ayudaaaaaa este se me re complico

[LauraLopez]

Re: ayudaaaaaa este se me re complico

entonces decis que lo que hicimos antes estaria mal?

Lo que planteaba sheldon sobre que lo mismo q sube es igual a lo que baja pareciera estar bien, y la formula que usa para calcular la altura maxima tambien asi que basandose en ese resultado y el principio de que lo que sube es lo que baja llegamos a ese resultado que no es igual a lo que decis vos de "La altura del mínimo será el resultado de sumarle a ese número negativo la altura original del líquido"

porque teniamos y= 45x^2 - 0,0375

si a eso le sumo la altura original del liquido obtengo hmin=6,25 cm

Y con el metodo de sheldon llegabamos a hmin= 4,375 cm

COmo me confunde este ejercicio tantas formas de hacerlo y con resultados distintos..

[arivasm]

Re: ayudaaaaaa este se me re complico

Como ya te dije antes, la constante de la ecuación de la parábola depende de dónde se ponga el cero de altura. Así, la ecuación de la parábola es, en realidad, $\dst y=\frac{\omega^2}{2g}\left( x^2-\frac{R^2}{3} \right) + h_0$, siendo $h_0$ la altura del líquido cuando no hay rotación y $R$ el radio del recipiente.

Lo que se afirma en posts anteriores de que sube tanto como baja, se refiere al volumen, no a las alturas. La altura mínima del líquido en rotación corresponde a $x=0$ y será entonces

$$\dst h_{min}=h_0-\frac{\omega^2 R^2}{6g}$$

La altura máxima corresponde a la pared, es decir, $x=R$:

$$\dst h_{max}=h_0+\frac{\omega^2 R^2}{3 g}$$

Como puedes ver, este valor excede a $h_0$ en el doble de lo que está el anterior por debajo de $h_0$. Si no me equivoco el resultado es 49 rad/s.

En nuestro caso tenemos que $R=5\,{\rm cm}$ y $h_0=10\,{\rm cm}$. Por tanto, para $\omega=286,5\,{\rm rpm}=30\,{\rm rad/s}$, efectivamente la parábola es $y=45\,{\rm m}^{-1} x^2 - 0,0375\,{\rm m}+h_0$ (si $g=10\,{\rm m/s}^2$), donde, como ves, dejo deliberadamente aparte el $h_0$ para dejar claro que la ecuación que has escrito anteriormente correspondía a tomar el cero en la superficie del líquido en reposo.

Para las alturas mínima y máxima debes substituir en la ecuación $x=0$ y $x=0,05\,{\rm m}$, pero añadiéndole el $h_0$. Otra posibilidad sería usar (1) y (2).

Yo encuentro que la altura mínima es 10 cm - 3,75 cm = 6,25 cm y que la máxima es 10 cm + 2 · 3,75 cm = 17,5 cm.

Para el c) la cosa es muy fácil si usamos (1): se trata de que $h_{min}=0$. Si no me equivoco el resultado es 49 rad/s.

[sheldon cooper2]

Re: ayudaaaaaa este se me re complico

Hola buenas.

Me gustaría comentar una duda que me surge con respecto al inciso que haces:

Lo que se afirma en posts anteriores de que sube tanto como baja, se refiere al volumen, no a las alturas.

Y es, que he encontrado la demostración que mencioné en anteriores post que dice que sí son iguales las alturas; por supuesto no estoy poniendo en duda tus razonamientos ni muchísimo menos.

Te la dejo por aquí y me gustaría saber tu opinión al respecto, sobre si el autor la plantea bien o si no la ves coherente.

Es como sigue:

"El volumen ${V}_{1 }$ del líquido que baja ha de ser igual al volumen ${V}_{2 }$ del líquido que sube:

$$<br /> {V}_{1 }=\dst\int_A^B\!\!\pi \cdot{r}^{2 } \cdot dz$$

$$<br /> {V}_{1 }=\dst\int_B^E\!\!\ \left(\pi \cdot {R}^{ 2} -\pi \cdot {r}^{2 } \right)\cdot dz$$

Mediante la ecuación:

$$<br /> {x}^{ 2} +{y}^{2 } -\frac{2\cdot g}{{\omega }^{2 } } \cdot z=K<br />$$

Se obtiene:

$$<br /> {r}^{2 }=\dst \frac{2\cdot g}{{\omega }^{ 2} } \cdot z+K<br />$$

$$<br /> {R}^{2 }=\dst \frac{2\cdot g}{{\omega }^{ 2} } \cdot h+K<br />$$

Sustituimos éstas en las expresiones de ${V}_{1 }$ y ${V}_{2 }$ , que integramos e igualamos (${V}_{ 1} ={V}_{2 }$ ):

$$<br /> \dst \frac{2\cdot g}{ {\omega }^{ 2} } \cdot \left[\frac{{z}^{2 } }{2 } \right]_0^a\!\!=\frac{2\cdot g}{ {\omega }^{ 2} }\cdot h\cdot \left[z \right]_a^h\!\!-\frac{2\cdot g}{{\omega }^{2 } } \cdot \left[\frac{{z}^{2 } }{2 } \right]_a^h\!\! <br />$$

