Otras carreras movimiento relativo de autos

[LauraLopez]

Un automovil A esta viajando por una carretera recta en el sentido indicado, mientras que el automovil B se mueve a lo largo de la trayectoria circular de 80 metro de radio. Si en el instante mostrado A se mueve con una velocidad de 80 km/h acelerando a razon de 2 m/s^2 y el auto B se mueve a 45 km/h disminuyendo su velocidad a razon de 1,5 m/s^2 .
Determinar:

a) La velocidad y aceleracion que parece tener B respecto de A

b) La velocidad con la que parece alejarse B del automovil A

c) La velocidad con la que B barre angulos respcto de A

A)
Lo que hice aca es :

${v}_{b/a } = {v}_{b/0 } - {v}_{a/0 }$

${v}_{b/a } = v_b\cos 30 \hat{\imath} -v_b\sin 30 \hat{\jmath} - v_a \hat{\imath}$

${v}_{b/a } = ( v_b\cos 30 - v_a ) \hat{\imath} -v_b\sin 30 \hat{\jmath}$

Eso creo que esta bien no?

Luego para la aceleracion quiero hacer lo mismo pero tengo la duda de si la aceleracion que me da como dato para B es la aceleracion total de B? o la aceleracion tangencial de B? o la aceleracion normal?

Con respecto al inciso B no entiendo que diferencia hay con lo que pregunta en el inciso a...

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

Entiendo que las aceleraciones que te dan son tangenciales, es decir, se refieren a la variación del módulo de la velocidad. En el inciso b) te piden la componente radial de la velocidad relativa.

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

Gracias! lo de la velocidad lo hice bien entonces no?
Con respecto a la aceleracion entonces seria:

la aceleracion de a es solo tangencial asi que $a_a = 2$

La aceleracion de b es ${a}_{bt } = 1,5$ y la aceleracion normal de b es:

${a}_{bn } = \frac{{v}^{2 } }{R } = \frac{{(12,5)}^{2 } }{80 } = 1,953125 m/ s^2$

entonces el modulo de la aceleracion de B es :$a_b = 2,4626$

Finalmente

${a}_{B/A } = {a}_{B/0 } - {a}_{A/0 } = 2,4266 - 2 = 0,4626$

Con respecto al inciso b creo que tengo el mismo problema de vectores de siempre...primero como te das cuenta que desde A "veo" que la velocidad de B seria la velocidad de B sobre la componente radial? Ademas la componente radial seria el vector que va desde 0 hasta A no? o sea es el eje perpendicular a la velocidad de B...

para el inciso c tampoco se como hacerlo y supongo que aca se usara el dato de 110 metros...

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

El cálculo que haces de la aceleración relativa es incorrecto, pues debes hacer la resta, pero con vectores, no con los módulos.

Para el apartado c) yo tiraría por algo parecido a lo del ejercicio de los aviones: determinar la velocidad relativa y descomponerla en dos componentes, una radial y otra transversal. Esta última es igual al productor $r\omega$, con la r la distancia relativa y la $\omega$ la velocidad angular relativa que te piden.

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

bueno entonces primero para la velocidad tenia:

${V}_{B/A } = (45\cos 30 - 80) \hat{\imath} - 45\sin 30 \hat{\jmath}$

${V}_{B/A } = -41,0288 \hat{\imath} - 23,5 \hat{\jmath}$

O sea la velocidad que parece tener B respeco de A estaria en el tercer cuadrante ( ambas componentes negativas)

Luego para la aceleracion entonces:

Para a tengo que su aceleracion tangencial es ${a}_{a/t } = 2 \hat{\imath}$ y la aceleracion normal de A es cero

Para b tengo que su aceleracion tangencial es en la direccion tangencial con lo cual debo proyectarla para poder sumarla con a
asi que:

${a}_{b/t } = -1,5 \hat{{e}_{t } }$

Proyectada en la direccion $\hat{\imath}$ seria: ${a}_{b/t } = -1,5 \cos 30 \hat{\imath}$

y para la aceleracion normal ${a}_{b/n } = \frac{{v_b}^{2 } }{R } = 1,953 \hat{{e}_{n } }$

Proyectandola en el eje $\hat{\jmath}$ tengo ${a}_{b/n } = -1,953\cos 30 \hat{\jmath}$

Finalmente

${a}_{b/0 } = -1,5\cos 30 \hat{\imath} - 1,953\cos 30 \hat{\jmath}$

Asi que:

${a}_{B/A } = -1,5\cos 30 \hat{\imath} - 1,953\cos 30 \hat{\jmath} - 2\hat{\imath}$

${a}_{B/A } = -3,299 \hat{\imath} - 1,691 \hat{\jmath}$

Ahi esta bien el inciso a?

