Olimpiada Carro de feria "looping"

[Sheldoniano]

En algunos puestos de feria se exhibe un juego llamado "looping" que está constituido, como es sabido, por dos raíles que empiezan siendo horizontales, para después enrollarse formando una circunferencia (de centro O y radio r), y terminan siendo de nuevo horizontales, como se muestra en la figura. Sobre los railes va un carrito de pequeñas dimensiones que nosotros asimilaremos a un punto material situado en el centro de gravedad G). Llamemos $v_0$ a la velocidad con la que el carrito alcanza el "looping" en I. Se desprecian todos los rozamientos y se pide:
1) Calcular la velocidad v del carrito cuando la posición del mismo G forma un ángulo $\theta$ con la vertical OI. Se supondrá OG=r.
2) Dibujar y calcular la reacción R de los carriles sobre el carrito. Se expresará R en función de $\theta$. ¿Cuál es el valor mínimo de R?
3) ¿Cuál debe ser el valor mínimo de $v_0$ para que el carrito describa una vuelta completa en el interior del "looping", permaneciendo constantemente en contacto con los raíles? (Tomar g=10m/s^2 y r= 50cm
4) ¿Cuál será, para ese valor mínimo de $v_0$, la velocidad del carrito en un segundo paso por el punto I?
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Buf que largo. Bueno id pensando si queréis, os voy a subir lo que he planteado

[Sheldoniano]

Re: Carro de feria "looping"

1) Puesto que no existe rozamiento ni fuerzas externas no conservativas se cumple el principio de conservación de la energía mecánica:
$EM_0 = EM \Rightarrow \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv^2+mgh \Rightarrow v=\sqrt{v_0^2-2gh}$

Al ser $h=r-rcos \theta$ y sacando factor común r: $v=\boxed{\sqrt {v_0^2-2gr(1-cos \theta)}}$

2) La reacción R sobre el carrito será igual a la normal:

$R=N=mgsen\theta$

El valor mínimo será R=0 en el punto más alto es decir $\theta=180º$

3) Para que no se separe:

$P=F_C \Rightarrow mg=m\frac{v^2}{r} \Rightarrow v^2= gr=5m^2/s^2$ (Dejando la velocidad al cuadrado porque conviene para lo siguiente)

Despejando $v_0$ en la fórmula obtenida en 1) y sustituyendo: $v_0=\sqrt{5+2\cdot 10 \cdot 0,5\cdot (1-(-1))}= 5 m/s$ Puesto que el carro en este caso se encontraría en el punto más alto y el ángulo valdría 180º.

4) Puesto que la energía se conserva la velocidad al pasar por I será igual a la inicial. Matemáticamente a partir de la expresión de la velocidad de 1) nos quedaría efectivamente que $v=v_0$


Espero no haber cometido errores de tipeo, mis olimpiadas son mañana, algún error? Gracias por la atención

[arivasm]

Re: Carro de feria "looping"

La reacción no es igual a la componente radial del peso (que además será $mg \cos\theta$). Si fuese así la componente centrípeta de la fuerza resultante sería nula y entonces también lo sería la aceleración centrípeta. Como ésta es $v^2/r$, está claro que lo que dices sólo será cierto en los puntos en los que la velocidad sea nula, que me temo que no existen en este problema.

Para encontrar la reacción debes considerar la 2ª ley de Newton (en particular la componente centrípeta) y hacer uso de lo que ya has encontrado en el apartado a).

[arivasm]

Re: Carro de feria "looping"

Como acabo de ver que estás a unas horas de la olimpiada, en primer lugar, quiero expresarte mis deseos de que obtengas el mejor de los resultados. Pero también quiero completar lo que escribí antes, por si llego a tiempo de que lo veas.

Por la segunda ley, aplicada a la componente centrípeta de la fuerza resultante,

$\dst R-mg\cos\theta=m\frac{v^2}{r}=m\frac{v_0^2}{r}-2mg(1-\cos\theta)$

luego

$\dst R=m\frac{v_0^2}{r}-mg(2-3 \cos\theta)$

[Sheldoniano]

Re: Carro de feria "looping"

Muchas gracias! Me voy a hacerlas ya! ya os contaré

[inakigarber]

Re: Carro de feria "looping"

Buenas noches.
Voy a ver si resuelvo todos los apartados de este problema. Empiezo por el que me parece mas facil.

[FONT=Tahoma]3) ¿Cuál debe ser el valor mínimo de V_o [/FONT][FONT=Tahoma]para que el carrito describa una vuelta completa en el interior del "looping",permaneciendo constantemente en contacto con los raíles? (Tomar g=10m/s^2 y r=50cm[/FONT]

El valor minimo de Vo debera ser tal que toda la energia cinética se convierta en potencial.

