cuerpo que cae en resorte

[LauraLopez]

Re: cuerpo que cae en resorte

sigo sin poder llegar a la solucion.... estoy con la duda de si el camino que me conviene es por conservacion de la energia o si es aplicando la ecuacion del MAS porque alguos me dicen una cosa y otros la otra... alguien pudo llegar a la solucion que me dan?

Asi intento hacerlo de esa forma.... el Xmax no se corresponderia con la maxima amplitud?? supongo que no porque la solucion no es igual al Xmax pero la max amplitud si se da cuando la deformacion es maxima entonces me entra la duda..

[LauraLopez]

Re: cuerpo que cae en resorte

Estaba pensando cuando dicen que no es un MAS me parece que si lo es mas alla de que inicialmente no lo sea la idea del ejercicio debe ser que tenga en cuanta el momento en el que si lo es porque para encontrar la frecuencia angular y el periodo de oscilacion use la ecuacion de MAS y logre llegar a las soluciones que me pide entonces insisto en que no tendre que resolverlo usando la formula de mov armonico simple? que igualmente no se como ...

[inakigarber]

Re: cuerpo que cae en resorte

Buenas noches; A ver si te puedo ayudar.
Yo no se si esto corresponde o nó con un Movimiento Armónico Simple,pero creo que sí puedo ayudarte en lo relativo a la amplitud.
El objeto cae una altura h hasta llegar al muelle y este ademas cede una altura adicional$\Delta_h$ por tanto el objeto cae una altura total;

$$E_p=mg(h+\Delta_h)$$

Esta energía habra ido a parar al resorte por lo que tendremos

$$E_e=\frac{k\Delta_h^2}{2}=mg(h+\Delta_h)$$

De esto me sale una ecuación de 2º grado uno de cuyos valores es positivo es positivo y el otro no.

[LauraLopez]

Re: cuerpo que cae en resorte

Holaa inakigarber me parece que de esa forma que decis no llego a :


$A = \frac{mg}{k } \sqrt{1 + \frac{2kh}{mg } }$ y mucho menos a el angulo de fase porque en esas ecuaciones no veo que aparezca ni A ni phi....

debe ser por otro camino la solucion

[Elzurdo]

Re: cuerpo que cae en resorte

A ver, la solución del MAS del que tu hablas proviene de la ecuación diferencial $mx''=-kx$ pero en este caso tenemos otra fuerza que es el peso quedando así :$mx''=-kx-mg$ cuya solución ya puse anteriormente$y(t)=Acos(wt+\alpha)-\frac{g}{w^2 }$.

[arivasm]

Re: cuerpo que cae en resorte

Deberíais olvidaros del MAS. Como bien dice supernena, sólo tendría sentido si el cuerpo estuviese *unido* al resorte, cosa que no sucede aquí, al menos en el apartado a). Para el b) el enunciado es confuso, ¿se entiende que tras el primer contacto el cuerpo queda unido al resorte? Entonces sí tiene sentido plantearse un MAS, pero no es imprescindible recurrir a la ecuación de movimiento: la frecuencia angular será $\sqrt{k/m}$

[Elzurdo]

Re: cuerpo que cae en resorte

Si no hay un MAS no se que sentido tiene hablar de amplitud y fase, de todos modos mi solución a partir del MAS aún suponiendo que hace medio periodo ya la puse en comentarios anteriores dando la misma amplitud que dice Laura, pero parece que a la gente le gustan las cosas mascadas y que le pongan la solución de forma explicita, también ya se ha dicho varias veces yo incluido como hacerlo por energías, no se si habrá que hacer un tutorial en video y subirlo al foro para que las cosas queden claras .

[inakigarber]

Re: cuerpo que cae en resorte

Si no hay un MAS no se que sentido tiene hablar de amplitud y fase, de todos modos mi solución a partir del MAS aún suponiendo que hace medio periodo ya la puse en comentarios anteriores dando la misma amplitud que dice Laura, pero parece que a la gente le gustan las cosas mascadas y que le pongan la solución de forma explicita, también ya se ha dicho varias veces yo incluido como hacerlo por energías, no se si habrá que hacer un tutorial en video y subirlo al foro para que las cosas queden claras .

