Limpieza de la órbita geoestacionaria

[dvc]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Tienes razón en que es un tanto contradictorio. Sin embargo, yo lo entendí como que el consumo de combustible sería el que mantendría el satélite orbitando 360 km/h más rápido de lo que corresponde a la velocidad orbital. Es decir, el que tendría si no recogiese basura, pero que hacer esto último le causa una disminución de la velocidad.

Igual te estoy entendiendo mal, ¿lo que dices es que sigue expulsando el mismo combustible (en dirección radial) que el necesario para obtener la órbita del apartado c)?

Si esto es así, al encontrarse con basura espacial la órbita dejaría de ser circular, es decir, iría cayendo hacia la Tierra. Además, suponiendo que la "densidad" de basura es uniforme, la fuerza que frena el satélite dependerá de la velocidad de este (cuanto más rápido vaya el satélite, más basura recogerá por segundo).
Además, no estoy seguro pero es muy probable que la velocidad del satélite no disminuyera sino que aumentara, como sucede cuando un satélite es frenado por una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de su velocidad: (resulta paradójico, pero en este link puedes ver la explicación: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ce...a_satelite.htm).

No se, no creo que en el problema pidan hacer razonamientos de este tipo. En cualquier caso, el enunciado de ese apartado me parece un poco ambiguo.

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Efectivamente, para que continúe en la órbita debe variar la fuerza propulsora radial (de manera que cada vez sea menor, pues irá perdiendo velocidad). Eso sólo implica que debe variarse la velocidad de emisión de los gases, pero no está reñido con que mantenga un caudal de salida determinado. Entiendo que la solución exige dicho reajuste.

Así pues, entonces, sólo bastará con tener en cuenta la conservación de la componente tangencial del momento lineal. Así encuentro que

$\dst \Delta v = - \frac{\dd m}{\dd t}\frac{v_0}{m_0}\Delta t$

y entonces, al cabo de una hora habrá reducido su velocidad en 274 km/h.
Edito: como se dice en una entrada posterior, la expresión anterior es incorrecta

Debo aclarar que quizá el ejercicio debería presuponer que la densidad de basura es constante a lo largo de la órbita, con lo que el ritmo de captura de basura no debería ser constante. Una vez que alguien confirme o rectifique mi expresión anterior podríamos intentar hincarle el diente a ese caso.

Saludos!

[dvc]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Igual estoy equivocado pero a mí me da una fórmula igual que la tuya pero poniendo, en lugar de $v_0$, la velocidad del satélite en cada momento y, en lugar de $m_0$, la masa del satélite en cada momento (la masa inicial del satélite más la basura que ha recogido menos el combustible que ha expulsado). Es decir, me da que la aceleración del satélite no es constante. Y, a simple vista, no sabría cómo calcular "fácilmente" la velocidad del satélite en función del tiempo.

Saludos!

[arivasm]

º

Sí, tienes razón en que me había equivocado con la masa y entonces la expresión anterior no era correcta. Creo que ahora sí la tengo. A ver si es verdad!

Como dije antes, la componente tangencial del momento lineal será constante (si la fuerza impulsora es radial, como dije antes). Por tanto,

$m v = m_0 v_0$

y entonces

$\Delta v = v-v_0 = v_0\frac{m_0-m}{m}$

Si el ritmo de variación de la masa es constante,

$m-m_0=\dst\frac{\dd m}{\dd t}\Delta t$

De manera que

$\dst \Delta v = -v_0 \frac{\frac{\dd m}{\dd t}\Delta t}{m_0+\frac{\dd m}{\dd t}\Delta t}=-v_0 \left( 1 +\frac{m_0}{\frac{\dd m}{\dd t}\Delta t} \right)^{-1}$

[inakigarber]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Buenas noches, vamos a ver si puedo responder los problemas que se plantean de forma coherente. Empecemos por el principio.

