Otras carreras corredera que oscila

[LauraLopez]

Me confunde mucho este enunciado no me queda bien en claro que me pide y como hacerlo.....

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Es un ejercicio de composición de movimientos. La ecuación x(t) te da el movimiento relativo de la corredera respecto del disco. Tienes que sumarle el movimiento del disco, que es a su vez una oscilación armónica, pero angular; algo parecido a lo que le sucede a un péndulo.

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

la primer duda que tengo es que es la corredera? es ese cuadradito pintado de negro? o es eso que parece una varilla

Lo que me pide el ejercicio es la aceleracion de la corredera con respecto a Tierra? cuando x= 0 y x= 5 ?

o sea

${x}_{C/D } (t) = 5 \sin (4\pi t )$
${x}_{C/D }$ significa la posicion de la corredera con respecto al disco

${v}_{C/D } (t) = 20 \pi \cos (4\pi t )$

${a}_{C/D } (t) = -80{\pi}^{ 2} \sin (4\pi t )$

y despues para el disco tengo:

${\theta}_{D/0 } (t) = 0,20 \sin (8\pi t)$
${\theta}_{D/0 }$ significa la posicion angular del disco con respeto a Tierra

${\dot\theta}_{D/0 } (t) = 1,6 \pi \cos (8\pi t)$

${\ddot\theta}_{D/0 } (t) = - 12,8 {\pi}^{ 2} \sin (8\pi t)$

Luego tendria:

${a}_{C/0 } = {a}_{C/D } + {a}_{D/0 }$

Asi que en X= 0 cm tengo:

${x}_{C/D } (t) = 5 \sin (4\pi t ) = 0$ entonces t= 0

en t= 0

${a}_{C/D } (0) = 0$

${\ddot\theta}_{D/0 } (0) =0$

Asi que

${a}_{C/0 } = 0$

Para x = 5 cm

${x}_{C/D } (t) = 5 \sin (4\pi t ) = 5$ entonces t= 0,125

en t= 0,125

${a}_{C/D } (0,125) = - 80 {\pi}^{2 }$

${\ddot\theta}_{D/0 } (0,125) = - 12,8 {\pi}^{2 }$

En una parte del enunciado dice " con su derivada temporal positiva" asi que nose si tengo que dejar estos resultados negativos o pasarlos a positivos y asi finalmente calcular

${a}_{C/0 }$

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Entiendo que la corredera es el cuadradito negro. Lo de las aceleraciones positivas se refiere a que para x=0 hay dos tipos de paso: moviéndose en el sentido positivo de x y moviéndose en el negativo. Ahora bien, está claro que la aceleración respecto del disco es nula en ambos casos, con lo que la distinción es un poco tonta.

Sobre el ejercicio, en general, te recomiendo otro enfoque. Para mostrarlo permíteme que cambie la x del enunciado por una r, y así usar x e y para las coordenadas cartesianas de toda la vida. Como $x(t)=r(t)\cos\theta(t)$ e $y(t)=r(t)\sin\theta(t)$, tenemos que

$x(t)=5\sin(4\pi t)\cos\left[0,2\sin(8\pi t)\right]$
$y(t)=5\sin(4\pi t)\sin\left[0,2\sin(8\pi t)\right]$

y sólo hay que derivar dos veces para encontrar las respuestas.

Para el t ten en cuenta que la ecuación $\sin(4\pi t)=0$ tiene infinitas soluciones, $t=n/4$, con $n$ entero. De todos modos, lo más simple es hacer uso de que si $\sin(4\pi t)=0$ entonces $\cos(4\pi t)=\pm 1$. Por otra parte, usando las fórmulas del ángulo doble, tienes que entonces $\sin(8\pi t)=2\sin(4\pi t)\cos(4\pi t)=0$ y $\cos(8\pi t)=\cos^2(4\pi t)-\sin^2(4\pi t)=1$.

Para $x=5$ tienes que $\sin(4\pi t)=1$ y puedes hacer un razonamiento similar.

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

mucho no entendi..

Primero cuando decis "Ahora bien, está claro que la aceleración respecto del disco es nula en ambos casos, con lo que la distinción es un poco tonta"
no entiendo esto porque es asi....

Que es lo que me pide el ejercicio? veo que proyectas la x(t) que me da de la corredera en los ejes x e y supongo porque asi es mas comodo resolver el ejericio nose....

me pide la aceleracion de la corredera con respecto a que? a tierra? o al disco?