Lo del tutorial ha resultado muy gracioso. No se si mi aportación ha sido muy buena. Solo quisiera saber si lo que he añadido yo es correcto o no. Y en caso de no serlo en que he fallado. Gracias.

[inakigarber]

Re: cuerpo que cae en resorte

Holaa inakigarber me parece que de esa forma que decis no llego a :


$A = \frac{mg}{k } \sqrt{1 + \frac{2kh}{mg } }$ y mucho menos a el angulo de fase porque en esas ecuaciones no veo que aparezca ni A ni phi....

debe ser por otro camino la solucion

Yo tampoco, tal vez me haya equivocado.

[LauraLopez]

Re: cuerpo que cae en resorte

yo no logro llegar a la ecuacion diferencial que dice el zurdo...

Tomando positivo hacia arriba tengo:

$mg - ky = ma$

$\frac{\dd{y}^{2 } }{\dd{t}^{2 } } = -\frac{k}{m }y + g$

La posicion de equilibrio es $y_o = \frac{mg}{ k}$. hacemos el cambio de variable $X = y - y_o$

y llego a

$\frac{\dd{x}^{2 } }{\dd{t}^{2 } } = -\frac{k}{m }x$

Asi que llego a otra cosa..

Arivasm para llegar a la solucion que me dan no tendria que si o si asumir que es un MAS?? o sea puede por medio de energia llegar a ese resultado? si es asi como es?

[arivasm]

Re: cuerpo que cae en resorte

Sea h=0 el punto que corresponde al extremo superior del resorte. Tomemos como situación inicial la de partida. Apliquemos la conservación de la energía al punto de máxima compresión. En ambas la energía cinética es nula. Como en el punto de máxima compresión, si la elongación es $x$, la altura es $-x$, tenemos que

$$mgh_0=\frac{1}{2}kx_{max}^2-mgx_{max}$$

.

Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos que la solución con $x>0$ es

$$\dst x_{max}=\frac{mg+\sqrt{m^2g^2+2kmgh_0}}{k}$$

que podemos escribir como

$\dst x_{max}=\frac{mg}{k}\left(1+\sqrt{1+\frac{2k}{mg}h_0}\right)$

tal como ya escribió Laura en su momento.

Si suponemos que el cuerpo queda enganchado al resorte (si no no tiene sentido hablar de un MAS), podemos encontrar el otro punto de retroceso con el mismo procedimiento. Pero está claro que será aquél que corresponde a la x negativa de antes (pues se cumplirá también que la energía es igual al lado derecho de (1) y la energía seguirá siendo igual a la inicial):

$$\dst x_{min}=\frac{mg-\sqrt{m^2g^2+2kmgh_0}}{k}$$

Si comparamos (2) y (3) encontramos que la media de ambos valores es $mg/k$, lo que es obvio, pues se trata del punto de equilibrio entre la fuerza elástica y la gravitatoria.

Por otra parte, como la diferencia entre (2) y (3) es el doble de la amplitud, ésta será

$\dst A=\frac{\sqrt{m^2g^2+2kmgh_0}}{k}$

que podemos escribir

$\dst A=\frac{mg}{k}\sqrt{1+\frac{2k}{mg}h_0}$

Con respecto del b) está claro que

$\dst \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$\dst T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Con relación a la fase del MAS, por supuesto depende de cuál sea el instante que se tome como t=0, cosa que no aclara el enunciado. De todos modos, lo dejo para otra vuelta.

[LauraLopez]

Re: cuerpo que cae en resorte

para el angulo de fase la solucion que aparece es

$\varphi = arc \tan (\sqrt{\frac{mg}{2kh } } )$

Como hace aparecer la tangente? no se calcula a partir de$X(t) = A \sin (wt + \varphi )$ parece

[arivasm]

Re: cuerpo que cae en resorte

Antes de nada voy a quejarme del enunciado por varias razones:

• No aclara si se trata de una fase senoidal o cosenoidal
• No aclara cómo se debe tomar el instante t=0
• No aclara si las elongaciones se deben tomar positivas hacia arriba o hacia abajo.