[FONT=Tahoma]"Uno de los principalesproblemas para el desarrollo de sistemas de comunicación espaciales es que lossatélites artificiales suelen ser geoestacionarios, lo que significa que siguenel movimiento de rotación de la Tierra en una órbita ecuatorial.[/FONT]

[FONT=Tahoma]a) Calcula la distancia a la que están de la superficie de la Tierra. [/FONT]

Cuando el satélite se encuentra en órbita estacinaria deberan de darse las siguentes circunstancias.
1) La fuera de gravedad y la fuerza centrípeta serán iguales y de sentido contrario.
Luego;$F_g=\frac{GM_tM_s}{R_s^2}$ donde G es la constante de gravitación univarsal , M_t es la masa terrestre , M_s la masa del satélite y R_s la distancia desde el centro de la tierra al satélite. La fuerza centripeta $F_c=M_s(\frac{V_s^2}{R_s})$ Dado que $F_g=F_s$, luego $\frac{GM_tM_s}{R_s^2}=M_s(\frac{V_s^2}{R_s})$.
Dividiendo por M_s obtenemos;
1) $\frac{GM_t}{R_s^2}=(\frac{V_s^2}{R_s})$
Las orbitas geoestacionarias son circulares por lo que la velocidad del satélite de acuerdo con las leyes de Kepler y de Newton es uniforme y valdra;
$V=\frac{2*\pi*R_s}{T}$ donde T es el tiempo que tarda en dar una revolución.
Luego 2) $V^2=\frac{(2*\pi*R_s)^2}{T^2}$
Despajando $V^2$ de la exprexión 1) e igualando en la expresión 2) obtenemos $V^2=\frac{GM_t}{R_s}=\frac{(2*\pi*R_s)^2}{T^2}$ despejando R_s obtendremos $R_s=\sqrt[3]{\frac{G*M_t*T^2}{4*\pi^2}}$
Dado que la órbita es estacionaria el periodo de giro del satélite es de T=24 x 3600=86400 Segundos
Los datos de Masa de la tierra y de G son $G=6.693*10^{-11} (m^3/Kg*s^2)$ y $M_t=5.9736*10^{24}$ Kg
El resultado que me sale es de una distancia de 42283887,0304 metros desde el centro de la tierra al satélite. Dado que el radio terretre es de 6378400 metros la altura que alcanza el satélite respecto a nosotros sera de; 35905487,0304 Metros.

[FONT=Tahoma]b) ¿cuánto variaría su períodode revolución si el satélite está a 10 km más de distancia? [/FONT]

Me baso para ello en la tercera ley de Kepler
$\frac{T^2}{R_s^3}=Constante$
$\frac{T_f^2}{(R_s+10 Km)^3}=\frac{T^2}{R_s^3}$
Me da un valor T_f=86430.65 La diferencia me sale de 30.65 segundos que se retrasaria respento a la órbita inicial.

[FONT=Tahoma]c) ¿Con qué velocidad tendríaque ser lanzado desde la superficie de la Tierra si tiene una masa de [/FONT][FONT=Tahoma]kg y sedesea que viaje a 360 km/h más rápido que los satélites geoestacionarios(desprecia el rozamiento del aire)?[/FONT]

Para calcular dicha velocidad calculare primero la energia necesaria para subir el satelite a órbita geoestacionaria.
$E_p={GM_sM_t}{(\frac{1}{R_o}-(\frac{1}{R_s})}$
donde R_o es el Radio terrestre = 6378400 m y R_s es el radio de la órbita estacionaria =[FONT=Tahoma]6378400+35905487,0304 metros = 42283887,0304 metros[/FONT]
[FONT=Tahoma]Lo cual me da una energia =$5,3056284*10^12$ Julios en concepto de energia potencial[/FONT]
[FONT=Tahoma]Ademas, la energia necesaria para desplazar el satélite a 360 Km/h 360 Km/h equivalen a 100 m/seg[/FONT]
[FONT=Tahoma]Por lo que la energia cinética seria de $E_cin=\frac{M_s*V^2}{2}$ Lo cual da un valor de[/FONT]
[FONT=Tahoma]$E_{cin}=5*10^8$ Julios[/FONT]
[FONT=Tahoma]La energia total a comunicar al satélite sera por tando de $E_t=5,3061284*10^12$ Julios[/FONT]

[FONT=Tahoma]La velocidad con la que tendria que ser lanzado para alcanzar esa energia seria; $V_l=\sqrt{\frac{2E_t}{10^5}}$ lo cual me da una velocidad de $10301,5809$ m/seg[/FONT]

