1r ciclo Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

[Pepealej]

Tengo el siguiente ejercicio, el cual ya he hecho 3 veces y creo que no he cometido ningún error:

Por un plano inclinado con un ángulo de inclinación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] se lanza un cuerpo pequeño hacia arriba. Determinar el coeficiente de rozamiento del cuerpo con el plano si el tiempo de ascenso $t_a$ del cuerpo es doble que el tiempo de descenso $t_b$ ($t_a=2t_b$).

Mi procedimiento es el siguiente:

La fuerza normal: $N=mg\cos(\theta)$.

1. Ascenso:

Durante el ascenso la componente x del peso y la fuerza de rozamiento actúan en la misma dirección, por tanto: $a_a=-g\sin(\theta)-\mu g\cos(\theta)=-g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))$.

La ecuación del espacio recorrido en función del tiempo viene dada por: $x=2v_0 t_b -2g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b^2$ (1).
La ecuación de la velocidad en función del tiempo viene dada por: $0=v_0 -2g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b$ (2).

2. Descenso:

Durante el descenso la componente x del peso y la fuerza de rozamiento actúan en direcciones opuestas, por tanto: $a_a=-g\sin(\theta)+\mu g\cos(\theta)=-g(\sin(\theta)-\mu\cos(\theta))$.

La ecuación del espacio recorrido en función del tiempo vienen dada por: $0=x-\frac{1}{2}g(\sin(\theta)-\mu\cos(\theta))t_b^2$ (3).


Combinando (1), (2) y (3) se obtiene:

$\frac{1}{2}g(\sin(\theta)-\mu\cos(\theta))t_b^2=4g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b^2-2g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b^2$
$\sin(\theta)-\mu\cos(\theta)=4\sin(\theta)+4\mu\cos(\theta)$
$\mu=-\frac{3}{5}\tan(\theta)$

De aquí deduzco que no existe valor de $\mu$ para el cual se cumplan las condiciones especificadas. ¿Es correcto?

Muchas gracias

[angel relativamente]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Hola Pepe.

Rectifico después de leer el mensaje de Breogan.

La velocidad sería $0=v_0 -2g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b$.
Que supongo es a lo que se refiere Breogan en el mensaje de abajo.


Saludos,

[Breogan]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Hola:

Por lo menos en el primer punto, el analisis dimensional de las ecuaciones no cierra, es bueno hacerlo, te marca posibles errores.
Para resolverlo, tene en cuenta que cuando va para arriba las aceleraciones producidas por el peso y por el rozamiento se oponen a la velocidad / desplazamiento-
Cuando va para abajo la aceleracion producida por el peso tiene el sentido del movimiento y la producid por el rozamiento sentido contrario.

Suerte

[Lambda]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

He estado dándole vueltas un rato a tu problema y es cierto que hay una errata, pero el resultado esta bien.

Por un lado no puede haber un coeficiente de rozamiento negativo, así que desde ese punto de vista, la solución no es valida en este contexto. Pero si aun nos empeñamos en usarla, podremos comprobar que las aceleraciones tampoco cuadran ya que si $\mu$ es negativo la aceleración cuando asciende es $a_a=-g\sin(\theta)+\mu g\cos(\theta)$ cosa que no es posible por que la aceleración producida por la fricción debe ser a la del peso cuando se asciende.

Y con la aceleración de descenso pasa tres cuartos de lo mismo.

Saludos.

[Breogan]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Hola:

Hola Pepe.
Rectifico después de leer el mensaje de Breogan.
La velocidad sería $0=v_0 -2g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b$.
Que supongo es a lo que se refiere Breogan en el mensaje de abajo.
Saludos,

No me referia a tu post, no lei las formulas de este (las di por validas !!!), me refería al post original (donde la mayoria de las ecuaciones son dimensionalmente incongruentes) y como no lo habías señalado yo lo destaque.

1 _ En la subida el peso y el rozamiento se oponen al movimiento

$a_s\ =\ -gsen\theta-g\mu cos \theta$ (1)

En este la v_fs=0 y tiene v_0s

$0=v_{0s}+(\ -gsen\theta-g\mu cos \theta)\ t_s$ (2)

y el espacio recorrido es:

$\dst e_s=\ v_{0s}\ t_s\ +\ \frac 1 2\ (\ -gsen\theta-g\mu cos \theta)\ t_s^2$ (3)


2 _ En el descenso el peso esta a favor y el rozamiento esta en contra del movimiento

$a_d\ =\ gsen\theta-g\mu cos \theta$ (4)

en este tiene v_fd y la v_0d=0

$v_{fd}=(\ gsen\theta-g\mu cos \theta)\ t_d$ (5)

y el espacio recorrido es:

$\dst e_d=\ \frac 1 2\ (\ gsen\theta-g\mu cos \theta)\ t_d^2$ (6)

Tenemos dos condiciones dadas en el enunciado $e_s=e_d$ y $t_s=2\ t_d$

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (2), (3), y (6), mas las dos condiciones, creo que el problema queda resuelto.

