Otras carreras piston dentro de cilindo

[LauraLopez]

Hola chicos!!

La figura muestra un piston de 2 Kg que se mueve en el interior de un cilindro de 4 Kg con una velocidad constante de 1 m/s relativa a Tierra, bajo la accion de la fuerza indicada en dicha figura.
Si el coeficiente de rozamiento dinamico entre el piston y el cilindro es de 0,3 y nulo entre el cilindro y Tierra, determinar que distancia respecto del sistema fijo a tierra, debera moverse el piston para avanzar 0,05 metros respecto del cilindro que estaba inicialmente en reposo.

Tengo varias dudas de como hacer este ejercicio...

Primero intente hacer los 2 diagramas de cuerpo aislado.
Tomando positivo hacia la izquierda .

PISTON:

$\sum {F}_{x} = F - 2 f_r = 0$

aca la primera duda es esta bien poner $2 f_r,$ puse asi porque tanto la parte inferior como superior del cilindro estan en contacto con el piston entonce se ejerce resistencia (rozamiento) en ambos lados por ende es 2 veces la fuerza de rozamiento.
E iguale a cero porque el piston se mueve con velocidad constante.

$\sum {F}_{y} = {N}_{cp } - m_p g = 0$

$f_r = \mu {N}_{cp }$

${N}_{cp }$ es la normal del cilindro sobre el piston

Luego para el cilindro:


$\sum {F}_{y} = N_p -{N}_{pc } - m_c g = 0$

donde $N_p$ es la normal con el piso, $m_c$ masa del cilindro.

y con respecto al eje x nose como seria...el cilindro se moveria pero nose si con aceleracion o con velocidad constante.
Ademas de todo esto no veo como llegar a lo que me piden...alguna ayuda por fa??

Gracias!!

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

No veo nada claro eso de que la fuerza de rozamiento entre ambos sea $2\mu N_{cp}$, ni tampoco cómo calcular $N_{cp}$. Quizá convenga visualizar el problema en su sección transversal, descomponer el pistón en elementos tomados verticalmente e integrar. Por otra parte, no comparto el que el rozamiento deba ser el mismo en la parte superior que en la inferior. Además, habría que tomar en consideración el rozamiento en todos los contactos entre el pistón y el cilindro, y no sólo arriba y abajo.

Perdona que en este caso en vez de aportar luces aporte sombras.

Espero que alguien pueda ayudar más que lo que he hecho yo.

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

jeje no hay problema...pero bueno entonces por lo menos entendi que la forma que lo estaba planteando esta mal....no entiendo eso de la seccion transversal que me decis....bueno seguire pensando a ver si se me ocurre algo nuevo y esperemos que alguien mas del foro pueda ayudar

[juantv]

Re: piston dentro de cilindo

Una pregunta, que fuerza es la que hace mover al cilindro (que por cierto no tendría ninguna oposición ), la misma fuerza $\dst F$ que mueve el pistón , una fuerza menor ?

[Elzurdo]

Re: piston dentro de cilindo

La fuerza de fricción que hace el pistón sobre el cilindro.

[juantv]

Re: piston dentro de cilindo

Puede ser la misma fuerza $\dst F$ la causante de que el piston junto al rozamiento con las paredes hagan que este se mueva uniformemente y a velocidad constante y a su vez la causante de que el cilindro se mueva aceleradamente y sin opocision alguna ? ( suponiendo cierto para dos dimensiones $\dst F - 2 f_r = 0$ , $\dst F = m_c a$ )

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

HOla la verdad que yo sigo sin entender como se resuelve....

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

Si el pistón se apoya en el cilindro sólo en la mitad inferior, yo encuentro que la fuerza resultante de las fuerzas de rozamiento que ejerce el cilindro sobre el pistón es $\dst \frac{4}{\pi}\mu Mg$

Mi planteamiento es el siguiente: consideremos la sección transversal del pistón; descompongámoslo en elementos verticales de anchura infinitesimal $\dd x$ (el origen de las coordenadas lo tomaré en el eje del pistón) y de altura $2\sqrt{R^2-x^2}$; cada uno de esto elementos tiene una masa $\dd m=2 \rho \sqrt{R^2-x^2}\dd x$, siendo $\dst \rho=\frac{M}{\pi R^2}$.

