Olimpiada Propuesto, sobre tiro parabólico

[angel relativamente]

El problema original se puede encontrar aquí. Es el primero, que dice "llançaments en futbol". Hago la traducción:

Para efectuar un lanzamiento largo o rápido, los jugadores de fútbol deben proyectar el balón con la mayor velocidad posible y con la orientación adecuada. Podemos estudiar las condiciones óptimas mediante las leyes de la cinemática. Para resolver este problema no tendremos en cuenta el rozamiento con el aire.

Cuestión 1
Demuestra que al chutar el balón desde el suelo, el ángulo de tiro respecto a la horizontal que produce el alcance máximo es 45º. Para un lanzamiento de 25m/s, ¿en qué distancia se acorta el alcance si nos equivocamos en 5º respecto al valor óptimo?

Cuestión 2
Para anticiparse a la reacción del contrario, en ocasiones no interesa obtener el alcance máximo sino un tiempo de vuelo corto. Para un lanzamiento de 25m/s, calcula qué distancia se pierde respecto al alcance máximo si queremos que el tiempo de vuelo dure medio segundo menos?

Cuestión 3
Al sacar de banda, el balón se lanza por encima de la cabeza a una cierta altura h por encima del suelo. Demuestra que el alcance máximo se obtiene cuando el ángulo de lanzamiento es:

$$\tan\alpha_{opt}=\dfrac{1}{\dst \sqrt{1+\dfrac{2gh}{v^2}}}$$

siendo g la aceleración de la gravedad y v la velocidad inicial del lanzamiento.
Determina el ángulo de lanzamiento para obtener el máximo alzance cuando $h=2m$.

Ahora pondré lo que yo he intentado. Si alguien está entrenando para estas olimpiadas, que lo haga sin mirar
Un saludo

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Ahí va mi intento (no en todas las cuestiones fructuoso) del problema:

Cuestión 1

La velocidad inicial se descompone en:

$v_x=v\cdot \cos\alpha$
$v_y=v\cdot \sin\alpha$

Cuando $x_{max}$, $y=0$:

$0=v\cdot \sin\alpha t -\dfrac 12gt^2 \qquad \Rightarrow \qquad t=\dfrac{2v \sin\alpha}{g}$

Por tanto:

$x_{max}=v\cdot \cos\alpha\cdot t = v\cdot \cos\alpha \cdot \left(\dfrac{2v \sin\alpha}{g}\right)= \dfrac{v^2 \sin 2\alpha}{g}$

Puesto que si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El alcance será máximo cuando:

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El alcance máximo que se produce con una velocidad inicial de 25m/s es:

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Puesto que el alcance horizontal es el mismo si tienen la misma velocidad inicial y ángulo complementario, si nos equivocamos 5º respecto al valor óptimo es indiferente hacerlo con mayor o menor inclinación, ya que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el complementario de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Calcularemos, pues, el alcance horizontal cuando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El acortamiento es de:

$Ac=x_{max}-x=64.78-63.8\approx 1\; m$

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Cuestión 2

Para el alcance máximo el tiempo de vuelo es:

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Si queremos que el tiempo de vuelo sea medio segundo más corto, es decir que $t'=3.6-0.5=3.1\; s$, calculamos con qué angulo de inclinación hemos de lanzar la pelota:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El alcance horizontal con este nuevo ángulo será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El acortamiento respecto al alcance máximo es:

$Ac=x_{max}-x'=64.78-61.56\approx 3.22\; m$


Cuestión 3

Esta no he sabido hacerla (y no porque le haya dado pocas vueltas). He llegado por energías a que:

$v_f=\dst \sqrt{2gh+v^2}$

Siendo $v$ la velocidad inicial y $v_f$ la final.

