Secundaria Dinámica: sistema con cuatro bloques

[Weip]

Hola a todos, tengo un problema que se me resiste y no entiendo el porqué. El problema es el siguiente:

En el sistema de la foto, la masa A vale 1 Kg, la masa B 2Kg, la masa C 5 Kg y la masa D 0,5 Kg. El coeficiente de rozamiento entre los cuerpos y la superficie vale 0,2. Hay que calcular A) la aceleración del sistema, B) la tensión de las cuerdas y C) la fuerza que hace la masa D sobre la masa C.
Las soluciones son: A) 6,86 $m/s^2$ B) 16,15 N, 8,82 N C) 1,47 N.

Lo que he hecho primero es aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los bloques (he tomado el vector aceleración hacia la derecha):

Bloque A

$\sum_{}\vec{F}=m\vec{a}$

Eje X: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; $T-mg\mu=ma$
Eje Y: $N=mg$

Bloque B

$\sum_{}\vec{F}=m\vec{a}$

Eje X: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; $mg\sin\alpha-mg\cos\alpha\mu=ma$
Eje Y: $N=mg\cos\alpha$

Bloque C

$\sum_{}\vec{F}=m\vec{a}=0$

Eje Y: $-T=mg$

Bloque D

$\sum_{}\vec{F}=m\vec{a}=0$

Eje Y: $-N=mg$

Para encontrar la aceleración, lo que he hecho es despejarla de la ecuación del eje X del bloque B, pero no sé que hago mal que no me sale bien el resultado.
Después, en el apartado B, la tensión de las cuerdas bastaría con despejarla del bloque A y del bloque C, ya que son diferentes. Sin el primer apartado no puedo saber la tensión de la primera cuerda, y de la segunda no me sale tampoco despejando del bloque C.
El ultimo apartado no sé que fuerza hace la masa D sobre la C, solo actúa el peso, pero tampoco me sale.

Como veis no sé que hacer en ningún apartado, y por mucho que reviso no sé que tengo mal.

Gracias por adelantado.

[arreldepi]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Hola, tienes que plantear las ecuaciones de movimento por separado (las tensiones entre AB y BC no tienen porqué ser las mismas, usa letras diferentes) y luego escribir la del sistema, en la cual las fuerzas internas (tensiones) desaparecen por la tercera ley de Newton, tampoco tienes bien las ecuaciones de los cuerpos C y D.
Bloque A:

$$\begin{aligned}&T_{ba}-m_ag\mu = m_aa \\ &N_a-m_ag=0 \end{aligned}$$

Bloque B:

$$\begin{aligned} &T_{cb} + m_bg\sin\theta - m_bg\mu\cos\theta -T_{ab}= m_b a\\ & N_b-m_bg\cos\theta = 0 \end{aligned}$$

Bloque C:

$$N_{dc} + m_c g - T_{bc} = m_c a$$

Bloque D:

$$m_dg - N_{cd} = m_d a$$

Ahora, la ecuación para el sistema es, teniendo en cuenta que, al ser la cuerda ideal las aceleraciones son las mismas para cada cuerpo:

$$m_bg\sin\theta +m_cg + m_dg - m_ag\mu -m_bg\mu\cos\theta = (m_a+m_b+m_c+m_d)a$$

Con esto, puedes encontrar a. Luego, para las tensiones, vas a las ecuaciones de cada cuerpo y sustituyes allí el valor que has encontrado para despejar las tensiones.

Por cierto, ten cuidado cuando pongas vectores de que todo lleve la flechita, si no la ecuación está mal escrita.

Saludos!

[Weip]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Gracias por tu respuesta arreldepi. El primer apartado ya está, también he calculado la tensión de la primera cuerda. El problema viene con la segunda: ¿por que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] no es igual a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ? ¿y porque [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es diferente de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?
¿Alguna idea para el apartado C)? Yo sigo viendo que la única fuerza que actua es el peso.
Lo de los vectores tienes razón, me he despistado.

[angel relativamente]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

¿Alguna idea para el apartado C)? Yo sigo viendo que la única fuerza que actua es el peso.

