Otras carreras proyectil desde la Tierra

[LauraLopez]

Hola!

Supongamos un proyectil que se dispara desde la Tierra con velocidad inicial de 200 km/h quedando sometido unicamente al campo gravitatorio terrestre. Teniendo en cuenta las energias involucradas, determinar:

a) La altura maxima si el disparo es vertical
b) La altura maxima si el disparo forma un angulo de 40° con la horizontal
c) La altura maxima si el disparo forma un angulo de 30° con la horizontal

Me habla de las energias involucradas.... pero yo no pensaba plantearlo por energia sino decir que la sumatoria de las fuerzas en la direccion normal es:

${F}_{g } = m{a}_{c }$

$\frac{GMm}{{r}^{2 } } = m \frac{{v}^{2 } }{r }$

pero veo que no tengo el dato de cuanto vale r....

Esta bien lo que estoy haciendo? o como creen que se resolveria?

Gracias!

[inakigarber]

Re: proyectil desde la Tierra

El valor de r que es el radio de la tierralo calculas dividiendo el perímetro del ecuador 40.000.000 metros por 2Pi. No obstante por energias yo lo plantearia de esta forma.
Si en el problema no se tiene en cuenta el cambio del valor de g. Entonces es sencillo.
Tendremos $mgh=\frac{mv^2}{2}$. qutamos m de ambos lados y despejando nos queda $v=\sqrt{2gh}$ despejando

$$h=\frac{v^2}{2g}$$

Si en el problema se pide tener en cuenta el cambio del valor de g (ya que este dismunuye con la altura) se resuelve mediante un calculo integral que si quieres te lo puedo explicar. Espero te sirva para algo lo añadido.
Saludos

[skynet]

Re: proyectil desde la Tierra

esta también la puedes calcular por variacion del potencial gravitatorio.......y de este modo sí consideras el cambio de valor de g

la variacion del potencial gravitatorio es igual a la variacion de la energía cinetica

sabiendo el radio de la tierra y el valor de g en la superficie tienes todo lo que necesitas

[arivasm]

Re: proyectil desde la Tierra

la sumatoria de las fuerzas en la direccion normal es:

${F}_{g } = m{a}_{c }$

$\frac{GMm}{{r}^{2 } } = m \frac{{v}^{2 } }{r }$

Esto que has escrito no es correcto: la fuerza gravitatoria es radial (tomando como centro el centro de la Tierra), pero no necesariamente normal. Es decir, excepto en un punto (o dos, si se trata de un cuerpo en órbita con energía mecánica negativa) la velocidad no será perpendicular a la dirección del peso, con lo que éste tendrá tanto componente tangencial como centrípeta (o normal).

Pero además, en el caso de dichos puntos (que, por cierto, serán el periastro y al apoastro -en el caso de un lanzamiento de proyectil con baja velocidad será el de altura máxima-) el radio de curvatura de la trayectoria nunca es igual a la distancia al centro del planeta. Bien, sí hay un caso en el que el radio de curvatura es igual a la distancia al centro del planeta: el de un cuerpo en órbita circular.

Seguramente, como ese último caso es muy común en los ejercicios de satélites (que no en los satélites de verdad!) has concedido el carácter de general a una expresión que, como ves, es muy particular.

Respecto de lo que dice inakigarber sólo es válido para el caso del lanzamiento vertical (e, insisto, en este contexto de baja velocidad inicial). En los demás casos con ángulo ten en cuenta que la velocidad en el punto más alto es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial.

Por último, comentaré que si la velocidad inicial del proyectil no es despreciable frente a la velocidad de escape entonces sí es imprescindible tener en cuenta la variación de la gravedad en la línea que indica supernena (con la pequeña apreciación de que donde dice energía cinética debe decir energía cinética por unidad de masa, $\frac{1}{2}v^2$). No obstante, si el lanzamiento no es vertical habrá que tomar también en consideración la velocidad en el punto más alto. Para ello el enfoque más sencillo pasa por recurrir a la conservación del momento angular.