Entonces tendremos $E_c=\frac{mV_o^2}{2}=mgH$ donde m es la masa del carro que se elimina al estar multiplicando en ambos lados de la expresión y H la altura total $H=2r$, luego tendremos $E_c=\frac{V_o^2}{2}=2gr$ luego obtendre $V_o=2\sqrt{gr}$
que sustituyendo valores me da; V_o=4,472 m/seg de velocidad.

el apartado siguiente;

[FONT=Tahoma]4) ¿Cuál será, para ese valormínimo de V_o [/FONT][FONT=Tahoma], lavelocidad del carrito en un segundo paso por el punto I?[/FONT]

En el enunciado no se menciona el rozamiento por lo que considero que toda la energia mecánica se conserva por lo que la velocidad en el segundo paso por I debe ser la misma que en el primero.

1) Calcular la velocidad v del carrito cuando la posición del mismo G forma un ángulo $\theta$ con la vertical OI. Se supondrá OG=r.

Nuestro carrito al formar un ángulo $\theta$ habra subido una altura que sera $\Delta{h}=r(1-\cos\theta)$ a la cual correspondera una energia potencial $E_p=mgr(1-\cos\theta)$ que deberemos restar a la energia inicial que tenia el sistema al principio. Tendremos por tanto;
$\frac{mV_o^2}{2}=mgr(1-\cos\theta)+\frac{mV_2^2}{2}$
eliminando m y despejando V_f me queda $V_f=\sqrt{V_i^2-(2gr(1-\cos\theta)}$

....De momento lo dejo por hoy porque ya es hora de descansar....

[arivasm]

Re: Carro de feria "looping"

El valor minimo de Vo debera ser tal que toda la energia cinética se convierta en potencial. Entonces tendremos $E_c=\frac{mV_o^2}{2}=mgH$

Yo no subiría en esa atracción si fuese como dices! Piensa que con tu cálculo si el carro llegase al punto más alto lo haría con velocidad nula. Como te puedes imaginar, la trayectoria que seguiría a continuación sería una caída libre, de final nada agradable, en lugar de bajar por el raíl.

No, el enfoque es algo más complejo (es el que hizo antes Sheldoniano): mientras el carro esté apoyado sobre el raíl éste ejercerá una fuerza normal, de carácter centrípeto. Debo aclarar que podría ser centrífugo si el carro además de apoyarse sobre el raíl pudiese colgar de éste, es decir, si tuviese un sistema de ruedas por encima y por debajo del raíl (como sucede, por razones de seguridad, con las atracciones de verdad). En este último caso tu cálculo sí habría sido correcto.

Tal como dijo Sheldoniano, la clave del ejercicio está en considerar qué deberá suceder para que en todos los puntos el raíl ejerza una fuerza normal centrípeta. Es relativamente fácil ver que el mínimo corresponderá al punto más alto, de manera que la condición es que sea $R\geqslant 0$

[inakigarber]

Re: Carro de feria "looping"

CARRITO DE FERIA.rar

Yo no subiría en esa atracción si fuese como dices!...

Yo tampoco montaria en una atraccion de feria diseñada por mi. Ire madurando ideas..CARRITO DE FERIA.rar

Para que el carro ejerza una fuera sobre el rail en todo su recorrido debera atacar al bucle con una velocidad superior a la indicada por mi. Dado que la velocidad irá disminuyendo conforme suba y dado que tambien la fuerza normal que ejerce el carro sobre el rail depende de la velocidad esta tambien ira variando conforme cambia la velocidad. En el post anterior ya había deducido (si no me he equivocado) la formula de la velocidad $V_f=\sqrt{V_i^2-(2gr(1-\cos\theta))}$ dado que la aceleracion centrípeta que es $\alpha =\frac{V_f^2}{r}$ esta variara tambien con la velocidad y por tanto con la altura.
He hecho una hoja de cálculo (esta en carrito de feria) donde he pretendido definir los valores de la velocidad, la fuerza centripeta y la resultante de esta y la gravedad (que es lo que definiria la reacción de los railes) en función del ángulo.El gráfico que presente tiene al menos un inconveniente, y es que al calcular la velocidad del objeto respecto al angulo mediante una raiz si el factor $V_i^2-(2gr(1-\cos\theta)$ tiene valor negativo no me sale ningun valor ya que Excel no trabaja (que yo sepa) con numeros imaginarios. Con lo que si ese factor es negativo no da valor numerico de la velocidad.
Supongo que habra muchas cosas que mejorar, ya me direis algo.