Secundaria Composición de movimientos

[Weip]

Hola a todos, a ver si me podies ayudar con un problemilla:

Un nadador sabe que si nada a favor de la corriente de un río es capaz de hacer, en el mismo tiempo y paralelamente a la orilla, el doble de la distancia que nadando contra corriente. Si el nadador quiere cruzar el río y llegar a la otra orilla en el punto directamente opuesto al de salida, ¿en que dirección ha de nadar?

La solución son 109,47 grados.

He intentado sacar por trigonometria el ángulo, pero usando el seno y el coseno me salen números más grandes que 1.
He probado con el teorema de pitágoras y luego con trigonometria he sacado que $(\tan\alpha)^2=3$, pero así no me sale tampoco.

Gracias por adelantado.

[angel relativamente]

Re: Composición de movimientos

Coincido con la solución que te dan.
Antes de lanzarte con trigonometría, has de calcular la relación entre la velocidad del nadador y la velocidad de la corriente. A mí me sale $v_n=3v_c$
Con eso te debiese de salir. Si no te sale esa relación, revisa tus cálculos. Y si te sale la relación pero sigues sin ver la geometría, te hago un dibujo.

Saludos,

PD: Ya puedes ir trasteando en eso de los avatares a ver qué sale

[Weip]

Re: Composición de movimientos

Gracias Ángel. Te comento: he llegado a la relación que has puesto, y creo que he hallado el ángulo. Me da 108,43 grados, no me da clavado al resultado pero se acerca mucho. ¿A ti te da clavado el de la solución? Bueno, la cosa es que no estoy muy seguro de si el procedimiento que he seguido está bien, por eso te pongo una imagen:

A partir de los vectores de la imagen que se describen en el texto, he hallado las ecaciones para encontrar la relación $V_c=3V_n$.
Después he calculado el ángulo $\beta$ a partir de la pendiente (que seria la velocidad del nadador):

$\tan\beta=\frac{V_y}{V_x}=\frac{V_n}{V_c}=\frac{3Vc}{Vc }=3$

Por tanto, el ángulo beta vale 71,56 grados.
Para encontrar el ángulo alfa que me piden, resto los 71,56 grados a los 180 grados y me da 108,43 grados.

No sé muy bien si el razonamiento que he seguido es correcto o no, te agradecería que lo revisaras.

PD: Siento que la imagen no sea a ordenador, es que sinó invierto demasiado tiempo y puedo tener más errores.

[angel relativamente]

Re: Composición de movimientos

En los cálculos que pones en la foto te falta añadir el tiempo para que sea dimensionalmente correcto (aunque en este caso actúa como constante y al ser igual en ambas expresiones se anula).
Respecto al problema, tu error no es de aproximación. Fíjate que la persona no nada en línea recta, sino que nada en oblicuo (la recta es la resultante de la velocidad del nadador y la corriente), luego en tu triángulo la hipotenusa sería la velocidad del nadador.

Así, $\cos \beta = \dfrac{v_c}{3v_c}=\dfrac 13$


Saludos,

[Nabla]

Re: Composición de movimientos

Muy buenas Weip. A la espera de Angel, te comento los errores que veo yo.

$\tan\beta=\frac{V_y}{V_x}=\frac{V_n}{V_c}=\frac{3Vc}{Vc }=3$

Fíjate que $v_y\neq v_n$. En realidad, $v_y=v_n \sin\beta$. Si seguimos con descomposiciones, estrictamente $v_x\neq v_c$, lo correcto sería$v_x=v_n\cos\beta$. Por otra parte, has usado que $v_n=3v_c$, cuando en todo caso sería $\dfrac{v_c}{ 3}=v_n<br />$
Yo que tú no me complicaría tanto descomponiendo la velocidad del nadador. Lo que puedes hacer es poner en el mismo origen la velocidad de la corriente (hacia la izquierda) y la velocidad del nadador (apuntando en diagonal hacia la derecha). El ángulo que forman $v_c$ y $v_n$ es el ángulo a hallar. Ten en cuenta que, gráficamente, puedes sumar ambos vectores para obtener el vector velocidad total, que debe apuntar en dirección norte, para así conseguir llegar al otro extremo de la orilla. Una vez hagas ese dibujo (acuérdate de dibujar el paralelogramo para sumar ambos vectores), verás que la trigonometría es mucho más simple, teniendo en cuenta que dispones de tres vectores: $v_t$, $v_n$ y $v_c$.

Ya lo siento no adjuntar un dibujo, pero ando algo escaso de tiempo.
Un saludo!


PD: Al final Angel ha sido más rápido que yo

[juantv]

Re: Composición de movimientos

Weip,

el angulo $\dst \alpha$ creo que lo dibujaste incompleto.

Nabla,

Fíjate que . En realidad, . Si seguimos con descomposiciones, estrictamente , lo correcto sería v_x=v_n\cos\beta.

creo que lo dijiste al reves, creo es $\dst v_y = v_n \sin \alpha$ , $\dst v_x = v_n \cos \alpha$ . todo sea para que halla material didáctico para los visitantes.

[Weip]

Re: Composición de movimientos

Nabla, tienes razón. Lo de la relación, no sé ni porqué lo he puesto ya que antes la había calculado bien (a veces me despisto). Lo que me has planteado me ha hecho cambiar la perspectiva del problema y del triangulo, y ahora me he liado más xD.