Y si tu solo ves que la única fuerza es el peso, pregunto: ¿desde dónde miras?
Yo para hacer este tipo de problemas suelo situarme en el bloque D. El problema de esto es que se trata de un SR no inercial, por lo que nos aparecen fuerzas ficticias. Imagina el caso extremo, la cuerda se rompe y los bloques C y D empiezan a caer en caída libre. El bloque D verá que C está en reposo con respecto a él, y sin embargo no sentirá ninguna fuerza que le presione contra el suelo (se siente en ingravidez). Por tanto, supondrá la existencia de una segunda fuerza, de la misma dirección y módulo que su peso pero de sentido contrario. En este caso, la fuerza que se hacen mutuamente los bloques es 0. Para un observador externo (inercial), verá que la única fuerza que actúa sobre cada bloque es el peso, y por tanto es evidente que no se hagan ninguna fuerza entre sí. Ahora imaginemos el caso que nos trae. El sistema acelera con $a=6,86\; m/s^2$. En tal caso, el bloque D notará que la fuerza que le presiona contra el suelo no es la misma que cuando estaba en reposo (notará como si la aceleración fuese 9.8-6.86 m/s2). Así que supondrá la existencia de otra fuerza imaginaria, de la misma dirección y sentido contrario a su peso, y módulo algo menor. Pero, ¿qué fuerza es esta para un observador externo? Pues no es más que la normal del bloque. Podemos pues generalizar el valor de la normal en función de la aceleración del sistema. Si el sistema está en reposo, $N=P$. Si el sistema acelera a $g$, entonces $N=0$. Y si el sistema cae con una aceleración $a\in [0,g]$, entonces $N=m(g-a)$. La normal será la fuerza que se hacen entre ambos bloques.

En realidad, este problema lo has tenido que hacer alguna vez seguro. Solo que en lugar de bloque D te habrán dicho "una persona", y en lugar de bloque C sería "un ascensor".

Saludos, y perdona si te he liado mezclando ambos SR, pero a veces intentamos aplicar las leyes de Newton donde no toca.

[Weip]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Vale, creo que lo he entendido angel relativamente. La verdad es que he resuelto muchos de la persona y el ascensor y no he tenido problemas con estos (al tener dos bloques me he liado más). Un detalle: cuando pones que $a\in\left[ 0,g\right]$, como la aceleración no puede ser ni 0 ni g (porque entonces la ecuación ya no sirve), ¿no se debería poner $a\in\left(0,g\right)$?
Ya he resuelto lo de la tensión de la segunda cuerda, despejando del bloque B. Yo creía que tenia que despejar la tensión del bloque C, pero no tenia el valor de la normal. ¿Lo he hecho bien?

[angel relativamente]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Que detallista eres, me gusta. No obstante, los valores de y de $g$ sí que sirven. Al sustituir en $N=m(g-a)$ vemos que queda $N=0$ y $N=mg$ que son los casos extremos. Aunque para un sistema de bloques como el tuyo, necesariamente $a<g$, así que podríamos decir que $a \in [0,g)$ (cojo el 0 porque puede haber un rozamiento estático elevado).

Respecto al problema, no entiendo mucho lo que quería decir arreldepi con $N_{bd}$. ¿No será $N_{cd}$?

Saludos

[arreldepi]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Respecto al problema, no entiendo mucho lo que quería decir arreldepi con $N_{bd}$. ¿No será $N_{cd}$?

Se equivocó al mirar las letras . Ahora lo corrijo.

[Weip]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

angel relativamente, aún no entiendo porqué incluyes el 0. El enunciado del problema ya te dice que el sistema tiene una aceleración, no puede ser 0. Y aunque sea uno de los dos casos extremos, no pueden suceder. Me gustaría que me explicaras eso de que incluyes el 0 porque puede tener un rozamiento estático elevado, porque no lo entiendo.

Gracias por las respuestas.

