Otras carreras Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

[beliytxuri]

Hola a todos:

Se propone el siguiente problema:
Una masa m ligada a un muelle de masa despreciable, longitud natural {r}_{ 0} y constante k, se encuentra en el interior de un cilindro de momento de inercia también despreciable:


Aplicamos un momento constante al cilindro que acelera poco a poco hasta que alcanza la velocidad angular $\omega$. Se pide hallar el trabajo efectuado.

Para resolverlo, utilizo la Ecuación del Trabajo-Energía: El trabajo efectuado sobre el sistema se traduce en el aumento de su energía cinética así como en el aumento de la energía potencial elástica del muelle. Una vez hechas las cuentas (el problema original suministra datos numéricos concretos), mi resultado no coincide con el del solucionario.

Y entonces, hago un planteamiento más genérico encontrándome con lo siguiente:

- Segunda Ley de Newton para la rotación:

[1] $\tau =I\alpha =m{r}^{2 }\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d} t}$

- Ley de Hooke para el muelle (que suministra la fuerza centrípeta):

[2] $k(r-{r}_{0 } )=m{\omega }^{2 } r$

- Ecuación del Trabajo-Energía:

[3] $\tau \theta = \frac{1}{ 2} I{\omega }^{ 2}+\frac{1}{ 2}k{(r-{r}_{ 0} )}^{2 } = <br /> \frac{1}{2 }m{\omega }^{ 2} {r}^{2 } + \frac{1}{ 2}k{(r-{r}_{ 0} )}^{ 2}$

Derivo [3] con respecto al tiempo (aquí, $r, \omega , \theta$ son variables con el tiempo):

[3'] $\tau \omega = m{\omega }^{2 }r\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t} +m\omega {r}^{ 2}\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d} t} +k(r-{r}_{ 0} ) \frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d}t }$

Sustituimos en el tercer sumando la expresión [2]:

$\tau \omega = m{\omega }^{2 }r\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t} +m\omega {r}^{ 2}\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d} t} +m{\omega }^{2 } r\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}$

Agrupamos términos semejantes y simplificamos por $\omega$:

$\tau =2m\omega r\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}+m{r}^{ 2}\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t }$

Pero, de acuerdo con [1], $\tau =m{r}^{2 }\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d} t}$, luego se tiene que:

$2m\omega r\frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} t}=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}r }{\mathrm{d} r}=0 \Rightarrow r=cte.$

Lo que, por supuesto, no sucede.

Entiendo que debe de haber por ahí algo que no he sabido aplicar bien o quizás, algún signo "traidor".
Por ejemplo, si en [3'] el signo del tercer sumando (el del muelle) fuese negativo, todo encajaría. Pero no le encuentro "significado físico" a tal signo negativo.

Muchas gracias y un saludo.

[skinner]

Re: Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

Hola beliytxuri, según lo que he estudiado, podría resolverse efectivamente usando el Teorema de la Energía: $\delta W=dT$ donde T es la energía cinética.

Por tanto no influye la energía potencial del muelle.

Que alguien me corrija si me equivoco

Un saludo!

[Al2000]

Re: Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

...
Entiendo que debe de haber por ahí algo que no he sabido aplicar bien o quizás, algún signo "traidor".
...

Yo no veo error en el desarrollo, pero me preocupa la ecuación [3], donde supuestamente todo el trabajo sería realizado por el torque. Pero el torque no puede dar cuenta del trabajo radial. Al fin y al cabo el movimiento no es circular; la particula describe una espiral
y debe haber una fuerza, en este caso la del resorte, responsable del trabajo en dirección radial.

Saludos,

Al

[beliytxuri]

Re: Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

Skinner y Al2000, ante todo, gracias por responder.

Pero, de vuestras respuestas parece que se deduce que el trabajo efectuado por el momento $\tau$ únicamente se emplea en el aumento de la energía cinética.
Sin embargo, existe una energía almacenada en el muelle $U=\frac{1}{ 2}k{(r-{r}_{0 } )}^{ 2}$, que tiene que "haber salido de alguna parte".
Según Al, ese trabajo radial es efectuado por propio el resorte. Sin embargo, la idea del muelle efectuando "espontáneamente" un trabajo sobre sí mismo para aumentar su energía es una idea que me cuesta trabajo asimilar.
Tienes razón Al cuando dices que la masa sigue una trayectoria espiral. Por eso mismo, creo que el momento $\tau$ sí efectua un trabajo radial puesto que $\vec{F }$ y $\dd \vec{\ell }$ no son perpendiculares.

Lo dicho, muchas gracias y un saludo.

[polonio]

Re: Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

Hola beliytxuri, según lo que he estudiado, podría resolverse efectivamente usando el Teorema de la Energía: $\delta W=dT$ donde T es la energía cinética.

Por tanto no influye la energía potencial del muelle.

Que alguien me corrija si me equivoco

Ah, ¿no? ¿Y las fuerzas conservativas no realizan trabajo?

El trabajo de las fuerzas conservativas es justamente menos la variación de energía potencial.

[skinner]

Re: Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

Cierto, ya sabía yo que mi deducción era muy directa... ¿y dónde dices que se incluye ese término en el Teorema de la Energía?

Gracias Polonio, un saludo

[beliytxuri]

Re: Masa ligada a un muelle que rota dentro de un cilindro

Supongo que en el primer miembro de .
El trabajo realizado por las fuerzas conservativas incrementa la energía cinética.