2o ciclo Pasar velocidad covariante a contravariante

[Dr Kyo]

Quisiera que me ayudaran a pasar la velocidad covariente {v}^{ u} {e}_{ u} por ejemplo (e es el vactor unitario). ¿Si son cooerdenadas ortogonales puedo decir {v}^{ u} {e}_{ u} = {v}_{u } {e}^{u }?

[arivasm]

Re: Pasar velocidad covariante a contravariante

Si los vectores de la base son ortogonales y unitarios (es decir, si la base es ortonormal) entonces las componentes contravariantes y las covariantes de cualquier vector son iguales.

[Dr Kyo]

Re: Pasar velocidad covariante a contravariante

Ah ok, muchas gracias es que no estaba seguro pero ya estoy feliz con eso que me dijo

[aperea]

Re: Pasar velocidad covariante a contravariante

No es cierto. Las componentes covariantes y contravariantes son las mismas SOLO en el sistema cartesiano. Esto se debe a que los planos coordenados (x=cte,y=cte,z=cte) son ortogonales a los ejes de coordenadas.

[arivasm]

Re: Pasar velocidad covariante a contravariante

Si los vectores de la base son ortogonales y unitarios (es decir, si la base es ortonormal) entonces las componentes contravariantes y las covariantes de cualquier vector son iguales.

No es cierto. Las componentes covariantes y contravariantes son las mismas SOLO en el sistema cartesiano. Esto se debe a que los planos coordenados (x=cte,y=cte,z=cte) son ortogonales a los ejes de coordenadas.

Primero, no acabo de ver la diferencia, salvo que omites la necesidad de que los vectores sean unitarios (en cambio, yo insisto en ello). Segundo, pregunto, ¿entonces en un sistema de coordenadas esférico, por ejemplo, (que no es cartesiano pero sí ortonormal) son diferentes?

[juantv]

Re: Pasar velocidad covariante a contravariante

". Si los vectores base contravariantes son ortonormales entonces son equivalentes a los vectores base covariantes, así que no hay necesidad de distinguir entre coordenadas covariantes y contravariantes, y todos los índices son superíndices."

[pod]

Re: Pasar velocidad covariante a contravariante

Quisiera que me ayudaran a pasar la velocidad covariente {v}^{ u} {e}_{ u} por ejemplo (e es el vactor unitario). ¿Si son cooerdenadas ortogonales puedo decir {v}^{ u} {e}_{ u} = {v}_{u } {e}^{u }?

Todas las u's son números reales, $e_i$ son vectores por lo que $v^i e_i$ es un vector. Por otro lado, $e^i$ es una 1-forma, combinada con números reales $v_i e^i$ sigue siendo una 1-forma. Una 1-forma nunca será igual a un vector, es como comparar peras con patatas. Jamás se satisfará la igualdad que pones, son objetos de naturaleza diferente.

Para subir o bajar el índice de las coordenadas, tienes que usar la métrica,

$$v_ii = \sum_j g_{ij} v^j .$$

En mecanica newtoniana, prácticamente siempre tendremos una métrica plana, y nos centraremos en un sistema cartesiano donde la métrica es diagonal, donde $g_{ij} = \delta_{ij}$, por lo que estaremos en el caso que comenta arivasm. Pero que las coordenadas sean las mismas no significa que sean iguales, son objetos de diferente naturaleza con las mismas cordenadas.