenadas cilíndricas e igualando componentes, y me sale:

$$\vec{\phi _N}=-R\Omega^2 \hat{u_\rho}$$

$$\theta(t)=\Omega t$$

$$z(t)=z_0+v_0t-\frac{1}{2}mgt^2$$

No sé si estarán bien o mal... el problema viene con el apartado b)

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Nota: la ecuación (3) es dimensionalmente incorrecta debido al último término del segundo miembro. Revisando los cálculos, no encuentro el error, pues el peso está actuando en la dirección z, $\vec{P}=-mg\hat{u_z}=-mg\hat{k}$; y la componente en esta misma dirección de la aceleración en coordenadas cilíndricas es $\dst \frac{\mathrm{d^2}z}{\mathrm{d}t^2}$
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Al aplicar el Teorema de Conservación de la Cantidad de Movimiento, busco una dirección fija que sea perpendicular a la resultante de las fuerzas, y encuentro que esa dirección es precisamente $\vec{u_\theta}$; así, se cumple: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de donde obtengo, con las condiciones iniciales, la ecuación (2) obtenida con el apartado a)

Intento aplicar el Teorema de Conservación del Momento Cinético (o Angular), proyectando sobre una dirección fija que sea perpendicular al producto vectorial del vector posición de P y la resultante de las fuerzas; observo que existen dos direcciones: $\vec{u_\theta}$ y $\vec{u_\rho}$; con $\vec{u_\theta}$ obtengo el mismo resultado que en el otro teorema; con $\vec{u_rho}$ llego a que:

$$-z(t)m\rho\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=cte \Rightarrow z(t) R m \Omega = cte$$

Pero evidentemente, según el resultado obtenido en el apartado a) ecuación (3), la cantidad z(t) no puede ser constante...

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Entonces aquí mi problema: ¿dónde he fallado? Estoy seguro que es en la aplicación del segundo Teorema. Pero no sé...

Agradecezco eternamente el tiempo que hayáis podido invertir en ofrecerme vuestra (útil y preciada) ayuda, así como el tiempo invertido en leer el post.

Un saludo y buenas noches desde Sevilla!

[skinner]

Re: Ejercicio para aplicar Teoremas de Conservación

¿Algún regalito de Navidades por aquí...?

jejeje

Buenas noches

[arivasm]

Re: Ejercicio para aplicar Teoremas de Conservación

Ya va un par de veces que le echo un vistazo a este hilo y las dos veces he pensado lo mismo: ¿skinner no se habrá olvidado de dividir el peso entre la masa para hallar la componente z de la aceleración? Quiero decir que lo razonable es que la ecuación en z sea $\ddot z = - g$ y entonces $z=z_0+v_{z0}t-\frac{1}{2}gt^2$. Yo lo veo clarísimo si empleas el formalismo de Euler-Lagrange (y entonces también resulta $\ddot \theta = 0$ y, como dices, $\theta=\Omega t$).

Sobre la parte de los teoremas de conservación, ¿cómo es que llegas a (1)?. ¿No deberías encontrar que simplemente $\rho = R$?

[arivasm]

Re: Ejercicio para aplicar Teoremas de Conservación

...busco una dirección fija que sea perpendicular a la resultante de las fuerzas, y encuentro que esa dirección es precisamente $\vec{u_\theta}$....

...proyectando sobre una dirección fija que sea perpendicular al producto vectorial del vector posición de P y la resultante de las fuerzas; observo que existen dos direcciones: $\vec{u_\theta}$ y $\vec{u_\rho}$...

Fíjate que estás diciendo que $\vec{u_\theta}$ es perpendicular a la resultante de las fuerzas y también a la resultante de los momentos. Quizá esta sea la causa del fallo. ¿No debería ser en el segundo caso $\vec{u_z}\equiv \vec{k}$?

Edito: He repasado con calma el problema que exponía skinner y veo que el problema no está en lo que he comentado aquí. Está claro que simplemente transcribió mal la segunda afirmación, que debió haber sido: "observo que existen dos direcciones: $\vec{k}$ y $\vec{u_\rho}$...". Si no estoy equivocado, la causa del problema de skinner es algo más profunda, como comento en mi siguiente post.

[arivasm]

Re: Ejercicio para aplicar Teoremas de Conservación

Creo que ya encontré la causa del problema: el sistema de referencia de las coordenadas cilíndricas está en rotación y, por tanto, no es inercial. En consecuencia, el que el momento de la fuerza resultante tenga componentes nulas en dicho sistema de referencia no implica que sean constantes las componentes correspondientes del momento angular.

Para aclararlo, vamos a revisar matemáticamente lo que acabo de exponer. En primer lugar partamos de la correspondencia entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas. En síntesis, podemos decir que

$\vec{r} = \rho \vec{u}_\rho + z \vec{k}$,

siendo además

$\vec{u}_\rho = \cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}$
$\vec{u}_\theta = -\sin\theta \vec{i} + \cos\theta \vec{j}$

Obsérvese que estos vectores no son constantes, como señalé antes, sino que cumplen que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

es decir

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora vamos a proceder a analizar la relación que existe entre la derivada del momento angular y el momento resultante de las fuerzas.

En primer lugar, no cabe la menor duda que

$$\dst \frac{\dd \vec{L}}{\dd t} = m \dst \frac{\dd (\vec{r} \times {\dot \vec{r})}}{\dd t} = m \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = \vec{r} \times {\vec{F}} = \vec{\tau}$$

donde hemos aplicado la 2ª ley de Newton, que, insisto, sólo será válida si el sistema de referencia es inercial.

¿Significa esto que si cierta componente de $\vec{\tau}$ es nula entonces podremos concluir que es constante la componente correspondiente de $\vec{L}$? La respuesta es sí, pero sólo si el sistema de referencia es inercial y, como dije antes, el que corresponde a la base de vectores de las coordenadas cilíndricas no lo es.

Para aclararlo aún más, procedamos a derivar una de las componentes del momento angular, y ver si coincide con la componente correspondiente de $\tau$. Por ejemplo, la componente $L_\rho$:

$\dot{L_\rho}=\dst \frac{\dd}{\dd t}\left(\vec{L}\cdot \vec{u}_\rho \right) = \dst \frac{\dd \vec{L}}{\dd t}\cdot\vec{u}_\rho+\dst \vec{L} \cdot \frac{\dd \vec{u}_\rho}{\dd t}$

Pero usando (3) para el primer sumando y (1) para el segundo, encontramos que

$\dot{L_\rho}=\vec{\tau} \cdot \vec{u}_\rho + {\dot\theta}\vec{L} \cdot \vec{u}_\theta$

Es decir

$$\dot{L_\rho}= \tau_\rho + {\dot\theta} L_\theta$$

Esta es la causa por la que del hecho que $\tau_\rho$ sea nulo no se puede concluir que $L_\rho$ sea constante. Por supuesto, nos ocurre lo mismo con $\tau_\theta$, como se puede comprobar con facilidad. En cambio, la misma comprobación nos permite afirmar que, debido a que $\vec{k}$ posee derivada nula, sí que podemos concluir que si es nula $\tau_z$ entonces se conservará $L_z$.

En definitiva, entiendo que para resolver el problema adecuadamente debes hacer uso de (4). Pero debo aclarar que esa parte no la he abordado, pues me he conformado con "comerme el tarro" buscando por qué no funcionaba tu planteamiento, que, confieso, me parecía correcto (es decir, yo también caía en la misma trampa).

Saludos!