Olimpiada Limpieza de la órbita geoestacionaria

[arivasm]

Recuerdo haber prometido en algún hilo que subiría al foro alguno de los problemas olímpicos de que dispongo. Además, he visto que hay amigos por aquí (creo que Sheldoniano es uno de ellos) que están preparándose. Por esos motivos, aquí dejo el primero, tomado de la fase local de Galicia de 2009.

"Uno de los principales problemas para el desarrollo de sistemas de comunicación espaciales es que los satélites artificiales suelen ser geoestacionarios, lo que significa que siguen el movimiento de rotación de la Tierra en una órbita ecuatorial.

a) Calcula la distancia a la que están de la superficie de la Tierra.

Como a esa distancia existen muchos satélites averiados y obsoletos, el riesgo de colisión con nuevos satélites es evidente. Podríamos alejarlos un poco de la Tierra, pero

b) ¿cuánto variaría su período de revolución si el satélite está a 10 km más de distancia?

Ahora están pensando en poner en órbita un satélite basurero que recoja esa "basura espacial".

c) ¿Con qué velocidad tendría que ser lanzado desde la superficie de la Tierra si tiene una masa de $10^5$ kg y se desea que viaje a 360 km/h más rápido que los satélites geoestacionarios (desprecia el rozamiento del aire)?

d) ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer toda la órbita?

Una vez en órbita va recogiendo basura espacial a una velocidad de 100 kg/min, pero consume combustible a una velocidad de 1kg/s (para poder mantenerse en órbita geoestacionaria a esa velocidad).

e) ¿Cuál sería su velocidad al cabo de 1 hora de trabajo?

Datos: $g_0=$9,78 m/s²; $R_0=R_T=$6378,4 km (en el ecuador).

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Gracias arivasm, mañana tengo un examen de bloque de matemáticas pero este finde le echo un ojo! Gracias de verdad!

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

¡Porras! Veo que no he colocado el hilo en el lugar correcto y por eso no he podido marcarlo como problema de Olimpiada. Por ello pido a la administración del foro que por favor lo mueva a Mecánica newtoniana y lo etiquete adecuadamente.

[angel relativamente]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Me aburría un rato y he hecho el a) y el b), si bien en el b) no he llegado a la expresión que me gustaría. Sheldoniano, ¡no vale mirar!

a)

$$\boxed{h=\dst \sqrt[3]{\dfrac{g_0 R^2_T T^2}{4{\pi}^2}}-R_T}$$

Siendo T= 1 día terrestre

b)

$$\boxed{\Delta T= T\left[ \left( 1+\dfrac{10}{h+R_T}\right)^{3/2}-1\right]}$$

Aunque el resultado numérico podía calcularse muy fácil (me sale una variación de 30s si no me he equivocado), llegar a una expresión matemática simplificada en función de los valores iniciales se me ha resistido. Al final he optado por dejarla en función de h, calculada en el apartado anterior.

¡Saludos!

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Bueno pues

a) Igualando $F_G = F_C$ y despejando R llegamos a $R= (\frac{GMT^2}{4\pi^2 })^{1/3}$
Multiplico y divido por $R_T^2$, y siendo $R= R_T+h$, despejo h y da:
$h=\left(\frac{g_o T^2 R_T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}-R_T$ que es lo que decía Ángel.

Sustituyendo los valores del enunciado me da que h=35837563,12m sobre la superficie de la Tierra.

b) Igualando la fuera gravitatoria y la centrípeta al igual que antes se obtiene

$t=\left[\frac{4\pi^2 R^3 }{GM}\right]^{1/2}$ Multiplicando y dividiendo por $R_T^2$ y sabiendo que $R=R_T+h$ tenemos

$\tau=\left[\frac{4\pi^2 (R_T+h)^3 }{g_o R_T^2}\right]^{1/2}$

T_1=86400s como era de esperar y T_2 es decir a 10000m de distancia: T_2= 8640,701s=>> $\Delta \tau=30,701s$ Como tb decía Ángel.

Ahora os sigo poniendo el resto de apartados, avisadme si me he equivocado copiando o calculando.
Un saludo

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Bueno pues:
c) [TEX]E_{M1}=E_{M2} [/TEX
$E_{C1}+E_{P1}=E_{C2}+E_{P2}$
$0.5 m V_1^2- \frac{GMm}{R_T}=0.5 m V_2^2- \frac{GMm}{R}$

Se van las m y sabiendo que la velocidad en órbita es: $v=\sqrt{g_o (R_T +h)}$ (se sobreentiende el cambio de g_o· R_T^2=GM que ya se hizo antes)

Además como dice el enunciado: $V_2= g_o(R_+h)+10 (m/s)$=>>

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y sustituyendo pues no da, alguna idea, espero no haber hecho ninguna burrada

El siguiente apartado saldría solo y el último la verdad es que no sé por donde meterle mano.

Un saludo y gracias

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

La velocidad orbital para una distancia $R_T+h$ es $\dst v=\sqrt{\frac{GM}{R_T+h}}=\sqrt {\frac{g_0 R_T^2}{R_T+h}}$. ¿Será esa la causa?