De ahí me queda que:

$tan\alpha_{opt}=\dfrac{1}{\dst \sqrt{1+\dfrac{2gh}{v^2}}} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \dfrac{v}{v_f}$

Pero después de operar de mil maneras no llego a nada.
Se que en este hilo se hace un planteamiento parecido, aunque me pierdo un poco (aún no lo he mirado con detenimiento). Si alguien se anima con esta cuestión, ¡adelante!
Un saludo

[Cat_in_a_box]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

¡Vaya! Mi querido problema strikes back... Pues al final, después de darle una cuantas vueltas (ya se las di hace unos cuantos meses), se llega a una solución que es justo la que te señalan. Veamos, en primer lugar escribamos las ecuaciones del movimiento tanto en el eje x como en el y:

$$x(t)=v_0\cos\theta t$$

$$y(t)=y_0+v_0\sin\theta t-\dst\frac{1}{2}gt^2$$

Hay varias formas de hacerlo, pero llegué a la conclusión de que lo más sencillito es eliminar el tiempo, despejándolo de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, de modo que al final obtengamos la ecuación de la trayectoria del dichoso balón:

$$y=y_0+x\tan\theta -\dst\frac{gx^2}{2v^2_0\cos^2\theta}$$

A eso he llegado operando un poquito, no tiene dificultad alguna. Pues bien, cuando el balón llega al suelo, tenemos que $y=0$ y que $x=R$, donde $R$ representa el ''rango'' o alcance máximo. Sustituimos pues en la ecuación de la trayectoria:

$$0=y_0+R\tan\theta - \dst\frac{gR^2}{2v^2_0}\sec^2\theta$$

Lo he expresado con secante por comodidad, más que nada. Por tanto, obtenemos una expresión que es función de un ángulo $\theta$, es decir, tenemos una función que es $R(\theta)$. Como queremos determinar el ángulo con el que se produce el alcance máximo, pues como en un problema de optimización, maximizamos la función, derivándola con respecto al ángulo. Así pues:

$$0= R\sec^2\theta + \dst\frac{\partial R(\theta)}{\partial \theta} \tan\theta - \dst\frac{2gR}{2v^2_0}\dst\frac{\partial R(\theta)}{\partial \theta}\sec^2\theta-\dst\frac{gR^2}{2v^2_0}\cdot\dst\frac{2\tan\theta}{\cos^2\theta}$$

Obtenemos así ese mostruo de expresión, que a primera vista parece poco manejable. Pero, recordemos, que lo que queremos es que el ángulo haga máximo el alcance, luego:

$$\dst\frac{\partial R(\theta)}{\partial \theta}=0$$

Así que nos ventilamos unos cuantos términos de la expresión de arriba, obteniendo algo más sencillito:

$$R\sec^2\theta - \dst\frac{gR^2}{v^2_0}\cdot\dst\frac{\tan\theta}{\cos^2\theta}=0$$

Que si sacamos factor común:

$$R\sec^2\theta\left(1-\dst\frac{gR}{v^2_0}\tan\theta\right)=0$$

Si miramos un poco esta expresión, llegamos a la conclusión de que no vale cualquier ángulo. Éste ha de cumplir ciertas condiciones, y la principal es que:

$$\tan\theta=\dst\frac{v^2_0}{gR}$$

De modo que al susituir en la ecuación (8) se cumpla la condición, que es que valga cero. Hemos obtenido así una expresión para la tangente, que si metemos en la ecuación (4), la de antes de derivar, tenemos que:

$$R=\dst\frac{v_0}{g}\dst\sqrt{v^2_0+2gy_0}$$

Notad que para llegar a esto, al sustituir, se ha tenido en cuenta la relación trigonométrica, bastante conocida:

$$\sec^2\theta =1+\tan^2\theta$$

Así pues, podemos ya sustituir en la expresión de la tangente el valor obtenido para el rango, y hallar así la expresión de la tangente del ángulo que hace máximo el alcance (rango):

$$\boxed{\boxed{\tan\theta_{op}=\dst\frac{v_0}{\sqrt{v^2_0 + 2gy_0}}=\dst\frac{1}{\sqrt{1+\dst\frac{2gy_0}{v^2_0}}}}}$$

Que es justo la expresión que nos indicaban. Ya no hay más que sustituir datos numéricos...

