Otras carreras plano inclinado que gira

[LauraLopez]

Un cuerpo de masa m descansa sobre un plano inclinado libre de rozamiento, que puede girar en torno a un eje vertical con velocidad angular constante.

a) Obtener una expresion para el esfuerzo al que se vera sometida la cuerda, en funcion de la velocidad angular alrededor del eje vertical

b) Obtener una expresion para la velocidad angular maxima admitida si deseamos que el bloque permaneza en contacto con el plano inclinado

c) Atender numericamentre las preguntas anteriores suponiendo que la masa del cuerpo es de 10 Kg , la longitud de la cuerda de 2 m y la velocidad angular del plano y el bloque, de 10 revoluciones / minuto.


A)

Lo que hice es hacer un sistema de cuerpo aislado donde el eje horizontal seria el eje radial y un eje vertical

Entonces planteando newton tengo:

En el eje radial ( horizontal) :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde$\ddot r = 0$

Entonces

$N\sin \theta - T\cos \theta = -m r \dot \theta^{ 2}$

En el eje vertical:

$N\cos \theta + T\sin \theta -mg = 0$

y otra ecuacion que arme fue con el triangulo que se forma de hipotenusa L entonces

$r = L \cos \theta$

No estoy muy segura de si estas bien estas ecuaciones.... que les parece?

En caso de estar bien de las 2 primeras despejo N

$N = \frac{mg - T\sin\theta }{ \cos \theta}$

y

$N = \frac{ T\cos\theta - mr \dot {\theta}^{ 2} }{ \sin \theta}$

Luego las igualo y usando ademas la tercer ecuacion que decia despejo T y obtengo

$T = \frac{m (g\tan\theta + \cos\theta L \dot {\theta}^{ 2} )}{\cos\theta + \sin\theta \tan\theta}$


Les parece que este bien??

B) para este inciso uso las mismas ecuaciones que antes pero uso N = 0 y despejo la velocidad angular $\dot \theta$ creo que estaria bien en caso de estar bien lo del inciso a

Gracias

[arivasm]

Re: plano inclinado que gira

Las ecuaciones que planteas para el apartado a) son correctas. También encuentro las mismas expresiones que indicas para N. En cambio, al usarlas, para T encuentro que $T=mg\sin\theta+mL\omega^2\cos^2\theta$ (he llamado $\omega=\dot\theta$), aunque me da la sensación de que es lo mismo que tienes tú, si multiplicas numerador y denominador por $\sin\theta$. Así, pues, aunque sólo sea por ponerla más bonita, te recomiendo que des ese paso (yo seguí otro camino: tras igualar las dos expresiones para N observé que se puede construir fácilmente una expresión para $T\sin^2\theta+T\cos^2\theta=T$).

Lo que dices para b) es correcto. Yo encuentro $\dst\omega_{max}=\sqrt{\frac{g\sin\theta}{L\cos^2\theta}}$

Edito: esta última expresión no es correcta, como señalará Laura a continuación.

[LauraLopez]

Re: plano inclinado que gira

para el inciso B llego a $\dst\omega_{max}=\sqrt{\frac{g}{L\sin\theta}}$

aca en el inciso b uso : haciendo N = 0

$T\sin\theta = mg$

$T =\frac{mg}{\sin\theta }$

En la ecuacion radial tenia:

$T\cos\theta = mr\dot {\theta}^{2 }$

reemplazo con el valor de T

$\frac{mg}{\sin\theta }\cos\theta = mr {\theta}^{2 }$

y aca a r lo reemplazo por $r= L \cos\theta$

y reemplazando llego a

$\dst\omega_{max}=\sqrt{\frac{g}{L\sin\theta}}$

[arivasm]

Re: plano inclinado que gira

Sí, tienes razón. Mi expresión era incorrecta. Editaré el post para indicarlo.