Para el último hay que tener en cuenta que para que pueda recorrer la órbita con una velocidad distinta de la que corresponde a la orbital debe actuar una fuerza impulsora (de sentido radial) que se añadirá al peso.

[JulianML]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

me encanta xD soy nuevo en el foro, por cierto, soy algo manta en la fisica pero soy un aficionado igualmente, me gustaria presentarme a las olimpiadas pero me barrerian mas que facilmente... suerte sheldoniano

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

La velocidad orbital para una distancia es . ¿Será esa la causa?

Exacto es que al sustituir GM por g_o R había puesto la R=R_T+h en lugar de lo que has puesto tú.

Para el último hay que tener en cuenta que para que pueda recorrer la órbita con una velocidad distinta de la que corresponde a la orbital debe actuar una fuerza impulsora (de sentido radial) que se añadirá al peso.

Em la verdad que nunca lo habíamos considerado en los problemas? Si no es molestia me gustaría saber cual es el desarrollo.

¿Qué me podéis decir el último apartado? Sinceramente no sabría que hacer con él.

Gracias por todo Arivasm

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Desarrollando un poco más la pista, diré que la fuerza resultante sobre el satélite, debida a su peso y el propulsor que deberá actuar empujándolo hacia la Tierra, es $m v^2/r=GMm/r+F_{pr}$, siendo $v$ la velocidad con la que realmente recorre la órbita y $F_{pr}$ la fuerza debida a su propulsor. De esta manera podemos conocer el valor de la fuerza propulsora. Por cierto, aunque no lo preguntan, será igual a $-v_g \dd m/\dd t$, siendo $v_g$ la velocidad con la que expulsa los gases y $\dd m/\dd t=-1 {\rm kg/s}$, con lo que podríamos conocer la velocidad respecto del satélite con la que salen los gases por la tobera (por cierto que el enunciado no aclara si se puede variar esta velocidad o no, lo que equivale a que se pueda variar la fuerza propulsora $F_{pr}$).

Al considerar la basura que recoge nos encontraremos con algo semejante a un "antipropulsor", pero que actúa tangencialmente (y frenando), con la materia entrando con la velocidad relativa entre el satélite y la basura.

Dejo aquí el paso que considero más difícil: con todo esto hay que fabricar la expresión que nos dé la respuesta buscada.

De todos modos, voy a ser sincero: aunque recuerdo haber hecho el ejercicio en su momento (y si no me equivoco lo tengo en la carpeta donde están los enunciados), ahora mismo no lo veo completamente, es decir, debo pensar con calma cómo diablos es ese último paso. Entre ese motivo realmente de peso y que no quiero resolver completamente el ejercicio, voy a dejarlo aquí, por ahora.

¿Quién se anima a hincarle el diente? Desde luego parece bonito, ¡a que sí!

Por cierto, como se puede ver, el nivel de este último apartado excede con mucho el típico de 2º de bachillerato.

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Parece interesante, a ver si este fin de semana me pongo yo con él

PD: Para JulianMl, si eres de Alicante, llegas tarde, las olimpiadas fueron hace 3 semanas

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

las olimpiadas fueron hace 3 semanas

¿Cuándo te dan las notas?

[angel relativamente]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

En teoría están "obligados" a dárnoslas como máximo un mes antes de las nacionales, es decir, sobre el 20-23 de marzo. Le pregunté al profesor y me dijo que nos las daría cuando tuviese tiempo de corregirlo, pero que del mes no bajaba. Así que supongo que en 1,2 ó 3 semanas. Ya os contaré que tal, aunque dudo bastante que esté entre los 3 primeros, pues había nivel y yo no me las preparé tanto como me hubiese gustado. Lo importante ahora es que vayas tú a por todas y bueno, que hagas lo que buenamente puedas, hay gente que se las empieza a preparar desde muy pronto.
¡Ánimo!

[dvc]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Una vez en órbita va recogiendo basura espacial a una velocidad de 100 kg/min, pero consume combustible a una velocidad de 1kg/s (para poder mantenerse en órbita geoestacionaria a esa velocidad).

e) ¿Cuál sería su velocidad al cabo de 1 hora de trabajo?

¿Cómo estáis tratando de resolver este apartado?

Tal y cómo está explicado lo que yo entiendo es que la fuerza (tangencial) que frena el satélite debido al choque con la "basura espacial" se compensa expulsando combustible en sentido opuesto, de manera que la fuerza neta tangencial es 0 en todo momento y, por tanto, la velocidad es constante.
Es decir, la velocidad es igual a la velocidad de una órbita geoestacionaria ( la velocidad que tendría el satélite si la única fuerza central a la que estuviera sometido fuese la atracción gravitatoria) más 360 km/h.

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Tienes razón en que es un tanto contradictorio. Sin embargo, yo lo entendí como que el consumo de combustible sería el que mantendría el satélite orbitando 360 km/h más rápido de lo que corresponde a la velocidad orbital. Es decir, el que tendría si no recogiese basura, pero que hacer esto último le causa una disminución de la velocidad.