Alguien sabe como numerar las ecuaciones con LaTex? Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

[Pepealej]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Hola Pepe.
La velocidad sería $0=v_0 -2g(\sin(\theta)+\mu\cos(\theta))t_b$.

Perdón perdón, es una errata, no un error en las ecuaciones. Lo rectifico ahora mismo.

- - - Actualizado - - -

1 _ En la subida el peso y el rozamiento se oponen al movimiento

$a_s\ =\ -gsen\theta-g\mu cos \theta$ (1)

[...]

2 _ En el descenso el peso esta a favor y el rozamiento esta en contra del movimiento

$a_d\ =\ gsen\theta-g\mu cos \theta$ (4)

Pero no estás utilizando el mismo sistema de referencia para el ascenso y el descenso. Cuando el cuerpo asciende tomas como sistema de referencia uno con el eje X paralelo a la dirección del movimiento y con el sentido positivo hacia arriba del plano inclinado, y después el sentido positivo es hacia abajo. No puedes cambiar el sistema de referencia y combinar las ecuaciones sin hacer los cambios respectivos, ¿no?

Gracias

- - - Actualizado - - -

... Os habeis quedado a medias con mi pregunta...

- - - Actualizado - - -

¿Podeis echarme una mano con esto? Os habeis quedado a medias :\

[Breogan]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Hola:

Pero no estás utilizando el mismo sistema de referencia para el ascenso y el descenso. Cuando el cuerpo asciende tomas como sistema de referencia uno con el eje X paralelo a la dirección del movimiento y con el sentido positivo hacia arriba del plano inclinado, y después el sentido positivo es hacia abajo. No puedes cambiar el sistema de referencia y combinar las ecuaciones sin hacer los cambios respectivos, ¿no?\

Las ecuaciones están bien, no recurrí a un planteo estrictamente formal (cosa, que por otra parte siempre reclamo, mea culpa), pero la conciliación de los dos sistemas de cordenadas lo hago implícitamente cuando digo que el espacio recorrido (siempre positivo por definición) es igual en ambos casos, si lo haces por diferncia de coordenadas en un SC unico estas tiene signo distinto.

Te lo vuelvo a plantear con un SC con origen en el inicio del movimiento y el eje x paralelo al plano inclinado y con sentido positivo hacia arriba:

1_ Subida:

$\vec a_s\ =\ -gsen\theta\ -\ g\mu\ sen\theta\ \ \hat{\imath}$ (1)

$\vec v_s\ =\ \vec v_{0s}\ +\ \vec a_s\ t =\ v_{0s}\ \hat{\imath}\ +\ (-gsen\theta\ -\ g\mu\ sen\theta)\ t\ \hat{\imath}$ (2)

$\vec r_s\ =\ \vec r_{0s}\ +\ \vec v_{0s} \ t\ +\ \dst \frac 1 2 \ \vec a_s \ t^2 \ \hat{\imath}$ (3)

2 _ Bajada

$\vec a_d\ =\ gsen\theta\ -\ g\mu\ sen\theta\ \ \hat{\imath}$ (4)

$\vec v_d\ =\ \vec v_{0d}\ +\ \vec a_d\ t =\ v_{0d}\ \hat{\imath}\ +\ (gsen\theta\ -\ g\mu\ sen\theta)\ t\ \hat{\imath}$ (5)

$\vec r_d\ =\ \vec r_{0d}\ +\ \vec v_{0d} \ t\ +\ \dst \frac 1 2 \ \vec a_d \ t^2 \ \hat{\imath}$ (6)


Ahora tenes que aplicar las condiciones del problema:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; $\ \vec r_{0s}\ =\ \vec 0$; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; y que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Ah!! y t_s=2t_d.

Creo que no me olvide de ninguna.

No sigo por que una paloma me hizo una filigrana en el teclado, aparte no soy muy amigo del LaTex.

Espero no haberme equivocado y que te sirva. Si tenes alguna duda posteala

Suerte

Creo que no me olvide de ninguna

[Pepealej]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Gracias por todas vuestras respuestas. Pero resulta que el enunciado estaba mal. Dice que ta=2tb, cuando tendría que ser tb=2ta. Así sí que sale el resultado correcto. Muchas gracias de todos modos

[Lasgalias]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Solo por curiosidad, ¿a qué se debe que el tiempo de ascenso sea el doble que el tiempo de descenso?¿tal vez por el viento?

[Pepealej]

Re: Dinámica. Plano inclinado con coeficiente de rozamiento

Solo por curiosidad, ¿a qué se debe que el tiempo de ascenso sea el doble que el tiempo de descenso?¿tal vez por el viento?

A la fuerza de rozamiento. Durante el ascenso el cuerpo se decelera (porque su peso y la fuerza de rozamiento actúan hacia abajo). Durante el descenso el cuerpo cae con una aceleración proporcional a su peso menos la fuerza de rozamiento, por eso el cuerpo cae más lentamente de lo que tarda en subir.