Si el pistón no está "a presión" dentro del cilindro, es decir, si en ausencia de gravedad el cilindro no ejercerá fuerzas sobre el pistón, sólo existirá contacto con fricción en la mitad inferior del cilindro [esta afirmación es la que me genera más dudas]. Como el peso equilibrará la componente vertical de la fuerza normal $\dd N$ que ejerce el cilindro, si llamamos $\theta$ al ángulo que forma dicha fuerza normal con el eje Y, tenemos que

$\dd N \cos\theta = g \dd m=2 \rho g \sqrt{R^2-x^2}\dd x$

Como $x=R\sin\theta$, la expresión anterior puede escribirse

$\dd N \cos\theta=2\rho g R^2 \cos^2\theta \dd \theta$

Por tanto, la fuerza de rozamiento sobre ese elemento será

$\dd F_r=2\mu \rho g R^2 \cos\theta \dd \theta$

Como $\rho R^2 = M / \pi$

$\dst \dd F_r=\frac{2}{\pi} \mu M g \cos\theta \dd \theta$

Integrando entre -90º y 90º, como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , finalmente tenemos que

$\dst F_r=\frac{4}{\pi} \mu M g$

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

mmmmque complicado.... que es la seccion transversal?? y de donde sale esa formula de la altura ? y que es el ro? je perdon por no entender esto pero nunca resolvi un ejercicio de esa forma.....

Igualmente veo que lo que encuentras no es lo que me pide, me pide encontrar una
distancia que tampoco veo como llegar a ese valor a partir de lo que encuentras

[clairaut]

Re: piston dentro de cilindo

Las secciones transversales que utiliza Arivasm son-creo- unas lonchas de cilindro cortadas en sentido que marca la figura




Después simplemente suma las contribuciones a la fuerza total de rozamiento de cada loncha que sera igual al coeficiente de rozamiento por la componente normal de su peso
una vez que sabemos la fuerza de rozamiento, que debe equilibrar a la guerza aplicada al piston para que se mueva con vel constante, solo queda calcular la aceleración del sistema pistón+cilindro, que es la fuerza aplicada dividida por la masa total del sistema y luego ya es un problema de cinemática. Creo que la cosa va así

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

La sección transversal es la figura que resulta de cortar el pistón, en este caso, por un plano perpendicular a su eje. Es decir, será un círculo. En su centro pongo el origen de coordenadas, y tomo el eje X horizontal. La fórmula de la altura sale de $x^2+y^2=R^2$. $\rho$ es la densidad, pero no como masa / volumen, sino como masa / superficie transversal, y por eso vale el cociente entre la masa del pistón y el área del círculo anterior.

Sobre cómo resolver el ejercicio, la fuerza de rozamiento entre el pistón y el cilindro es realmente la clave. Está claro que como el pistón se mueve con velocidad constante la fuerza F será igual, pero de sentido opuesto, a dicha fuerza de rozamiento. Pero sobre el cilindro la fuerza actuante es la reacción a la de rozamiento con el pistón, de manera que ésa será la que habrá que igualar con el producto de la masa y aceleración del cilindro. De esa manera tienes la aceleración del cilindro. Con ella puedes plantear que la distancia recorrida por el cilindro en un tiempo t es $s_c=\frac{1}{2}a_ct^2$. En ese mismo tiempo el pistón se habrá movido $s_p=v_p t$. Como debe cumplirse que $s_p-s_c=0,05\;{\rm m}$, tienes tres ecuaciones y tres incógnitas, una de ellas la $s_p$ que te piden.

Pero nada de este cálculo es posible si no sabemos cómo determinar la fuerza de rozamiento...

[clairaut]

Re: piston dentro de cilindo

Disculpa Arivasm, pero había interpretado que la forma de calcular la fuerza total de rozamiento era descomponiendo el cilindro el secciones rectangulares longitudinales. Si uno divide asi el cilindro- suponiendo que la seccion transversal es circular- la forma de calcular la fuerza total es sumando las contribuciones de cada rectangulo infinitesimal de anchura dx, sabiendo que la fuerza infinitesimal es ${\mu }_{ s}$N, donde la direccion de N se deduce de la geometría de la figura.

[arivasm]

Re: piston dentro de cilindo

Gracias, clairaut. Efectivamente, ésa era mi intención. Y perdona que en mi post anterior no apreciase que tú ya habías puesto una explicación.

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

que complicado perdonen pero no entiendo casi nada.....logre entender que es una seccion transversal y bueno supongamos que hay que hacer eso para resolver el ejercicio...No entiendo como es el metodo que se usa para resolverlo... a ese circulo decis que se lo descompone en elementos verticales de amchura dx..no entiendo porque hay que hacer eso pero bueno no importa asumiendo que hay que hacer eso sigo sin ver de donde sale la fomula de la altura la formula de un circulo es (x^2 + y^2 = R^2 ) y como sabes la masa de cada elemento vertical? no se exactamente que significa la densidad como para poder relacionar la masa con la densidad...

[LauraLopez]

Re: piston dentro de cilindo

reconozco que con este ejercicio estoy muy perdida pero alguna ayudita para empezar a entender un poco mas?