Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

[Al2000]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

...
y entonces

$$t(r) = \dst\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left( \frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right)$$

Una referencia a esta ecuación en otro hilo reciente hizo que me percatara de que la podemos escribir en la forma un poco menos aparatosa

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \tan^{-1}\sqrt{\frac {r_0-r} r}\right)$$

Otra variante interesante

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left(\frac{\sqrt r \sqrt{r_0-r}}{r_0} + \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right)$$

o también

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left[\sqrt{\frac r {r_0}\left(1 - \frac r {r_0}\right) } + \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right]$$

y

$$t(r) = \sqrt{\frac{r_0}{2GM}}\left[\sqrt{r (r_0 - r )} + r_0 \cos^{-1}\sqrt{\frac r {r_0}}\right]$$

Favor pasar al buffet...

Saludos,

Al

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Hola Arivasm y Al.
Muchas Gracias por vuestras respuestas.
Esto ya SI es correcto.
Voy a continuar por el 'hilo' 'problema con 3 masas'...
Un Saludo.

[arivasm]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Efectivamente, veo que al tratar de ahorrar tiempo copiando y pegando en las expresiones Latex me comí un cubo en el interior de la última raíz de la derecha (que equivale a comerse el factor que dice Al). He editado el post para arreglarlo. Muchas gracias Al.

Edito: veo que había otro error más, en la línea anterior y que también he arreglado. Ay!, que rollo es esto de ir haciéndose "mayor".

[Al2000]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Creo que arivasm se "comió" algún factor cuando calculaba la integral. Fíjate que la ecuación (4) no es dimensionalmente consistente; tiene unidades de longitud en el miembro izquierdo y el miembro derecho es adimensional. El error dimensional es arrastrado a la ecuación (5), en la cual el miembro derecho tiene unidades de [T]/[L].

Saludos,

Al

PD. Resolví la integral y en efecto el amigo arivasm extravió un factor $r_0$ en el valor de la integral. La expresión final quedaría $\dst t(r) = \sqrt{\frac {r_0}{2 G M}} \cdot r_0 \left[\frac \pi 2 - \tan^{-1} \sqrt{\frac r {r_0 - r}}+ \frac{\sqrt{r(r_0 - r)}}{r_0} \right]$. Recuerda que $r$ y $r_0$ se miden desde el centro de Tierra, si vas a comparar con el caso de aceleración constante.

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

[FONT=Times New Roman]Hola Arisvasm.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Gracias por tu respuesta.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si hago: Rd=50, R=49.5, G=10^-7, M=10^7[/FONT]
[FONT=Times New Roman]La formula (5) que me envias, da:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T(49.5)=0.9983…[/FONT]
[FONT=Times New Roman]O sea:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T(49.5)=0.9983…=5.0*(1.5707…-1.4706…+0.09949…)[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Y creo que esto no es posible.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si hago aceleración de la gravedad constante, con los mismos[/FONT]
[FONT=Times New Roman]datos. Con la formula:[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]E=1/2*((G*M)/Rd^2)*T^2[/FONT]
[FONT=Times New Roman]E=Rd-R[/FONT]
[FONT=Times New Roman]T(49.5)=50.0[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Aquí falla algo!!! [/FONT]
[FONT=Times New Roman]No veo razonable tanta diferencia.[/FONT]
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Times New Roman]Un Saludo.[/FONT]

[Al2000]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

...
[FONT=Times New Roman]Yo he intentado hacerlo usando la formula:[/FONT]
...
[FONT=Times New Roman]Pero los resultados que obtengo no me convencen.[/FONT]
...

Si deseas hacerlo por aproximaciones usando un programa de computadora, el ciclo iterativo sería algo así (para una sola dimensión, aunque fácilmente generalizable a 3D):

' Establece las condiciones iniciales
r <-- r0
v <-- v0 ' No necesariamente cero
t <-- 0
Dt <-- 1E-3 ' Algun intervalo convenientemente pequeño
LOOP
  a <-- g(r)
  v <-- v + a * Dt
  r <-- r + v * Dt
  t <-- t + Dt
UNTIL alguna condición, p.ej., r <= rfinal
RETURN t

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Caida libre. Aceleracion gravedad variable.

Si usas la conservación de la energía tienes una ecuación diferencial de primer orden que es relativamente fácil de integrar.

Llamaré r a la distancia al centro de la masa M. Si el cuerpo parte del reposo desde una distancia $r_0$, la conservación de la energía toma la forma

$$\dst\frac{1}{2}v^2-G \frac{M}{r}=-G \frac{M}{r_0}$$

y entonces

$$v=-\dst\frac{\dd r}{\dd t}=\sqrt{2 G M}\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}}=\sqrt{\frac{2 G M}{r_0}}\sqrt{\frac{r_0-r}{r}}$$

Por tanto,

$$\dst-\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}\dd r}=\sqrt{\frac{2 G M}{r_0}}\int_0^t{\dd t}$$

La integral de la izquierda, es un poco pesada de realizar. Yo he hecho el cambio de variable $u^2=r/(r_0-r)$. Finalmente me sale

$$\dst-\int_{r_0}^r{\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}\dd r}=r_0\left(\frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0}\right)$$

y entonces

$$t(r) = \dst\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left( \frac{\pi}{2}-arctg\sqrt{\frac{r}{r_0-r}}+\frac{\sqrt{r}\sqrt{r_0-r}}{r_0} \right)$$

[FONT=Times New Roman]Buenas noches a todos.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Alguien puede explicarme como calcular el tiempo que transcurre[/FONT]
[FONT=Times New Roman]desde que suelto un cuerpo en caida libre desde una altura D0 hasta[/FONT]
[FONT=Times New Roman]una altura D0-E teniendo en cuenta una aceleración de la gravedad[/FONT]
[FONT=Times New Roman]variable con la altura?[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Yo he intentado hacerlo usando la formula:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Dif.E = (G*M/D^2)*T*Dif.T [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Y un programa informatico.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Por ejemplo:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Primer ciclo. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(0) = 0 Ya que T(0)=0 y Dif.T = constante. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Segundo ciclo.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(1) = (G*M/D0^2)*T(1)*Dif.T Siendo T(1)=1*Dif.T[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Tercer ciclo.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(2) = (G*M/(D0-Dif.E(1))^2)*T(2)*Dif.T T(2)=2*Dif.T[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Cuarto ciclo.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Dif.E(3) = (G*M/(D0-Dif.E(1)-Dif.E(2))^2)*T(3)*Dif.T T(3)=3*Dif.T[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Y asi sucesivamente [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Cuando (D0-Dif.E(1)-Dif.E(2)-Dif.E(3)-…..) < (D0-E) hago STOP.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Y T = n * Dif.T[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Pero los resultados que obtengo no me convencen.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Muchas Gracias y un Saludo.[/FONT]