Resolviendo:

$$<br /> \dst \frac{{a}^{2 } }{ 2} =h\cdot \left(h-a \right)- \frac{{h}^{ 2} }{ 2}+\frac{{a}^{ 2} }{ 2} <br />$$

Nos queda:

$$<br /> h-a=\frac{h}{ 2} <br />$$

Y entonces:

$$<br /> 2\cdot a=h<br />$$

Como según gráfico:

$$<br /> h=a+b<br />$$

Obtenemos que:

$$<br /> 2\cdot a=a+b<br />$$

Finalmente:

$$<br /> a=b<br />$$

Que era lo que queríamos demostrar."

Como te comenté anteriormente no sé si esto es correcto o no.

PD: te envio también en archivo adjunto la imagen que no se ve muy bien.

Salu2.

[LauraLopez]

Re: ayudaaaaaa este se me re complico

YO tambien he buscado por internet y encontrado en varios lados que afirman eso de que la altura sube tanto como baja siempre desde la posicion del liquido en reposo..

Con las formulas de altura minima y maxima que me dijiste eso se cumple asi que de alguna forma creo que no lo estas negando no?

En el apunte que dejo sheldon menciona que la altura maxima es:

${H}_{ max} =h+\dst \frac{{\omega }^{ 2} {R}^{2 } }{ 4g}<br />$

Esa formula es distinta a la que me pasaste vos con lo cual con ambas formulas llego a resultados distintos, alguna idea de porque son distintas? no dudo que el razonamiento de arivasm sea correcto de seguro lo es pero me llama la atencion esta otra formula en el apunte de sheldon que tambien pareceria correcta sera un tema tambien de desde donde se toma el eje de referencia?

[arivasm]

Re: ayudaaaaaa este se me re complico

Comparando lo que ha escrito Sheldon Cooper2 con lo que recoge la referencia que señalé en mi post #9 observo que hay una diferencia fundamental, que se refiere a cómo se determina la constante de integración. Así, en lo que pone, se aplica estrictamente la constancia del volumen, mientras que, en rigor, en la referencia citada aplican la constancia del área bajo la curva.

Ciertamente, tras pensarlo, me parece más convincente lo que indica él. Puesto que los elementos de volumen deberán aumentar con la distancia al eje, de manera que, entiendo, la constancia del área bajo la curva no asegura la constancia del volumen.

Digamos que si empleamos el enfoque de que el perfil de la parábola es de la forma (usaré $x$ e $y$, en vez de $r$ y $z$, que sería más adecuado, para no confundir a Laura)

$$\dst y=\frac{\omega^2}{2g}x^2+c$$

como el elemento de volumen para una distancia $x$ del eje es

$\dd V = 2 \pi x y \dd x$

la condición de constancia del volumen será

$\dst \pi R^2h_0=\int_0^R 2\pi x \left( \frac{\omega^2}{2g}x^2+c \right) \dd x$

es decir

$\dst \pi R^2 h_0 = \pi \frac{\omega^2}{4 g}R^4 + \pi c R^2$

Luego

$$\dst c=h_0-\frac{\omega^2}{2g}\frac{R^2}{2}$$

y entonces, al substituir en (1)

$$\dst y=\frac{\omega^2}{2g} \left( x^2 - \frac{R^2}{2}\right)+h_0$$

Como vemos, hay una diferencia en el denominador de $R^2$ con respecto de lo que se sigue de la referencia que, repito, creo que está equivocada.

La altura mínima del líquido en rotación es, entonces

$$\dst h_{min}=h_0 - \frac{\omega^2 R^2}{4g}$$

y la máxima, ciertamente es,

$$\dst h_{max}=h_0 + \frac{\omega^2 R^2}{4g}$$

Así pues, tiene razón, no sólo se cumple que el volumen que desciende es igual al que asciende, sino que la altura que desciende el centro es igual a la que ascienden los bordes.

Por tanto, corrijo los valores que puse anteriormente y confirmo los valores que, según veo, ha puesto desde el principio Sheldon Cooper2: la ecuación de la parábola será $y=45\,{\rm m}^{-1} x^2 - 0,05625\,{\rm m}+h_0$, la altura del mínimo será 10 cm - 5,625 cm = 4,38 cm y la del máximo 10 cm + 5,625 cm = 15,63 cm. Asimismo, la velocidad angular de altura nula en el mínimo será de 40 rad/s.

Siento haber contribuido a añadir ruido en lugar de clarificar.

[LauraLopez]

Re: ayudaaaaaa este se me re complico

Gracias chicos ahora si quedo todo claro