energia en orbita

[arivasm]

Re: energia en orbita

Es correcto. No te preocupes, como todo, sólo es cuestión de manejarlo unas cuantas veces y te saldrá solo.

[Alriga]

Un satélite se lanza con una velocidad de 36900 km/h desde una altura de 500 km de la superficie de la Tierra. Determinar para el punto B en que la tangente a la trayectoria es paralela al segmento CA:

a) La velocidad con que el satélite parece alejarse de la Tierra
b) El radio de curvatura de la trayectoria en esa posición
c) La energía que se le debe suministrar a la nave que lleve el satélite a la posición A partiendo de la superficie de la Tierra si se aprovecha solo el 60% de la misma.

Usaremos como datos:

• Constante de gravitación universal $G=6.6743\cdot 10^{-11}$ unidades del SI
• Masa de la Tierra $M=5.9722\cdot 10^{24}$ kg
• Velocidad inicial $v_p=10250 \ m/s = 36900 \ km/h$
• Radio de la Tierra $R=6370000 \ m = 6370 \ km$
• Altura inicial $H=500000 \ m = 500 \ km$

Utilizo como referencia: Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas


a) Como se ve en el dibujo, el satélite está inicialmente en el perigeo de su órbita elíptica. Los datos CB y OC del dibujo están mal, por eso los he tachado. Calculamos la enegía mecánica específica:

$\varepsilon =\dfrac{v_p^2}2-\dfrac{GM}{R+H}$

$\varepsilon = -5489499$ J/kg

La relación entre la energía orbital específica y el semieje mayor de la órbita elíptica es:

$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}$

Despejamos el semieje mayor de la órbita $a=\overline{AC}$

$a=36305914 \ m = 36305.9 \ km$

Sabemos por la geometría de toda elipse que la distancia OB coincide con la longitud del semieje mayor $\overline{OB}=a$. Como la energía orbital se conserva:

$\varepsilon =\dfrac{v_B^2}2-\dfrac{GM}{a}$

Despejamos la velocidad en el punto B que es lo que nos piden en este apartado:

$v_B=3313 \ m/s$


b) El radio de curvatura en el punto B, como puede comprobarse en la entrada Elipse de la Wikipedia, se calcula mediante:

$\rho_B=\dfrac{a^2}{b}$

Para calcular el semieje menor $b=\overline{CB}$ calculamos primero la excentricidad de la órbita, relacionándola con la distancia del perigeo $r_p=\overline{OA}$ y el semieje mayor:

$r_p=a(1-e)$

$R+H=a(1-e)$

Despejamos la excentricidad:

$e=0.810775$

La definición de la excentricidad:

$e=\dfrac{\overline{CO}}{a}$

$e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

Despejamos el semieje menor de la elipse:

$b=21251973 \ m = 21251.97 \ km$

El radio de curvatura en el punto B:

$\rho_B=62023389 \ m = 62023.4 \ km$


c) La energía cinética específica que se le debe suministrar a la nave:

$\dfrac{E_c}m=\dfrac 1{0.6} \left ( \dfrac{v_p^2}2-\dfrac{GM}{R+H}+\dfrac{GM}{R} \right )$

$\dfrac{E_c}m=\dfrac 1{0.6} \left ( \varepsilon +\dfrac{GM}{R} \right )$

$\dfrac{E_c}m=95142448 \ J/kg$

Saludos.