Si quieres complicar tu ejercicio y verte obligada a usar este tipo de cálculos, cambia la velocidad inicial de los humildes 200 km/h a, por ejemplo, 2 km/s (pues la velocidad de escape terrestre es de 11,2 km/s).

[LauraLopez]

Re: proyectil desde la Tierra

Entendi que lo que hice esta mal, y si es verdad es como que generalice es mas yo pensaba que la direccion normal y radial eran lo mismo solo en una apunta hacia el centro y la otra en sentido opuesto, pero ahora se que eso solo ocurre para las orbitas circulares...

En fin como seria plantearlo por energias? me confundi no me quedo claro como hacerlo entonces.... ( lo quiero hacer con el valor de velocidad que tengo ahora por empezar haber si lo entiendo asi)

A) dicen que plantee conservacion de la energia?

${E}_{M0 } = \frac{1}{2 }m{{v}_{0 } }^{2 } - \frac{GMm}{{R}_{T } }$

${E}_{Mf } = - \frac{GMm}{ r }$

Eso esta bien?

[arivasm]

Re: proyectil desde la Tierra

Lo que pones es correcto sólo para un lanzamiento vertical, en el que la velocidad en el punto más alto es nula. En los demás casos debes tener en cuenta la energía cinética en el máximo de altura. Si la velocidad inicial es suficientemente pequeña como para no tener que considerar las variaciones de la gravedad (y entonces es mejor trabajar con $U=mgh$) ten en cuenta que en el punto más alto la velocidad será $v_0\cos\theta_0$, siendo $\theta_0$ el ángulo entre la velocidad inicial y la horizontal.

En los demás casos, en los que sí hay que considerar la variación de la gravedad (y entonces la energía potencial en la forma que indicas), como ya te dije anteriormente, usa la conservación del momento angular para encontrar la velocidad en el punto más alto.

[Lev]

Re: proyectil desde la Tierra

Teniendo en cuenta el enunciado y la relativamente escasa velocidad inicial (el proyectil no llegará tan arriba como para considerar la variación de g), puedes plantear la conservación de la energía teniendo sólo en cuenta la componente vertical de la velocidad; la componente horizontal no variará puesto que no se considera ninguna fricción).

Así:

$\frac{1}{ 2}m{{v}_{oy } }^{2 }=mgy$

Y en el primer supuesto, tienes

$y=\frac{{{v}_{ oy} }^{ 2} }{ 2g} =\frac{{(55,5)}^{2 } }{ 19,6} =157m.$

En el segundo supuesto, tienes que ${v}_{oy }=55,5sin\phi$ , donde $\phi =40grados$; así te queda:

$y=\frac{{(55,5sin\phi) }^{2 } }{19,6 }=65m.$

En el caso tercero el proyectil alcanza 39m.

[Lev]

Re: proyectil desde la Tierra

Hola, arivasm!
No he visto tu última respuesta hasta que no he enviado mi propio mensaje (he tardado peleándome con el LATEX; tengo que coger práctica, ya que yo suelo usar MathType, y este foro no me lo acepta).
De hecho, este problema es casi demasiado elemental para la Universidad, y aquí está quizá la trampa que impide, u obstaculiza, el plantearlo con ingenuidad, como creo que os ha ocurrido en las primeras preguntas y respuestas (*).
En fin, me alegro de volver a coincidir contigo por aquí
¡Un saludo cordial!

* Excepto a inakigarber, por lo que veo ahora.
(Lo siento inaki, no me había fijado en tu primera respuesta...)

[inakigarber]

Re: proyectil desde la Tierra

Buenas tardes Arisvam

Respecto de lo que dice inakigarber sólo es válido para el caso del lanzamiento vertical (e, insisto, en este contexto de baja velocidad inicial). En los demás casos con ángulo ten en cuenta que la velocidad en el punto más alto es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial.