Para calcular el tiempo que tardaria en recorrer una orbita completa en etas circunstancias seria la correspondiente a la velocidad orbital + los 100 m/seg añadidos.
La velocidad orbital vale $V_o=\frac{2\pi*R_s}{T}$ donde R_s es el radio de la orbita R_s=42283887,0304 metros y T el periodo T=86400 segundos La velocidad orbital seria 3074,971 y la velocidad orbital total V_t=3174,971 m/seg . A esta velocidad el tiempo en dar una orbita seria de$T_f=(2*\pi*R_s/V_t)$=83678,7153
Pasemos al apartado final

El satélite circula con una velocidad de 100 m/seg lo cual equivale a una energia cinetica de $E_{cin}=5*10^8$ Julios. Si esta permanece constante la velocidad debera variar ya que varia la masa. En un segundo "engorda" comiendo basura espacial $100/60=1,666$ Kg y "adelgaza"
1 Kg de "calorias" la diferencia es de 0.666 Kg de "engorde" por segundo. Lo cual en una hora sale 2400 Kg Con lo que la velocidad al cabo de una hora sera $V_h=\sqrt{\frac{2*E_cin}{(10^5)+2400}}$ Que me sale 44,1941 m/seg

[dvc]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Vale, a mí me sale la misma respuesta que a tí.
Yo había obtenido la siguiente ecuación diferencial:
$dv=-\frac{dm}{dt}\frac{v}{m}dt$
Que, al resolverla, me da lo mismo que a tí (aunque tu método es mucho más sencillo).

De todas formas, ¿este apartado no es demasiado complicado para una olimpiada de física? A mí por lo menos el año que partícipé no encontré ningún apartado tan complicado (ni siquiera en la fase nacional).

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

1) La fuera de gravedad y la fuerza centrípeta serán iguales y de sentido contrario.

Perdonadme que sea tan "tiquis-miquis": la fuerza gravitatoria es la única que actúa sobre el satélite (al menos en el apartado a)) y está dirigida hacia el centro de la Tierra. Como la órbita es circular, sólo posee la componente centrípeta y de ahí que en la expresión de la aceleración del satélite sea $v^2/r$. En definitiva, no hay dos fuerzas; sólo una que tiene carácter centrípeto.

Por supuesto el resultado es la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares: $\dst T^2=\frac{4 \pi^2}{G M_T}r^3$

¿este apartado no es demasiado complicado para una olimpiada de física? A mí por lo menos el año que partícipé no encontré ningún apartado tan complicado (ni siquiera en la fase nacional).

Sí está en el nivel de 2º de bachillerato, en el sentido de que, en realidad, no usa ningún concepto que no se haya estudiado antes. De todos modos, yo también opino que era realmente difícil. Otro día subiré otro problema de la misma fase, para que veáis que no fue el único en el que se "tiraron de la moto" (el bueno de mi alumno que se presentó volvió diciendo que le había salido muy mal, lo que no me extrañó nada, y no por la calidad del chaval, sino por los problemas!).

Y ya puestos, y una vez resuelto el problema, propongo complicarlo aún más tirando de la idea que expresó dvc de la órbita con basura distribuida uniformemente. Es decir, reemplacemos el último apartado por este otro (intentaré redactarlo con precisión):

Si la basura se distribuye de manera uniforme a lo largo de la órbita geoestacionaria y el satélite se diseña de manera que se mantenga recorriendo dicha órbita con una velocidad ajustada en cada instante a su masa, para lo que se recurre a un consumo de combustible que ocurre a un ritmo constante, encontrar la expresión que proporcione el tiempo máximo de operación si no es posible invertir el sentido de empuje de los motores del satélite.

Aplíquese al caso en que el combustible se consume a un ritmo de 1 kg/s y que la densidad de basura en la órbita sea de 16 kg/km.

Antes de que lo diga nadie, reconoceré que ahora yo sí que me he tirado de la moto.

Saludos!