B) este inciso sigo con dudas.... aca seria $V_b$ proyectada sobre el eje radial? o la velocidad ${v}_{B/A }$ proyectada sobre el eje radial?

el dato de 110 m no se usa nunca por lo que veo no?

C) este inciso luego de tener los otro 2 bien lo pienso mejor...y te lo consulto

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

Entiendo que te faltan componentes en la aceleración de B. Quiero decir que para la tangencial sólo calculas la X y para la normal sólo calculas la Y. Debes calcular las componentes X e Y de ambas. La aceleración de B será la suma de esos dos vectores.

En b) debes proyectar la velocidad relativa sobre el vector de posición relativo, es decir, la línea AB.

El dato de los 110 m lo necesitarás para calcular la distancia entre ellos, la cual te hará falta para determinar la velocidad angular relativa.

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

Tenes razon que distraida:


${a}_{B/A } = -1,5\cos 30 \hat{\imath} + 1,5\sin 30 \hat{\jmath} - 1,953\cos 30 \hat{\jmath} -1,953\sin 30 \hat{\imath} - 2\hat{\imath}$

${a}_{B/A } = -4,275 \hat{\imath} - 0,941 \hat{\jmath}$

B)

Aca entonces tenia que ${v}_{B/A } = -41,0288 \hat{\imath} -22,5 \hat{\jmath}$ el modulo es : ${v}_{B/A } = 46,793 km/h$

Como era un vector en el tercer cuadrante llamo $\alpha$ al angulo que forma con el eje horizontal que sera : $\alpha = Arc \tan \frac{-22,5}{-41,0288 } = 28,75 <br />$

Ahora llamo $\beta$ al angulo que forma ${v}_{B/A }$ con el eje radial

$\alpha + \beta + 30 = 90$

$\beta = 60 - \alpha$

$\beta = 31,26$

Asi que lo que me pide es ${v}_{{B/A}_{r } } = {v}_{B/A }\cos \beta = 46,793 \cos 31,26 = 40$

Asi que ${v}_{{B/A}_{r } } = -40 \hat{{e}_{r } }$

asi esta bien?

C)

Aca primero calculo la velocidad transversal entonces que seria:

Velocidad transversal: ${v}_{{B/A}_{\theta } } = {v}_{B/A }\sin \beta \hat{{e}_{\theta} } = 46,793 \sin 31,26 = 24,282 km /h = 6,745 m /s$

Y ademas ${v}_{\theta } = r w$ asi que$w = \frac{{v}_{\theta } }{r }$

Y lo que me piden es ese omega no?

Asi que seria: $w = \frac{6,745}{110 } = 0,0675 1/s$ no?

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

Veo un error en el cálculo de $\omega$, r no es 110 m, sino la distancia entre ambos autos, que debes calcular.

En b) me extraña que te salga una componente negativa para la velocidad radial, pues la distancia entre los coches claramente estará aumentando. Quizá la causa se deba al uso de los ángulos. Como ya te comenté en algún otro hilo, hay una técnica más cómoda (y, sobre todo, menos propicia para cometer errores) para calcular la proyección de un vector sobre otro, y que te aconsejo estudiar pues, como habrás visto, aparece en multitud de problemas.

Sea $\vec v$ un vector que quieres descomponer según la dirección de otro, $\vec r$ y su perpendicular. Ciertamente, si ambos vectores forman un ángulo $\theta$, la proyección será $v_r=v\cos\theta$. Pero si te fijas, esto último es casi el producto escalar de los dos vectores, sólo falta el módulo de $\vec r$. Por tanto, si multiplicamos y dividimos por ese módulo, tenemos que $\dst v_r=\frac{\vec v\cdot\vec r}{r}$.

Si no nos basta con la componente, y tenemos que expresar el resultado como vector, simplemente deberemos hacer el producto de esa componente y un vector unitario en la dirección de $\vec r$, es decir, $\dst\vec v_r=v_r \frac{\vec r}{r}=\left(\frac{\vec v\cdot\vec r}{r}\right)\frac{\vec r}{r}$.

Una vez que tenemos la proyección, la componente transvesal es inmediata. Si nos basta con su módulo éste será $\sqrt{v^2-v_r^2}$, si necesitamos el vector será $\vec v-\vec v_r$.

