1r ciclo Obtener función de energía potencial

[Zhisi]

Hola. Estoy con el siguiente ejercicio y creo que el agua de mar a oxidado mis neuronas este verano. Está en inglés y lo copio tal cual.

A particle of mass $m$ moves under a force $F=-cx^3$, where $c$ is a positive constant. Find the potential energy function. If the particle starts fromrest at $x=-a$, what is its velocity when it reaches $x=0$? Where in the subsequent motion does it instantaneously come to rest?

Para el primer apartado procedo del siguiente modo:

$\dst F(x)=-\frac{dV}{dx} \to -\int F(x)dx= \int dV \to -\int -cx^3= \int dV$

resuelvo

$\frac{1}{4} cx^4 +C=V(x)$

¿correcto?

Aquí, ¿$V$ es la energía potencial o el potencial? Doy por hecho que la energía potencial pero...

Para el segundo apartado, ¿cómo puedo saber si la fuerza es conservativa? Se me ocurre calcular el rotacional $\nabla \times F$ considerando las componentes $y =0= z$ con lo que el rotacional es cero y la fuerza conservativa.
Si lo es, entonces, por la conservación de la energía, tenemos que la energía potencial $V$ más la energía cinética $T$ es igual a la energía mecánica $E$.

Por el enunciado, sabemos que cuando $x=-a \to$ $\dst E=\frac{1}{4} c(-a)^4$ ¿consideramos $C=0$? ¿por qué?

Cuando $x=0$ tenemos que $\dst E=\frac{1}{4} c(-a)^4=V(0)+T(0)=0+T(0) \to \frac{1}{4} c(-a)^4=T(0) \to \frac{1}{4} c(-a)^4=\frac{1}{2}mv^2$

Es decir$\dst v=\sqrt{\frac{1}{2} \frac{c(-a)^4}{m}}$

La última pregunta no la entiendo.

¿En $x=0$ hay un equilibrio estable o inestable? La fuerza tiene distinto signo que el desplazamiento, por lo que supongo que el equilibrio es estable pero ¿cómo puedo argumentarlo matemáticamente?

¿Qué os parece el planteamiento?
¿Alguna sugerencia para las dudas?

Muchas gracias.

[Al2000]

Re: Obtener función de energía potencial

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Aquí, ¿$V$ es la energía potencial o el potencial? Doy por hecho que la energía potencial pero...
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La energía potencial. Debes dividir por $m$ para obtener el potencial.

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Para el segundo apartado, ¿cómo puedo saber si la fuerza es conservativa?...

¿Para el segundo o para el primero? Pues si no es conservativa, el concepto de potencial no es válido.

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Por el enunciado, sabemos que cuando $x=-a \to$ $\dst E=\frac{1}{4} c(-a)^4$ ¿consideramos $C=0$? ¿por qué?
...

En indiferente. El nivel de referencia en el potencial es arbitrario, puesto que lo que se puede definir es la variación del potencial.

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La última pregunta no la entiendo.
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La partícula se detendrá nuevamente en $x=a$. Fíjate que la partícula se está moviendo en un pozo de potencial simétrico respecto al origen. Puedes escribir la energía cinética en función de $x$ y verificar que se hace cero en $x = \pm a$

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¿En $x=0$ hay un equilibrio estable o inestable? La fuerza tiene distinto signo que el desplazamiento, por lo que supongo que el equilibrio es estable pero ¿cómo puedo argumentarlo matemáticamente?
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El equilibrio es estable pues la fuerza siempre apunta hacia el origen. Podrías demostrar que el origen es un punto de mínima energía potencial.

Saludos,

Al

[Aelenium]

Re: Obtener función de energía potencial

Todo lo que hiciste hasta ahora es correcto. Con el tema de si la fuerza es conservativa, el simple hecho de que exista una función para la energía potencial es suficiente para poder decir que el campo (o fuerza) es conservativa (lo digo porque el hecho de que la rotacional sea igual a 0 no significa necesariamente que la fuerza sea conservativa, también es necesario que el dominio de la función sea simplemente conexo, aunque ahí ya nos metemos demasiado dentro de matemática).
Con respecto a la última pregunta, la respuesta es así:
como ya sabes, la energía mecánica esta pregunta tiene el valor de (volviendo a la pregunta de C=0, la razón es que la función del potencial es definitida hasta una constante, ya que tu siempre puedes decidir donde poner la 'zero reference' (no sé como se dice en español...), donde el potencial es 0).
Por lo tanto, lo único que te queda hacer es buscar en que otros puntos la energía potencial equivale a .

0.25*c*x^4 = 0.25*c*(-a)^4 cuya solución obviamente es \pm a .
La respuesta a esa pregunta es x = a, ya que x = -a es el punto dado en la pregunta.

[Zhisi]

Re: Obtener función de energía potencial

Entendido.

Gracias por resolverme las dudas.