Creo que te he entendido, si lanzo verticalmente toda la energia cinética la usamos para ganar altura (convertimos energia cinética en potencial) en tanto que si lanzo con un angulo determinado habra una velocidad horizontal (y por tanto una energia "horizontal") y una velocidad vertical (y por tanto una energia "vertical"). En este caso no toda la energia se invierte en ganar altura. ¿es eso?. Por otra parte habia dado por sentado que la velocidad inicial era cero.
En todo caso yo tambien me alegro de coincudir contigo seguro que tu explicacion me ayuda a aclarar cosas.

[LauraLopez]

Re: proyectil desde la Tierra

no se me hubiera ocurrido simplificarlo tanto como para plantearlo como un tiro vertical comun , como si hubiera lanzado una pelota :P pero tienen razon gracias como siempre!

[Lev]

Re: proyectil desde la Tierra

En problemas de Física hay que considerar ante todo la manera más simple compatible con la información dada; ir a la esencia del asunto; a los primeros principios.
Siempre se ahorra mucho tiempo.

[inakigarber]

Re: proyectil desde la Tierra

* Excepto a inakigarber, por lo que veo ahora.
(Lo siento inaki, no me había fijado en tu primera respuesta...)

Supongo que mi primera respuesta se puede mejorar mucho.
Por cierto...me gusta tu firma. Es que dudo frecuentemente pero sobre lo que mas dudo es sobre mi propia inteligencia.
Saludos

[Lev]

Re: proyectil desde la Tierra

Si dudas de tu inteligencia, entonces eres inteligente y no deberías dudar de tu inteligencia, con lo cual, no serías inteligente...
(Y esto te lleva, por supuesto, al teorema de Gödel)

[inakigarber]

Re: proyectil desde la Tierra

Por mero gusto Arisvam me he decidido a plantearme el problema como si el valor de g fuera variable. A ver si me sale bien.

$$F=mg$$

$$F_g=\frac{GM_t m}{r^2}$$

Siendo G=constante gravitacional, M_t masa terrestre, m=masa proyectil, r=radio terrestre.
igualo ambas formulas y despejo para dejar el valor de g

$$g=\frac{GM_t}{r^2}$$

dado que energia es $E=fr$ donde r=espacio y $F=mg$
entonces tendremos; $E=f\frac{GM_t}{r^2}$ expresado en forma diferncial respecto al espacio $dE=f\frac{GM_t}{r^2}dr$
integrando $E=\int {f\frac{GM_t}{r^2}dr}$. Esta es una integral bastante sencilla como para que pueda resolverla. (esta en la tabla de integrales inmediatas) y queda.

$$E=-\frac{GM_t m}{r}$$

observamos que vuelve a aparecer m que nos habia desaparecido en el valor de g
Al imprimir una velocidad ascendente al objeto habremos elevado este a una altura $\Delta h$ La energia potencial ahora sera;$E_h=-\frac{GM_t m}{r+\Delta h}$ La diferencia entre ambas energias sera la propia de la energia cinetica.
Luego

$$\frac{mv^2}{2}=(\frac{GM_t m}{r}-\frac{GM_t m}{r+\Delta h})$$

despejando m me queda;

$$\frac{v^2}{2}=(\frac{GM_t}{r}-\frac{GM_t}{r+\Delta h})$$

Ahora se trata de despejar $\Delta h$ y me sale;

$$\Delta h=\frac{(rv)^2}{(2GM_t)-(rv^2)}$$

sustituyendo valores me sale para el primer caso una altura de $\Delta h=157,034$ metros que es mas o menos lo que os habia salido a vosotros, para el resto de valores tambien me sale aproximadamente igual solo que recorriendo "un largo y turbulento camino".

[Lev]

Re: proyectil desde la Tierra

inaki; tu interés y esfuerzo son encomiables, pero -dejando de lado algún error de concepto-, y aunque tu resultado sea coherente, creo que estás matando moscas a cañonazos, o casi
Y de hecho, considerando g=cte., el cálculo preciso da 157,45m. El tuyo, hecho con g variable (y decreciente!), debería dar una altura ligerísimamente mayor; nunca menor.

Como sea, lo más pragmàtico (y "físico") suele estar en la simplicidad (aunque la naturaleza sea, en sí misma, Muy Compleja. O precisamente por eso...)
Un saludo cordial.