La verdad es que hay una forma un poco más corta, basada en el discriminante de la ecuación de segundo grado en la tangente del ángulo que sale en la ecuación de la trayectoria. No obstante, el argumento es un poco peligroso, ya que se asume que un sólo ángulo nos da el alcance máximo, que es válido en este caso pero no tiene por qué ser así. Si a alguien le interesa, ya sabe

Saludos y bonito problema

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Hola cat, gracias por animarte a resolver la cuestión 3 . No obstante, me pierdo un poco cuando pasas de 4 a 5, sobretodo en el apartado matemático. ¿De dónde te sacas esa derivada parcial?
Haciendo un acto de fe ahí, el resto se entiende perfectamente. Pero noto una lagunilla en ese paso que me gustaría llenar. Si no te importa, ¿podrías explicitarlo un poco más? Muchas gracias de nuevo.
¡Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Hola,

Tal vez lo que te haya perdido un poco es la notación si no estás muy acostumbrado a trabajar con derivadas parciales, pero verás que no es más que derivar cada cosa con respecto al ángulo. Vamos paso por paso para no perdernos. Tenemos:

$$y_0+R\tan\theta - \dst\frac{gR^2}{2v^2_0}\sec^2\theta$$

Por ahora nos olvidamos de que esta expresión es igual a cero, y nos centramos solo en las derivadas parciales. Como en cualquier problema de optimización, maximizamos la función, derivándola con respecto al ángulo, pues ya dije que el rango, alcance máximo, es función de dicho ángulo, es decir: $R(\theta)$. Por tanto:

$$\dst\frac{\partial y_0}{\partial \theta}=0$$

Cero, ya que es la derivada de una constante. Veamos la siguiente parte:

$$\dst\frac{\partial}{\partial\theta} \left[R(\theta)\tan\theta\right]=R(\theta)\cdot \sec^2\theta + \dst\frac{\partial R(\theta)}{\partial\theta}\tan\theta$$

Como ves, no he hecho más que la derivada de un producto. He puesto el rango en función del ángulo para que se vea mejor el proceso. Fíjate cómo he expresado la derivada del rango con respecto al ángulo. Tal vez es eso lo que te haya perdido, dejar la derivada indicada de ese modo.

Vamos con la última parte de la expresión, para ello, nos olvidamos también del signo negativo que va delante. Luego veremos qué expresión queda:

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Como ves, he hecho aquí lo mismo que en el anterior caso. Vamos, la derivada de un producto, teniendo en cuenta, esta vez, que el rango en función del ángulo se hallaba elevado al cuadrado. Por tanto, nos queda la siguiente expresión, juntando todo lo anterior:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y claro, teniendo en cuenta que:

$$\dst\frac{\partial R(\theta)}{\partial \theta}=0$$

Pues es la condición para que el ángulo dé el alcance máximo, tenemos que:

$$0+R(\theta)\cdot \sec^2\theta +0-\dst\frac{g}{2v^2_0}\left [0+R^2(\theta)\cdot 2\tan\theta\sec^2\theta\right]$$

Por lo que llegamos finalmente a:

$$R(\theta)\sec^2\theta -\dst\frac{g}{v^2_0}R^2(\theta)\tan\theta\sec^2\theta$$

Y ya, para dejarlo expresado de otra forma, lo único que hice fue:

$$\tan\theta\sec^2\theta=\dst\frac{\tan\theta}{\cos^2\theta}$$

De modo, que igualando ya a cero, llegamos a la expresión que indiqué en el anterior post:

$$R\sec^2\theta - \dst\frac{g}{v^2_0}\dst\frac{R^2\tan\theta}{\cos^2\theta}=0$$

O como lo dejé expresado la vez anterior, sin hacer el cambio de secante al cuadrado por uno partido del coseno al cuadrado, y sacando factor común a la secante cuadrado:

$$\boxed{R\sec^2\theta\left(1-\dst\frac{gR}{v^2_0}\tan\theta\right)=0}$$

Creo que así se entiende bastante bien, he procurado indicar todos los pasos, aunque si te surge alguna duda, ya sabes

Saludos,

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

¡Gracias Cat!
Ahora sí que se ha entendido bien. Vaya, el problema no era fácil para ser de olimpiada, estas son las típicas cosas que te ponen y no sabes por dónde salir. ¡Ya llevo algo de ventaja respecto al resto!
Saludos y gracias de nuevo

[carmelo]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Hola:

...

$$\tan\theta=\dst\frac{v^2_0}{gR^2}$$

...