[angel relativamente]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Los ejercicios de preguntarte aceleración y tensión de la cuerda en un sistema de bloques son muy clásicos, y algunas veces sale a=0, y simplemente el sistema no acelera (está en reposo o cae con velocidad constante). Pero para que esto suceda, la sumatoria de fuerzas sobre cada bloque ha de ser 0, por lo que la fuerza de rozamiento tendrá que ser lo suficientemente elevada (de igual módulo y sentido opuesto a la resultante de las demás) para anularse.
Si estás haciendo este problema para practicar, podemos añadirle un apartado d: ¿Cuál es el mínimo valor que ha de tener el coeficiente de rozamiento estático para que el sistema permanezca en reposo?
Si no me he equivocado (y es probable que lo haya hecho, ya que he ido rapidito) queda $\mu_e=\dfrac{m_C+m_D+m_B \sin \theta}{m_A +m_B \cos \theta}$

Saludos,

[Weip]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Los ejercicios de preguntarte aceleración y tensión de la cuerda en un sistema de bloques son muy clásicos, y algunas veces sale a=0, y simplemente el sistema no acelera (está en reposo o cae con velocidad constante). Pero para que esto suceda, la sumatoria de fuerzas sobre cada bloque ha de ser 0, por lo que la fuerza de rozamiento tendrá que ser lo suficientemente elevada (de igual módulo y sentido opuesto a la resultante de las demás) para anularse.
Si estás haciendo este problema para practicar, podemos añadirle un apartado d: ¿Cuál es el mínimo valor que ha de tener el coeficiente de rozamiento estático para que el sistema permanezca en reposo?
Si no me he equivocado (y es probable que lo haya hecho, ya que he ido rapidito) queda $\mu_e=\dfrac{m_C+m_D+m_B \sin \theta}{m_A +m_B \cos \theta}$

Saludos,

Pero la cosa está en que en el problema, el rozamiento no es suficiente para anular las demás fuerzas. Al leer tu mensaje me ha surgido una duda: si un cuerpo cae a velocidad constante, es que no actúa ninguna fuerza en él. Pero ¿que provoca su movimiento? En principio son las fuerzas las que lo provocan.

En el apartado que has propuesto, he llegado a la misma expresión que tú (gracias por el reto, pero ha sido demasiado fácil xD). Como soy así, con valor mínimo primero he pensado en una inecuación, con la solución que has puesto ya he visto que era una forma de hablar. Hay que especificar.

Bueno, pongo aquí el razonamiento que he empleado:

Para que el sistema qude en reposo, $(m_a+m_b+m_c+m_d)a=0$:

$m_b g \sin\alpha+m_c g+m_d g-m_a g\mu_e-m_b g\mu_e\cos\alpha=0$

$m_b g \sin\alpha+m_c g+m_d g=m_a g\mu_e+m_b g\mu_e\cos\alpha$

Saco factor común $g$ en ambos miembros:

$g(m_b\sin\alpha+m_c+m_d)=g(m_a\mu_e+m_b\mu_e\cos\alpha)$

Y dividiendo entre $g$:

$m_b\sin\alpha+m_c+m_d=m_a\mu_e+m_b\mu_e\cos\alpha$

Saco factor común $\mu_e$ en el segundo miembro:

$m_b\sin\alpha+m_c+m_d=\mu_e(m_a+m_b\cos\alpha)$

Despejo $\mu_e$ y ya queda el resultado:

$\mu_e=\dfrac{m_b\sin\alpha+m_c+m_d}{m_a +m_b\cos\alpha}$

PD1: ¿Hay alguna razón para expresar los ángulos con $\theta$ en vez de con $\alpha$? Es que desde que estoy en el foro creo que no he visto a nadie usar la $\alpha$ para los ángulos.

PD2: ¿No se puede poner un spoiler? Es útil para ahorrar espacio, pero no he visto la opción.

[angel relativamente]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Pero la cosa está en que en el problema, el rozamiento no es suficiente para anular las demás fuerzas.

Puestos así, tampoco el rozamiento es suficiente para que la aceleración sea $1\; m/s^2$. De hecho, el rozamiento es el justo exclusivamente para que $a=6,86\; m/s^2$. Pero antes de hacer los cálculos, como no tienes ni idea de si el rozamiento será suficiente o no, lo único que puedes aventurar es que $a\in [0,g)$

gracias por el reto, pero ha sido demasiado fácil xD

Pues no es tan fácil para alguien de 1º de bachiller, y más haciendo operaciones con las variables (aunque si has podido con ese problema evidentemente no te será difícil). Pero me apuesto lo que sea a que lo llegan a poner en un final y no pasa ni el 10%, aunque se utilicen solo los conceptos que debe de saber cualquier alumno de bachiller.