Y lo que me aclaras de t mucho no entendi esta mal entonces decir que si $\sin(4\pi t)=0$ entonces t= 0 ? ya se que hay muchas pero selecciono esa en particular, o estaria mal....??

[arivasm]

Re: corredera que oscila

En un oscilador armónico la aceleración es nula al pasar por la posición de equilibrio. Entiendo que te piden la aceleración respecto de tierra, pues respecto del disco sería muy sencillo: 0 y $A\omega^2$. Por último, lo que te propongo no es exactamente una proyección, sino encontrar las coordenadas cartesianas de la corredera en función de las dos variables cuyos datos aparecen en el enunciado: la distancia que llaman x y el ángulo girado por el disco (y las derivadas de ambas).

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

Los datos que me da el enunciado son la posicion de la corredera con respecto al disco? y la posicion del disco con respecto a tierra?

Entonces haciendo esa composicion que vos me decis obtengo la posicion de la corredera respecto de tierra? me cuesta ver porque esa composicion es lo que pide el enunciado

En el dibujo aparecen dibujados unos ejes.? esos son los ejes x e y? o ese que dice x es el que despues renombras como r? y entonces el x seria uno totalmnte horizontal y el y uno vertical?

Lo que hice antes yo porque es que esta mal?

Porque de la forma que decis lo veo muy complicado.....

Intente hacer las derivadas y son muy dificiles, tendria que encontrar una$a_x$ y una$a_y$ ? por ej para la aceleracion de x llegue a :


$a_x(t) = - 20\pi (4 \pi) \sin (4\pi t)\cos ( 0,2\sin(8\pi t)) - 20\pi \cos (4\pi t)\sin(0,2 \sin (8\pi t) ) 0,2 \cos (8 \pi t) 8 \pi$ -
$8 \pi ( 4 \pi) \cos (4 \pi t) \sin ( 0,2 sin (8\pi t)) \cos (8\pi t) - 8 \pi \sin (4 \pi t) \cos ( 0,2 \sin ( 8 \pi t) ) 0,2 \cos (8 \pi t )$
$8 \pi \cos ( 8 \pi t ) + 8 \pi \sin (4 \pi t) \sin ( 0,2 \sin ( 8 \pi t) ) \sin ( 8 \pi t ) 8 \pi$


Es un quilombo!! donde es muy probable que me equivoque y ademas luego como hago para de eso obtener la solucion ??? o sea encontrar los t?

PD: se ve que la estrategia para resolver este estilo de ejercicios con discos que giran es distinta a lo que solia hacer yo como el ejercicio del avion y de los autos

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Por una parte te dan el movimiento relativo de la corredera respecto del disco, con la x(t), y también el movimiento del disco con respecto del eje dibujado en horizontal, al que no han puesto nombre. Precisamente, lo que yo te propuse es llamar X a ese eje horizontal sin nombre y "rebautizar" como r a lo que en el enunciado han llamado x.

Sobre el problema de encontrar los t, como ya ten dije anteriormente, en realidad no los necesitas. Por ejemplo, si r=0 (x=0, en el enunciado), entonces $\sin(4\pi t)=0$, lo que significa que $\cos(4\pi t)=\pm 1$. Si usas las fórmulas para el seno y el coseno del ángulo doble tienes que $\sin(8\pi t)=0$ y $\cos(8\pi t)=1$.

Tienes razón que si se hacen las derivadas de manera explícita la cosa se vuelve larga y pesada. Quizá sea mucho más cómodo derivar las expresiones genéricas. Repito, llamaré r a lo que el enunciado llama x:

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$\dot x=\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta$
$\dot y=\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta$
$\ddot x=\ddot r\cos\theta-2\dot r\dot\theta\sin\theta-r\ddot\theta\sin\theta-r{\dot\theta}^2\cos\theta$
$\ddot y=\ddot r\sin\theta+2\dot r\dot\theta\cos\theta+r\ddot\theta\cos\theta-r{\dot\theta}^2 \sin\theta$

Bien, en realidad eso un viejo conocido, pues la expresión de la aceleración en coordenadas polares:

$\vec a=\ddot \vec r=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta$

Como lo que queremos es el módulo, aprovechamos la ortogonalidad de los vectores de la base:

$$a^2=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)^2+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)^2$$

Así, si $r=0$, entonces $\ddot r=-r\omega^2=0$, y $\dot r=\pm A\omega=\pm 20\pi\;\rm cm/s$, con $A=5\;\rm cm$ y $\omega=4\pi\;\rm rad/s$, donde todo esto sale del hecho de que $r(t)$ sea un MAS, aunque también lo podríamos encontrar por derivación de $r(t)$ y aplicar lo que te dije antes de los senos y los cosenos. Igualmente, tenemos que $\theta=0$, $\dot\theta=0,20\;8\pi\;\rm rad/s$ y $\ddot \theta=0$. Llevando todo esto a (1) tenemos que $a=2\;20\pi\;0,20\;8\pi\;\rm cm/s^2$, es decir, $632\;\rm cm/s^2$.