Esta expresión es dimensionalmente incorrecta, debería de ser:

$$\tan\theta=\dst\frac{v^2_0}{gR}$$

Supongo que ha sido un error de tipeo, ya que al final llegas al resultado correcto.

Saludos
Carmelo

[Cat_in_a_box]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Efectivamente, carmelo. La verdad es que se me escaparon un par de cuadrados ayer al escribirlo. ¡Gracias!

[inakigarber]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Buenas noches;
Estoy tratando de resolver el 3er apartado del problema arriba expuesto, a ver si me sale.
Podemos descomponer la velocodad del balón en dos componentes. Velocidad horizontal
$Vh=Vcos(a)$ (esta es constante en ausencia de rozamiento)
$Vv=Vsen(a)$ (la cual sera uniformemente desacelerada)
El tiempo en que el balon ascendera a la cuota máxima $Ta=\frac{Vsen(a)}{9.81}$
La altura de dicha cota máxima sera$\Delta (h)=\frac{(Vsen(a))^2}{2*9.81}+H$
(siendo H la altura desde la que el jugador lanza el balon, que en este caso son 2 metros)
La velocidad de caida que alcanzara el balon al llegar al suelo $Vc=\sqrt{2*9.81*(\frac{(Vsen(a))^2}{2*9.81}+H)}$
y el tiempo que tardara en alcanzar dicha velocidad que sera el tiempo de caida;
$Tc=\frac{\sqrt{2*9.81*(\frac{(Vsen(a))^2}{2*9.81}+H)}}{9.81}$
El tiempo total de vuelo del balon sera; Tt=Ta+Tc$Tt=(\frac{Vsen(a)}{9.81})+(\frac{\sqrt{2*9.81*(\frac{(Vsen(a))^2}{2*9.81}+H)}}{9.81})$
El espacio total recorrido en ese tiempo sera; E=VhxT
$Et=(Vh=Vcos(a))*(\frac{Vsen(a)}{9.81})+(\frac{\sqrt{2*9.81*(\frac{(Vsen(a))^2}{2*9.81}+H)}}{9.81})$
Para calcular el angulo al que corresponde el mayor espacio calcularemos$\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} a}$

Para calcular la derivada (tras mas de tres dias peleandome con muneros) he decidido echar mano del Wolfram y me sale un texto tan grande que el LATEX no me permite editarlo. Por lo que no me ha quedado mas remedio que copiar la imegen)

El punto en que se alcance mayor distancia respecto al angulo sera tal que su derivada sera igual a 0. Luego;

Segun el Wolfram me sale;

Pido disculpas por lo indigesto de las ecuaciónes que me han salido.

Por cierto, feliz año a todos.

[inakigarber]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Cuestión 1
Demuestra que al chutar el balón desde el suelo, el ángulo de tiro respecto a la horizontal que produce el alcance máximo es 45º. Para un lanzamiento de 25m/s, ¿en qué distancia se acorta el alcance si nos equivocamos en 5º respecto al valor óptimo?

Llamemos V a la velocidad del balon y a al angulo de disparo. Esta podermos descomponerla en una componente vertical$Vv=Vsen(a)$ y otra horizontal $Vh=Vcos(a)$
El tiempo que tardara el balon en alcanzar su cota maxima $Tas=\frac{Vv=Vsen(a)}{g}$
Dado que tarda el mismo tiempo en subir que en bajar, tendremos que el tiempo total de vuelo sera;
$Tt=\frac{2*Vsen(a)}{g}$ y el espacio recorrido $Et=V=\frac{2V^2cos(a)sen(a)}{g}$
Aplicando el teorema de los maximos y los minimos sabemos que el maximo Estpacio se dara cuando la derivada de este respecto al angulo sea 0. En este caso no es necesario calcular la 2ª derivada. Luego; $\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d}a }=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}a }(\frac{2V^2cos(a)sen(a)}{g})$ Que sale $0=\frac{V^2}{g}(-sen^2(a)+cos^(a))$,Luego $sen^2(a)=cos^2(a)$,$sen(a)=cos(a)$;$a=tg^-1(1)=45$º