Como soy así, con valor mínimo primero he pensado en una inecuación, con la solución que has puesto ya he visto que era una forma de hablar. Hay que especificar.

Todo lo contrario. El mínimo está puesto muy concienzudamente para evitar la inecuación. Si te hubiese puesto "calcula el coeficiente de rozamiento estático", tendrías que haber dado un intervalo.

PD1: ¿Hay alguna razón para expresar los ángulos con en vez de con ? Es que desde que estoy en el foro creo que no he visto a nadie usar la para los ángulos.

Alguna vez he visto la $\alpha$ en física, aunque es mucho más común verla en matemáticas. Supongo que la razón es básicamente por no confundir variables. Por ejemplo, ¿cómo escribirías tú la ecuación del ángulo barrido en función del tiempo en un MCUA?

[FONT=Verdana]PD2: ¿No se puede poner un spoiler? Es útil para ahorrar espacio, pero no he visto la opción.[/FONT]

Este foro no tiene la opción. Aquí las cosas se dicen a la cara

Saludos,

Añadido:

Te he respondido a todo menos a la pregunta, tres hurras.

si un cuerpo cae a velocidad constante, es que no actúa ninguna fuerza en él. Pero ¿que provoca su movimiento? En principio son las fuerzas las que lo provocan.

Las fuerzas provocan aceleraciones, no movimientos. Si se mueve es precisamente porque no tiene por qué dejar de hacerlo (ninguna fuerza le provoca una aceleración negativa para frenarle). Aunque a lo mejor a lo que te refieres es: Si algo inicialmente está en reposo, ¿cómo podemos ponerlo en movimiento? Evidentemente para pasar de velocidad 0 a alguna velocidad debe haber una aceleración, y por tanto habrá que hacer inicialmente una fuerza externa superior al rozamiento estático. Y una vez hecha y alcance una cierta velocidad, se le deja de aplicar la fuerza para que mantenga su velocidad constante.

[Weip]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Pues no es tan fácil para alguien de 1º de bachiller, y más haciendo operaciones con las variables (aunque si has podido con ese problema evidentemente no te será difícil). Pero me apuesto lo que sea a que lo llegan a poner en un final y no pasa ni el 10%, aunque se utilicen solo los conceptos que debe de saber cualquier alumno de bachiller.

Pues te juro que lo he hecho en dos minutos. No sé, mucha gente opina que en mi colegio hay un nivel elevado. O también se me acaba de ocurrir que mi profesora se ha obsesionado este año con nosotros en Física y Matemáticas porque dice que cada año vamos a peor. Creo que debe ser esto último.

Todo lo contrario. El mínimo está puesto muy concienzudamente para evitar la inecuación. Si te hubiese puesto "calcula el coeficiente de rozamiento estático", tendrías que haber dado un intervalo.

A ver, te lo voy a discutir aunque seguro que no tengo razón xD. Veamos: cuando tu dices mínimo, yo en lo que pienso es en encontrar el intervalo, con un mínimo para el coeficiente rozamiento pero sin un máximo. Es decir, el valor mínimo necesario para la condición del apartado. Lo pondría así: $\mu_e>...$, o $\mu_e\geqslant...$, habría que especificar un poco más (con mínimo yo entiendo la primera opción). Pero si tu me dices que encuentre el valor del coeficiente de rozamiento para que el sistema se mantenga en reposo, yo te hubiera dado un valor exacto (que es lo que he hecho, en forma de expresión).
Siempre he estado seguro de esto y lo he hecho hasta en examenes y nadie me había dicho nada hasta ahora. Ahora no sé que creer, es que como lo interpreto lo había considerado siempre elemental.

PD: ¿Alguien sabe como ponerme un avatar personalizado? Llevo un buen rato intentandolo cambiar pero no me sale la opción, a lo mucho me deja cambiar la foto de perfil.