Claro que he escrito demasiadas cosas, con lo que espero no haberme equivocado en algún sitio...

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

Perdon pero me esta costando mucho el ejercicio...primero si lo que me da el enunciado es la posicion de la corredera con respecto al disco y la del disco respecto a Tierra

porque entonces esta mal hacer esto?? ${X}_{C/0 } = {X}_{C/D } + {X}_{D/0 }$

en realidad me pide la aceleracion pero si derivo 2 veces ya tengo las aceleraciones y no seria mas que sumarlas...porque esto asi esta mal?

Bueno intentando entender la forma en que vos decis, no entienod bien el porque haciendo esta proyeccion sobre otros ejes obtengo lo que seria la solucion...
por otro lado como llegas a esta expresion ?

$\vec a=\ddot \vec r=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta<br />$

Se debe deducir de esas que encontraste de x e y no? pero no veo como....

y las ultimas deducciones como esta $\ddot r=-r\omega^2=0$ tampoco las entiendo.... ufa

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Sí, si puedes usarlo, pero teniendo en cuenta que D no es el disco, sino el centro de la ranura.

Sobre la expresión de la aceleración, sí se deducen de las expresiones para x e y. Usé que $\vec e_r = \vec r/r=(\cos\theta,\sin\theta)$ y por ortogonalidad con éste $\vec e_\theta = (-\sin\theta,\cos\theta)$. Creía que ya había aparecido en algún otro hilo, creo recordar que era sobre el movimiento de un satélite.

Por último, en todo MAS, si llamamos $y$ a la elongación, se cumple que $\ddot y=-\omega^2 y$. En este caso la elongación es lo que llamé $r$.

[arivasm]

Re: corredera que oscila

En la primera línea que escribí antes olvidé comentar este problema: el centro de la ranura está en reposo. Es por eso que no lo puedes enfocar como un problema de movimiento relativo, pues la complejidad del mismo está en lo que llamas $X_{C/D}$.

La expresión que indicas es para el movimiento de un punto con relación a otro. Aquí podría usarse, pero haciendo algunas adaptaciones previas, que casi prefiero no citar, al menos de momento. Digamos que si quieres usar lo que indicas, debes elegir como D un punto del disco que sí refleje adecuadamente el movimiento del disco, pero entonces debes hacer cambios en la descripción del movimiento de C, pues en el enunciado te la dan referida al centro del disco que, como dije antes, está en reposo.

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

Perdon sigo sin entender... con respecto a la forma de resolverlo bueno intentare hacerlo como vos decis si es que asi es mas facil.


$\vec e_r = \vec r/r=(\cos\theta,\sin\theta)$

A ver si puede entender de donde sale esa formula...$e_r$ es ese eje que aparece dibujado no? el que no es horizontal?
Luego $\vec r$ a que seria igual? y r? es esa distancia del eje al punto A no? o sea el r es un valor? o tiene una formula asociada tambien?

[arivasm]

Re: corredera que oscila

He llamado $\vec r$ al vector de posición de la partícula, es decir, el OA (y entonces trazado desde el origen, no desde el eje). Su módulo es la distancia OA. $\vec e_r$ es el versor correspondiente, que junto con $\vec e_\theta$ forma la base de los vectores en el sistema de referencia de las coordenadas polares. Ya digo que he usado la letra r para lo que el enunciado llama x (para poder usar esta última letra con la coordenada tomada sobre el eje horizontal del dibujo).

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

y el r que no es vector quien es? No veo como una direccion como ser la $e_r$ la del eje radial se transforma en coseno y seno como haces....que es lo que se hace? una proyecccion? o que cuenta te permite llegas a esas igualdades? no logro verlo...

[arivasm]

Re: corredera que oscila

He usado un convenio muy común: $\vec r$ denota un vector, mientras que $r$ denota su módulo. Como he llamado $\vec r$ al vector de posición, tenemos que $\vec r=(r\cos\theta,r\sin\theta)$, pues $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$. De ahí que $\vec r/r=(\cos\theta,\sin\theta)$