El alcance del balon para V=25 m/seg y a=45º $\frac{2*25^2*sen(45)*cos(45}{9.81}=63,7104$metros.
Si lanzo el balon con un angulo de 40º El tiempo de vuelo del balon sera $Tv=\frac{2*25*sen(40)}{9.81}$=3,276 segundos. Y el Espacio recorrido $Et=25*cos(40)*3,276$=62,742
La diferencia $\Delta {E}=63.7014-62.742=0,967$metros

[inakigarber]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Cuestión 2
Para anticiparse a la reacción del contrario, en ocasiones no interesa obtener el alcance máximo sino un tiempo de vuelo corto. Para un lanzamiento de 25m/s, calcula qué distancia se pierde respecto al alcance máximo si queremos que el tiempo de vuelo dure medio segundo menos?

Entiendo que se trata de calcular el ángulo y el espacio recorrido para un tiro que dure medio segundo menos. Para un angulo de 45º el tiempo total de vuelo sera.$\frac{2Vsen(a)}{g}$=3,604 segundos. El tiempo real de vuelo sera Tr=3,104 El tiempo que tardara en alcanzar la cota maxima sera $\frac{3.104}{2}=1,552$ segundos; como $T=\frac{Vsen(a)}{g}$,luego $sen(a)=\frac{gt}{V}$=0,609 que corresponde a un angulo de 37,517 º Para este angulo el alcance maximo sera 61,549 metros y la diferencia con el maximo de distancia alcanzable sera; $\Delta E=2,1606$ Metros.

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

... que corresponde a un angulo de 37,517 º Para este angulo el alcance maximo sera 61,549 metros y la diferencia con el maximo de distancia alcanzable sera; $\Delta E=2,1606$ Metros.

Revisa esa resta que haces al final

[inakigarber]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Buenas noches; Tal vez me haya equivocado, pero no encuentro el como. Voy a intentarlo de nuevo. El tiempo de vuelo del balon es de 3,604 segundos. Si acortamos medio segundo, tendremos Tv=3.604-0.5=3,104 segundos, y el tiempo que tardara en alcanzar el punto de inflexión de altura máxima sera la mitad Th=1,5520 segundos. A su vez sabemos que$Th=\frac{V*sen(a)}{9.81}$sustituyendo;$1.5520=\frac{25*sen(a)}{9.81}$
$sen(a)=\frac{1.5520*9.81}{25}=0,6090$ que corresponde a un angulo de 37,5177º el coseno es cos(a)=0,7931 El espacio total de vuelo sera $Et={V*cos(a)}*{Tv}$ por tanto $Et=25*0.7931*3.104=61,5496$ metros. El alcance maximo cuando lanzabamos a 45º era; $E(max)=\frac{2*25^2*sen(45)*cos(45}{9.81}=63,7104$ La diferencia de ambos valores$\Delta (E)=63,7104-61,5496=2,1608$
De todos modos, lo que mas me interesaba y que no he conseguido es el como simplificar el apartado final del desafio, en el que me perdi en laberinticas alucinaciones matemáticas.
Bueno, ya me aclararas en que me he equivocado. En todo caso gracias por la atención prestada.

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre tiro parabólico

Lo tienes estupendamente, soy yo el patán que te lía y te hace repetir los ejercicios sin ningún sentido. Y la razón es que mis resultados estaban mal por copiar mal, mira lo que puse:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Puesto que el alcance horizontal es el mismo si tienen la misma velocidad inicial y ángulo complementario, si nos equivocamos 5º respecto al valor óptimo es indiferente hacerlo con mayor o menor inclinación, ya que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el complementario de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Calcularemos, pues, el alcance horizontal cuando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El acortamiento es de:

$Ac=x_{max}-x=64.78-63.8\approx 1\; m$

El segundo resultado tiene que dar 62.8 m, y el 64.78 que pongo ahí me lo invento.
¿Qué me estaría pasando por la cabeza?