Problema de Examen Fisica Gral. 1

[charrua]

Hola tenemos con mi compañera de estudio no podemos resolver el problema siguiente.
gracias desde yá saludos charua..

[FONT=Times New Roman]

Pregunta 9

[/FONT][FONT=Times New Roman]

Un proyectil va a ser lanzado desde el suelo hasta
una altura [/FONT][FONT=Times New Roman]h [/FONT][FONT=Times New Roman]que se encuentra una distancia [/FONT][FONT=Times New Roman]d

[/FONT][FONT=Times New Roman]

enfrente de él. Para invertir la menor energía
posible, el ángulo de lanzamiento [/FONT][FONT=Symbol]q [/FONT][FONT=Times New Roman]debe cumplir[/FONT][FONT=Times New Roman][FONT=Arial]
[/FONT][FONT=Times New Roman]:

[/FONT][/FONT]

[Entro]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

No entiendo el problema porque creo que la redacción no es completa.

Pero, la cuestión energética es bastante simple, lo que no entiendo es la incidencia del ángulo en el problema. Quizás porque estoy algo espero hoy, pero yo creo que la energía cinética lleva la velocidad al cuadrado y entonces el seno y el coseno también, así que sumarán 1.

[[Beto]]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Veamos yo creo que la cosa va más o menos así:

La energía mecánica inicial es:

$$E_1=\frac{1}{2}mv_x^2+\frac{1}{2}mv_y^2$$

La energía mecánica final es:

$$E_2=mgh+\frac{1}{2}mv^2$$

Ahora si se lo piensa un poco para que la energía sea mínima debe ocurrir que $v=v_x=v_0\cos\theta$.

De este modo puesto que la energía mecánica debe de conservarse de (1) y (2) se tiene:

$$\cos^2\theta=\frac{2gh}{v^2_0}$$

Pero como en este caso estamos considerando que $v_{yf}=0$, entonces:

$$0=v_{y0}=-gt\;\;\;\mbox{y}\;\;\;v_x=\frac{d}{t}$$

Despejando el tiempo y reemplazándolo de una expresión a otra y teniendo en cuenta que $v_{0y}=v_0\sin\theta$

$$\sin\theta\cos\theta=\frac{dg}{v_0^2}$$

Finalmente si dividimos (5) entre (3) se obtiene:

$$\tan\theta=\frac{d}{2h}$$

[Entro]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Veamos yo creo que la cosa va más o menos así:

La energía mecánica inicial es:

$$E_1=\frac{1}{2}mv_x^2+\frac{1}{2}mv_y^2$$

La energía mecánica final es:

$$E_2=mgh+\frac{1}{2}mv^2$$

Ahora si se lo piensa un poco para que la energía sea mínima debe ocurrir que $v=v_x=v_0\cos\theta$.

Vamos que entonces lo que tenemos es:

$E_1=\frac{1}{2}mv_0^2\cos^2\theta+\frac{1}{2}mv_0^2\sin^2\theta$

Con lo que nos queda:

$E_1=\frac{1}{2}mv_0^2$

Así que poca incidencia del ángulo nos queda.

Todo el desarrollo posterior está muy bien, pero mi pregunta es. ¿A qué viene lo de minimizar la energía?

[Dj_jara]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Yo tengo una pequeña discrepancia con los cálculos.
$E_1 = \frac{1}{2} m v_0^2 = E_2=mgh+\frac{1}{2}m(v_0^2 \cos^2{\theta}) \rightarrow v_0^2(1-\cos^2{\theta}) = 2gh\\\rightarrow \sin^2{\theta} = \frac{2gh}{v_0^2}$
Entonces cos o sin?

[Entro]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

seno seno, cateto opuesto / hipotenusa...

Entonces esto es ... ¿un problema de alcance con una altura h?¿Y lo que estamos haciendo mínima es la trayectoria parabólica?

[[Beto]]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Yo lo he entendido como lo que se tiene que hacer mínima es la energía una vez alcanzada la altura $h$, en ese punto se tendrá energía cinética mas la potencial gravitatoria, lo que interesa es la energía cinética ya que será mínima cuando el módulo de la velocidad sea mínimo y eso solo ocurre al alcanzar su altura máxima (poseer solo velocidad horizontal).

Yo tengo una pequeña discrepancia con los cálculos.

Entonces cos o sin?

Bueno acá yo solo he analizado el término de la energía cinética pues la altura por condición del problema va a ser independiente de las condiciones del lanzamiento "siempre va a alcanzar esa altura", por eso es $\cos\theta$.

[Dj_jara]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

seno seno, cateto opuesto / hipotenusa...

