disco que gira

[arivasm]

Re: disco que gira

Hola Laura. A ver si soy capaz de explicarme claramente... pues, como verás, he estado equivocado en alguna cosa que te dije antes.

Por favor, lee con mucha calma el contenido de este post, pues el ejercicio tiene una trampa en la que es muuuuuy fácil caer (como me sucedió a mí).

-----ooo-----

He revisado tus cálculos. Por algún sitio he visto que has escrito una componente x en la aceleración de -105 cm/s^2, que confirmo, y al que añado una componente y de -152,5 cm/s^2 -47,5 cm/s^2, con lo que la respuesta sería 185,2 cm/s^2 115 cm/s^2.

Debo decir que ese resultado es el que se encuentra con el primer método que te sugerí, pues también confirmo que el segundo no conduce al mismo resultado, como bien dices.

Por tanto, el problema ahora está en cómo explicar qué es lo que no funciona en el segundo. Previamente recogeré, y compararé ambos resultados, como medio para encontrar la respuesta.

----ooo----

Si partimos de

$x(t)=r\cos\theta(t)+s(t)\sin\theta(t)$
$y(t)=r\sin\theta(t)-s(t)\cos\theta(t)$

al derivar y hacer $\theta=0$ encontramos que

$\ddot x=2\dot s\dot\theta-r\dot\theta^2+s\ddot\theta$
$\ddot y=-\ddot s+r\ddot\theta+s\dot\theta^2$

es decir

$$\vec a_{C/0}=(2\dot s\dot\theta-r\dot\theta^2+s\ddot\theta,-\ddot s+r\ddot\theta+s\dot\theta^2)$$

En cambio, cuando planteábamos el uso de la expresión para la aceleración en un cambio de sistema de referencia

$$\vec a_{C/0}=\vec a_{D/0}+\vec a_{C/D}$$

decíamos que el centro de la ranura tendrá una aceleración

$$\vec a_{D/0}=(-r\dot\theta^2,r\ddot\theta)$$

y que la corredera tendrá respecto de ese punto una aceleración

$$\vec a_{C/D}=(0,-\ddot s)$$

con lo que al usar (2) no resulta (1), sino una expresión más corta (e incorrecta)

$\vec a_{C/0}=(-r\dot\theta^2,-\ddot s+r\ddot\theta)$

----ooo----

¿Qué está mal? La respuesta es la expresión (4).

¿Pero por qué?. ¿por qué (4) debió haber sido algo tan complicado como lo siguiente?

$$\vec a_{C/D}=(2\dot s\dot\theta+s\ddot\theta,-\ddot s+s\dot\theta^2)$$

La respuesta no es nada, pero nada, intuitiva: el sistema de referencia ligado al centro de la ranura y que hemos usado al escribir (4) no mantiene la orientación de sus ejes, sino que gira con el disco (digamos que su eje Y acompaña la ranura en su giro con el disco).

En cambio, cuando escribimos (3) recurrimos a un sistema de referencia fijo al centro del disco.

Por tanto, para arreglar (4) debimos haber tenido en cuenta que la ranura gira con el disco, y por eso aparecen los términos que faltan: $2\dot s\dot\theta+s\ddot\theta$ y $s\dot\theta^2$.

----000----

¿Cuál es la moraleja del ejercicio? Para mí es doble:

1. ¡Cuidado con la composición de movimientos si hay sistemas de referencia en rotación!.
2. Ante la duda siempre hay la salida de evitar el uso de la composición de movimientos y plantear el problema "from scratch" (es decir, partiendo de cero). Eso sí, el precio puede ser tener que vérselas con expresiones que serán verdaderos "mamotretos".

[LauraLopez]

Re: disco que gira

Hola con respecto al primer metodo no llego al mismo valor que vos llegas de la componente y de la aceleracion.

teniamos: $\ddot y=-\ddot s+r\ddot\theta+s\dot\theta^2$

Los datos del enunciado son: $s= 7,5$ , $\ddot s = 15$, $r= 10$ , $\dot \theta = 3$ , $\ddot \theta = -10$

Asi que reemplazando tengo:

$\ddot y=-\ddot s+r\ddot\theta+s\dot\theta^2 = -15 + 10 (-10) + 7,5 {(3)}^{ 2} = - 47, 5$

Con respecto a lo del segundo metodo:

$\vec a_{C/D}=(0,-\ddot s)$

Aca no entiendo porque es negativo , esto es porque el eje y es positivo hacia arriba? entonces como esta desplazada s hacia abajo usas el s negativo?

Por tanto, para arreglar (4) debimos haber tenido en cuenta que la ranura gira con el disco, y por eso aparecen los términos que faltan: $2\dot s\dot\theta+s\ddot\theta$ y $s\dot\theta^2<br />$

Entiendo eso que decis de que en realidad el sistema de ejes esta girando entonces por eso estaba mal, pero al hacer que los ejes tambien giren como logras que aparezcan esos terminos y asi llegar a la expresion correcta?

[arivasm]

Re: disco que gira

no llego al mismo valor que vos llegas de la componente y de la aceleracion
$\ddot y=-\ddot s+r\ddot\theta+s\dot\theta^2 = -15 + 10 (-10) + 7,5 {(3)}^{ 2} = - 47, 5$

Sí, tienes razón, era un error numérico.

$\vec a_{C/D}=(0,-\ddot s)$Aca no entiendo porque es negativo , esto es porque el eje y es positivo hacia arriba? entonces como esta desplazada s hacia abajo usas el s negativo?

Cierto. Tomé la y positiva hacia arriba. De haberlo hecho hacia abajo también tendría que hacer cambios en signos por el sentido del ángulo $\theta$

Entiendo eso que decis de que en realidad el sistema de ejes esta girando entonces por eso estaba mal, pero al hacer que los ejes tambien giren como logras que aparezcan esos terminos y asi llegar a la expresion correcta?

Si pones un sistema de ejes con origen en el centro de la ranura y cuya orientación se mantenga fija en horizontal y vertical, la corredera además de variar su distancia al origen estará girando con una velocidad y aceleración angulares exactamente iguales a la del disco, $\dot\theta$ y $\ddot\theta$. Por esa razón, en ese sistema de referencia la ranura tendrá una expresión para la aceleración igual a la generalizada en coordenadas polares, es decir, tendrá una aceleración radial (que se corresponderá con la dirección vertical del dibujo) $\ddot s-s\dot\theta^2$* y una transversal $2\dot s\dot\theta+s\ddot\theta$.

Recuerda que la expresión para la aceleración en coordenadas polares $r, \phi$ es $a_r=\ddot r-r\dot\phi^2$, $a_\theta=2\dot r\dot\phi+r\ddot\phi$. Lo que escribí antes es justamente lo mismo, pero con $s$, pues es quien juega el papel de distancia al origen (el centro de la ranura).

*El cambio de signo en esta expresión se debe a que la componente y tiene el sentido opuesto de esta aceleración radial.