[angel relativamente]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

A ver, te lo voy a discutir aunque seguro que no tengo razón xD. Veamos: cuando tu dices mínimo, yo en lo que pienso es en encontrar el intervalo, con un mínimo para el coeficiente rozamiento pero sin un máximo. Es decir, el valor mínimo necesario para la condición del apartado. Lo pondría así: , o , habría que especificar un poco más (con mínimo yo entiendo la primera opción). Pero si tu me dices que encuentre el valor del coeficiente de rozamiento para que el sistema se mantenga en reposo, yo te hubiera dado un valor exacto (que es lo que he hecho, en forma de expresión).
Siempre he estado seguro de esto y lo he hecho hasta en examenes y nadie me había dicho nada hasta ahora. Ahora no sé que creer, es que como lo interpreto lo había considerado siempre elemental.

Creo que lo estás viendo al revés. A la pregunta, ¿cuánto ha de valer el coeficiente de rozamiento para que el sistema permanezca en reposo? Las respuestas son infinitas. Si tu me dices 10000 sin hacer cálculos, tendría que habértelo dado como correcto, pues si $\mu_e=10000$ el sistema permanece en reposo. Entonces lo correcto sería responder: $\mu_e \in \left[ \dfrac{m_C+m_D+m_B \sin \theta}{m_A +m_B \cos \theta}, + \infty \right)$. Ahora, si yo te pido el valor mínimo del coeficiente de rozamiento te estoy diciendo: De los infinitos valores posibles, dame el más pequeño. Y es ahí donde aparece la igualdad.

Para el coeficiente de rozamiento mínimo, actúa la fuerza de rozamiento máxima. Para $\mu_e \in \left( \dfrac{m_C+m_D+m_B \sin \theta}{m_A +m_B \cos \theta}, + \infty \right)$ no actúa la fuerza de rozamiento máxima, por lo que no es válida la expresión $F_{roz}=\mu_e N$. Y espero no haberte liado más con esto último

PD: ¿Alguien sabe como ponerme un avatar personalizado? Llevo un buen rato intentandolo cambiar pero no me sale la opción, a lo mucho me deja cambiar la foto de perfil.

Lo sabrás cuando llegue el momento, te falta algún que otro lápiz.

[Nabla]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

Si me permitís, me introduzco en la discusión

Para $\mu_e \in \left( \dfrac{m_C+m_D+m_B \sin \theta}{m_A +m_B \cos \theta}, + \infty \right)$ no actúa la fuerza de rozamiento máxima, por lo que no es válida la expresión $F_{roz}=\mu_e N$.

Es cierto que para $\mu_e \in \left( \dfrac{m_C+m_D+m_B \sin \theta}{m_A +m_B \cos \theta}, + \infty \right)$ la expresión $F_{roz}=\mu_e N$ no vale (se acaba obteniendo un sinsentido físico si se sustituyen dichos valores en las ecuaciones), pero no por ello actúa una fuerza de rozamiento distinta a la máxima. El valor mínimo de mu para que el sistema permanezca en reposo constituye el umbral a partir del cual todos los valores de mu nos ofrecen una fuerza de rozamiento máxima. Si suponemos que vale 1000, el sistema estará en equilibrio y la fuerza de rozamiento seguirá siendo máxima.
Siento que el aporte sea tan nimio

[angel relativamente]

Re: Dinámica: sistema con cuatro bloques

El valor mínimo de mu para que el sistema permanezca en reposo constituye el umbral a partir del cual todos los valores de mu nos ofrecen una fuerza de rozamiento máxima. Si suponemos que vale 1000, el sistema estará en equilibrio y la fuerza de rozamiento seguirá siendo máxima.

El concepto de fuerza de rozamiento máxima es, por definición, la máxima fuerza de rozamiento que puede haber entre dos superficies en contacto, y se calcula con $F_{roz_{max}}=\mu N$. Si en un sistema como el de la figura el coeficiente de rozamiento fuese, como sugieres en tu ejemplo, $\mu=1000$, entonces la fuerza de rozamiento tendrá mismo módulo y sentido contrario a la resultante del resto de fuerzas. Y puesto que la resultante es menor que $\mu N$, la fuerza de rozamiento que actúa no sería la máxima. Si en ese mismo sistema yo añado otro bloque E encima del bloque D (siempre que la masa no sea demasiado elevada, no me apetece hacer el cálculo de cuál es el valor máximo), el sistema seguirá en reposo. Y para que esto sea posible ha tenido que aumentar la fuerza de rozamiento, por lo que es un sinsentido decir que la fuerza de rozamiento que hacía antes era la máxima.

Saludos,