Ángel, el tiempo no sé como añadirlo a las ecuaciones. Si eso puedo multiplicar los dos miembros por el tiempo en ambas ecuaciones para después dividir, pero no entiendo el porqué ni si es correcto.
En $cos \beta = \dfrac{v_c}{3v_c}=\dfrac 13$, estás suponiendo que la corriente va hacia la derecha, mientras que va hacia la izquierda (según el dibujo que estamos considerando). Yo lo que veo es que el nadador ha de salir unos grados hacia la derecha para que la corriente le arrastre hacia la izquierda y así acabar en el punto requerido por el problema. Ahora me estoy dando cuenta que es lo que me está diciendo Nabla.

Edito: No había visto tu mensaje, juantv. El ángulo creo que está bien, si lo ves girando la cabeza $\alpha+\beta=180$ grados (¿como se pone el símbolo de los grados en Latex?).

Vuelvo a editar: El ángulo alfa sí que está mal. Pues... No me estoy enterando de que me dice el ejercicio. Por mucho que pienso no sé colocar el ángulo de otra manera de la que he puesto yo, pero lo que es seguro es que $\alpha+\beta=90$ grados. Ahora lo que supone Ángel con la velocidad de la corriente es verdad... Pero ahora estoy muy liado, creo que los dibujos están mal o algo.

[juantv]

Re: Composición de movimientos

Creo hay que modificar tus ecuaciones (+ derecha)

$\dst v_n + v_c = 2d$

$\dst v_n - v_c = d$

$\dst v_n = 3 v_c$

$\dst \cos \beta = \frac{v_c}{v_n} = \frac{v_c}{3 v_c} \approx 0,33$

$\dst \beta \approx 70,52$°

$\dst \alpha = 180^o - 70,52^o \approx 109,47$°

[angel relativamente]

Re: Composición de movimientos

Sigo diciendo que las ecuaciones son dimensionalmente incorrectas, pues una velocidad no es igual a una distancia. Lo suyo es:

$(v_n+v_c)t=2d$
$(v_c-v_n)t=d$

Que aunque el resultado sea el mismo, el concepto es bien distinto.

P.S. Para poner grados en LaTeX, se pone el comando \º

Saludos

[juantv]

Re: Composición de movimientos

angel relativamente
Re: Composición de movimientos
Lo suyo es:

Con esas ecuaciones (que por cierto están bien dimensionalmente y todo ese rollo) se llega a que

$\dst 3 v_n = v_c$ en vez de $\dst v_n = 3 v_c$ que por cierto tambien son bien distintos , entonces : /

[angel relativamente]

Re: Composición de movimientos

Razón mucha, copié mal la segunda ecuación (en realidad la copié bien, pero de donde no la tenía que copiar, jeje).
Evidentemente, $(v_n\pm v_c)t=2d$

Saludos

[juantv]

Re: Composición de movimientos

Sin embargo creo que a weip le serviría es saber porque son esas ecuaciones y no las que el escribió, a mi me dio vueltas la cuestión con eso establecer el sentido y así los signos de las velocidades, ángel, podrías poner como las has deducido sin errar en un principio ? , gracias.

[angel relativamente]

Re: Composición de movimientos

Pues la verdad, creo que se basa en eso. Establecer bien un criterio de signos y escribir todas las ecuaciones en base a ello. En el segundo dibujo que adjunta, puesto que la velocidad del nadador es mayor que la de la corriente (aunque los vectores los ha dibujado algo desproporcionados), el vector velocidad del nadador ha de tener la misma dirección y sentido que el vector dirección, y por tanto el mismo signo. Si considera que la velocidad del nadador es negativa, entonces:

$(v_c-v_n)t=-d$

Que multiplicando por -1 obtiene la ecuación correcta.

Saludos,

[Nabla]

Re: Composición de movimientos

Ya está corregido, juantv. No sé en qué estaba pensando realmente xD.
Weip, he hecho un dibujo (calidad Paint, eso sí) resumiendo la parrafada que he escrito antes.



En el dibujo, lo único que represento es la suma gráfica del vector ${\vec{v}}_{n }$ y del ${\vec{v}}_{c }$, lo que da como resultado ${\vec{v}}_{t }$, esto es, el vector velocidad total. Ahora bien, para que ese vector velocidad total apunte hacia el norte con el fin de atravesar a la otra orilla siguiendo una trayectoria recta, hay que escoger el ángulo $\alpha$correcto. Como se puede apreciar en el dibujo, con la sencilla relación trigonométrica $\dst \cos \beta= \frac{{\vec{v}}_{c }}{{\vec{v}}_{n } }$, y recordando que ${\vec{v}}_{ n}=3{\vec{v}}_{ c}$, tienes que $\dst\cos\beta=\frac{1}{ 3}$. Finalmente, $\alpha=180^o-\beta$.

Ya sé que Angel había llegado a lo mismo con tu dibujo inicial, pero quería quitarte el lío que te he armado de la cabeza

[juantv]

Re: Composición de movimientos

Hablando de líos,Nabla, usted como ha sacado la relación de las velocidades , también con erratas y ajustes dependiendo del criterio de referencia en los signos de las velocidades o con un planteamiento mas breve, porque de las ecuaciones que puso weip no salen las relaciones correctas de la velocidad del nadador y la de la corriente.