Lo digo porque la fase inicial depende de esas tres elecciones, que son arbitrarias.

Yo encuentro la siguiente manera de llegar a la expresión que indicas... salvo por un signo menos.

Tomemos $t=0$ para el instante en que el cuerpo llega al resorte. Llamaré, como tú, $X$ a la elongación. Aclararé que no debemos confundir elongación (distancia a la posición de equilibrio) con la deformación de compresión del resorte, que antes llamamos $x$. La relación entre ambas es $X=x-x_{eq}=x-mg/k$. Por cierto que las tomaré positivas hacia abajo (aunque les dé la vuelta y tome positivas hacia arriba el problema del signo menos seguirá estando presente).

En el instante $t=0$ el cuerpo está en $x=0$, es decir, $X_0=-mg/k$. Por tanto, recurriendo a la ecuación del MAS en forma senoidal tenemos que

$-mg/k=A\sin\varphi$.

Por otra parte, en ese mismo instante, la velocidad de la masa es $v_0=\sqrt{2gh}$ (recordemos que ha llegado hasta ahí tras una caída libre). Usando la ecuación para la velocidad del MAS que entonces se inicia, $v_x=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$ y haciendo $t=0$ tenemos que

$\sqrt{2gh}=A\omega\cos\varphi$.

Si dividimos miembro a miembro ambas ecuaciones tenemos que

$\dst \frac{1}{\omega}\tan\varphi=\sqrt{\frac{m}{k}}\tan\varphi=-\frac{mg}{k\sqrt{2gh}}$

con lo que finalmente

$\dst \tan\varphi=-\sqrt{\frac{mg}{2kh}}$

Como ves, aparece un signo menos que no veo cómo quitarlo del medio...

[inakigarber]

Re: cuerpo que cae en resorte

Antes de nada voy a quejarme del enunciado por varias razones...

Creo que ahora empiezo a entender las cosas. El objeto queda enganchado al muelle y oscila armónicamente con el. Yo no lo habia entendido así. Es más incluso habia planteado la posibilidad de que el objeto llegara al estado inicial. Con lo cual este botaria continuamente entre su latura máxima h y la altura mínima cuando el muelle está comprimido. Estó no correspondería con un M.A.S.. Habia confundido la amplitud maxima con la deformación "positiva" del resorte. A la luz de la aclaración dada voy a ver si llego a buen puerto. Y a ver si la próxima vez entiendo mejor los enunciados. Saludos.

[LauraLopez]

Re: cuerpo que cae en resorte

si conincido que el enunciado esta muy mal y presta a mucha confusion diria que mas que nada nos guiamos con el resultado para poder llegar a entender que es lo que pedia , si no fuera porque tenia las soluciones de seguro se asumia que no era un MAS parecia ser lo mas natural de entender...

En cuanto a la solucion que das arivasm no te enojes conmigo pero de nuevo te molesto con el tema de signos :P

Por cierto que las tomaré positivas hacia abajo (aunque les dé la vuelta y tome positivas hacia arriba el problema del signo menos seguirá estando presente).

Yo pienso que como tomaste positivo hacia abajo entonces tenes que:

para el caso del punto de equilibrio

$mg -ky = 0$

${y}_{0 } = \frac{mg}{k }$

en cambio si se toma positivo hacia arriba

$-mg -ky = 0$

${y}_{0 } = -\frac{mg}{k }$

Con lo cual

$X_0=mg/k$

Pero seguro es otro problema mio de interpretacion de signos.....

Ahh creo que lo que dije esta bien pero si tomo la direccion de esa forma entonces la velocidad que habias encontrado vos sera la misma pero con un signo menos entonces sigo teniendo el mismo problema.... es asi?