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Los datos de Masa de la tierra y de G son

En realidad el valor de G lo has puesto tú porque te lo sabes pero si no te lo da el problema no lo puedes usar. Bastaría con saber que $GM_T=g_0 R_T^2$

[inakigarber]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

En eso tienes razon. Lo que ocurre es que yo no recordaba entonces que $GM_t=g_oR_t^2$ y por eso use estos datos. Me conformo con ver si puedo llegar a resolver estos problemas, aunque sea recurriendo a esa trampa , por lo que voy a seguir a ver si llego.

[inakigarber]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Perdonadme que sea tan "tiquis-miquis": la fuerza gravitatoria es la única que actúa sobre el satélite (al menos en el apartado a)) y está dirigida hacia el centro de la Tierra. Como la órbita es circular, sólo posee la componente centrípeta y de ahí que en la expresión de la aceleración del satélite sea $v^2/r$. En definitiva, no hay dos fuerzas; sólo una que tiene carácter centrípeto....

Has sido perdonado. No obstante hay algo que no he debido entender bien. Para que el satélite se mantenga estacionario debe haber al menos un equilibrio entre dos fuerzas opuestas, una centripeta (la gravedad) que tiende a atraer al satélite y otra centrífuga que tiende a sacar el satelite de su órbita. No entiendo por tanto el comentario arriba indicado.

[arivasm]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Para que el satélite se mantenga estacionario debe haber al menos un equilibrio entre dos fuerzas opuestas, una centripeta (la gravedad) que tiende a atraer al satélite y otra centrífuga que tiende a sacar el satelite de su órbita. No entiendo por tanto el comentario arriba indicado.

Hmmm. Tienes que exorcizar un "espíritu malo" en tu entramado conceptual!

Supongamos que lo que dices es correcto: que hay dos fuerzas, una centrípeta (el peso -pues la gravedad no es una fuerza, sino una fuerza por unidad de masa, y de ahí que se exprese en unidades de aceleración-) y una centrífuga que la contrarresta y que es ejercida sobre el satélite por... estooo...., ehhh.... Bien, no importa que no sepamos de dónde viene.

Si es así, la fuerza resultante sobre el satélite será nula. Pero entonces, de acuerdo con el principio de inercia, el satélite estará en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme!

No, no, insisto. ¡Sólo hay una fuerza! El peso!. Vuelve a leer mi comentario y medítalo a la luz de las leyes de Newton!

[inakigarber]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Creo que tienes razon. Si no operara ninguna fuerza sobre el satélite este no podria seguir un movimiento orbital. Ya que estaría o quieto o en movimiento uniforme. Seguire meditando el tema y espero quitarme el "espirítu malo". En todo caso gracias por el comentario y por el problema olimpico. Es cierto que yo he cometido dos trampas al introducir dos valores que no venian en el problema. (G y la masa terrestre).Al menos me ha parecido mas "asequible" que algun otro problema olimpico anterior, me ha dado menos dolores de cabeza y ha merecido la pena.

[Sheldoniano]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Si no operara ninguna fuerza sobre el satélite este no podria seguir un movimiento orbital. Ya que estaría o quieto o en movimiento uniforme. Seguire meditando el tema y espero quitarme el "espirítu malo".

Sigue pensando sobre ellos, te doy una pista, la Tierra también se mueve...

[xXminombreXx]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Esa fuerza aparece como fuerza inercial al poner tu sistema de referencia en el propio satélite. Supongo que es el equilibrio al que haces referencia. Si te pones en un sistema terrestre entonces sólo está el peso.

[inakigarber]

Re: Limpieza de la órbita geoestacionaria

Creo que todo esto ocurrio porque fuy victima de mi propia ignorancia. Yo pense. "Si el satélite está en órbita geoestacionaria esta en reposo respecto a mí"(suponiendo que yo estuviera quieto respecto a la tierra). La úinica forma de que un cuerpo esté en reposo respecto a mi es que el sumatorio de fuerzas que operan sobre este cuerpo sean cero". Este planteamiento es erroneo, ya que para que el satélite se mantenga en una órbita es necesaria la existencia de una fuerza de atracción. En ausencia de esta fuerza el satélite seguiria un movimiento rectilíneo, nunca una orbita circular. Espero que algun dia Newton y Kepler me lo sepan perdonar.