Entonces esto es ... ¿un problema de alcance con una altura h?¿Y lo que estamos haciendo mínima es la trayectoria parabólica?

Lo que estamos minimizando es la energía cinetica que hay que aportarle al sistema para que llegue al punto (d, h).

Teniendo en cuenta que $\sin^2 \theta = \frac{2gh}{v_0^2}$ y
$\sin \theta \cos\theta = \frac{dg}{v_0^2} = \frac{dg}{2gh}\sin^2 \theta \rightarrow \tan \theta =\frac{2h}{d}$

[[Beto]]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Ups ... creo que si es $\sin\theta$

[Dj_jara]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Bueno acá yo solo he analizado el término de la energía cinética pues la altura por condición del problema va a ser independiente de las condiciones del lanzamiento "siempre va a alcanzar esa altura", por eso es $\cos\theta$.

podrias poner los pasos que has hecho?, si tu formula y la mia son correctas implicaria que $\theta = \frac{\pi}{4}$ y tendriamos una relación entre la d y la altura ($2h = d$ )

[Dj_jara]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Ups ... creo que si es $\sin\theta$

En ese caso no hace falta que respondas mi último post

[[Beto]]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

podrias poner los pasos que has hecho?, si tu formula y la mia son correctas implicaria que $\theta = \frac{\pi}{4}$ y tendriamos una relación entre la d y la altura ($2h = d$ )

Nooo ... solo al reemplzar cancelé el término que no debía y por eso me quedo coseno en vez de seno

Pd: Ya me causó gracia esta situación :P

[Entro]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Ah, si es la cinética si...

Vamos un problema de alcance a altura h.

[pod]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Supongo que lo más conveniente (sin tener que hacer ninguna suposición como hacia neofebo) es calcular la ecuación de la trayectoria:

$$\left. \begin{aligned}<br /> x & = v_0 \cos\theta t \ , \\<br /> y & = v_0 \sin\theta t - \frac12 g t^2\ .<br /> \end{aligned}\right\}$$

Por lo tanto la ecuación de la trayectoria es (se trata de eliminar el tiempo)

$$y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}\ .$$

Esta parábola debe pasar por $(d,h)$. La energía es porporcional a $v_0^2$, por lo que basta con aislarlo de (2) y minimizarlo:

$$v_0^2 = \frac{g d^2}{2} \frac{1}{\cos^2\theta ( d\tan\theta - h )} = \frac{g d^2}{2} \frac{1}{d\sin\theta \cos\theta - h \cos^2\theta} = g d^2 \frac{1}{d \sin2\theta - h - h\cos2\theta}\ .$$

Para optimizar esta función, basta con derivar respecto $\theta$, lo que al final nos da la condición

$$d\cos2\theta + h\sin2\theta = 0 \ .$$

Esta ecuación indica que el seno y el coseno deben tener signos diferentes (segundo o cuarto cuadrantes). Físicamente, $\theta$ tiene que estar en el primer cuadrante; por lo que la solución correcta estará entre $\pi/4 \le \theta \le \pi/2$. Al meterlo en la calculadora, hay que tener en cuenta que siempre da resultados en el primer cuadrante, y por lo tanto hay que transportar el ángulo. La solución correcta es

$$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac12 \mathrm{arctan} \frac{d}{h}\ .$$

[pod]

Re: Problema de Examen Fisica Gral. 1

Y como dicen que una imagen vale más que mil palabras, esta es la trayectoria con d = 20m y h = 5m:

Se ve claramente que la suposición de neobefo (que el móvil llega al objetivo con velocidad vertical nula) no es correcta. Esa sería la configuración donde la velocidad inicial vertical es mínima, pero para que llegue al objetivo en el poco tiempo disponible, la velocidad horizontal debe ser mayor, haciendo que la energía acabe siendo mayor.

Para quien lo quiera reproducir con Mathematica aquí esta el código. La función pp[d,h] pintará el gráfico. El anterior se obtiene haciendo pp[20, 5].

xx[d_, h_] := \[Pi]/2 - 1/2 ArcTan[d/h];
gg = 9.8;
v[d_, h_] := Sqrt[
 gg d^2 1/(d Sin[2 xx[d, h]] - h (1 + Cos[2 xx[d, h]]))]; 
pp[d_, h_] := 
 ParametricPlot[{{v[d, h] Cos[xx[d, h]] t, 
    v[d, h] Sin[xx[d, h]] t - 1/2 gg t^2}, {t, h}}, {t, 0, 
   Max[d, d/(v[d, h] Cos[xx[d, h]])]}, 
  PlotRange -> {{0, d}, {0, Automatic}}]