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

En el inciso b ese signo menos lo agrege yo pensando que tenia que ser negativo en realidd el signo no sale de ningun lado...seria positivo entonces? pasa que la velocidad relativa que calcule en el insico a estaba en el tercer cuadrante entonces al proyectarla sobre el eje radial deberia ser negativa no? o estara mal el calculo que hice en el inciso a?

pasa que no entiendo ese metodo que usas... lo del inciso c entonces estara mal porque uso los angulos del inciso b asi que retomo el inciso b que puede llegar a estar mal si esta mal la velocidad del inciso a asi que volvamos al inciso a...

No comprendo que hice mal para obtener mal la ${v}_{B/A }$ y no veo como hacerlo con el metodo que vos dcis para comparar los resultados y ver si encuentro mi error

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

El signo será positivo, por la razón que te comenté, de que la distancia entre ellos aumenta. Haré el cálculo con el método que te dije antes. Por una parte tenemos que la velocidad relativa (quitaré subíndices y unidades por comodidad) es el vector $\vec v=(-41,-22.5){\rm km/h}=(-11.397,-6.25){\rm m/s}$. Para encontrar el vector AB (que llamaré $\vec r$) usaré el viejo truco de restar a las coordenadas del extremo las del origen de dicho vector, es decir, coordenadas de B, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , menos las de A, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . De esta manera, tenemos que $\vec r=(-23.509,-40.718)$.

Como el producto escalar de ambos vectores es $\vec v\cdot\vec r=(-11.397)(-23.509)+(-6.25)(-40.718)=512.235$ y el módulo de r es 47.017, entonces $v_r=512.235/47.017=10.89\;{\rm m/s}=39.22\;{\rm km/h}$.

Espero no haber cambiado números o cosas así. No te fíes de mis cálculos, sólo fíjate en el procedimiento.

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

perdon pero sigo sin comprender mucho el procedimiento ese....y mas alla de eso me gustaria saber que es lo que esta mal en mi forma de hacerlo...por lo que vi asumis que mi inciso a esta bien si esto es asi la velocidad ${v}_{b/A }$ esta en el tercer cuadrante con lo cual ambas componentes son negativas asi que para el inciso b si lo que tengo que haceres proyectar esta velocidad en el eje radial... lo que hice fue proyectarla en la parte negativa del eje radial porque esta parte esta tambien en el tercer cuadrante y entonces va a tener que ser negativa....no veo como puede llegar a ser positiva

Entiendo que la distancia entre ellos aumente y justamente B tiene que moverse hacia los negativos de la radial para que esto suceda ( o sea para los negativos es hacia el origen) si se moviera en la direccion positiva radial avanzaria acercandose al punto donde en el dibujo esta A

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

La proyección de un vector sobre otro es positiva si forman un ángulo menor de 90º y negativa si es mayor de 90º (estoy planteando que el ángulo máximo entre dos vectores es 180º). Por eso debe ser positiva en este caso.

Mañana intentaré echarle un vistazo a tus cálculos, para ver si están mal o no. De todos modos, te recomiendo que refresques el producto escalar y la proyección de vectores. Quizá aquí pueda haber algo.

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

bueno gracias espero mañana me lo puedas aclarar que descanses! yo pensaba que si proyecto un vector que apunta hacia el sentido negativo sobre otro vector que apunta hacia el lado negativo la proyecccion tambien por ende apuntara hacia el sentido negativo lo pensare esta noche mientras duermo :P

[arivasm]

Re: movimiento relativo de autos

Hola de nuevo, Laura.

He revisado tus cálculos. Son correctos. En el post#10 había cometido un error en el cálculo de la posición de A. Por eso no coincidía mi resultado con el tuyo, además de que el tuyo estaba en km/h y el mío en m/s (y pequeñas diferencias debidas a la precisión). He corregido los valores de ese post. Revísalo, sobre todo para entender el método del producto escalar, pues como te dije se presta menos a las equivocaciones que los cálculos basados en ángulos (que también son válidos).

Perdona si te he liado. Está visto (teniendo en cuenta que empiezo a tener muchos despistes) que cada vez voy más viejo o que tengo demasiadas cosas en la cabeza!

[LauraLopez]

Re: movimiento relativo de autos

bueno gracias! igualmente mas alla de que el resultado en modulo sea correcto, lo tengo que poner negativo o positivo? porque veo que en tu solucion lo das como positivo y por lo que te habia dicho antes si a medida que avanzan se alejan deberia ser en sentido negativo para que esto ocurra.

y el inciso c entonces lo unico que tenia mal era usar r=110 m? en lugar de eso tendira llamo H a la distancia desde el origen hasta el auto A entonces H = R + r

con R= 80 m y r la distancia entre los autos que quiero calcular

$H= \frac{110}{\cos 30 } = 127,017 m$

Asi que $r= H - R = 47,017 m$

Asi que $w= \frac{6,745}{47,017 } = 0,143$