Máquina de Atwood no tan ideal

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Observarás que en el razonamiento que expuse no entra en juego el momento de inercia de la polea, que gobernará la relación existente entre la aceleración angular y la diferencia entre las tensiones de la cuerda a ambos lados de la polea.

Acerca del rozamiento, entiendo que debe existir, incluso en el caso que se maneja habitualmente, pues de lo contrario la polea no giraría al paso de la cuerda, sino que ésta deslizaría sobre ella. Esto me lleva a razonar que se podría meter en danza un estudio que incluya el coeficiente de rozamiento entre la cuerda y la polea.

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Hola arisvam.
Yo, razonando físicamente, no encuentro como puede aparecer esa fuerza horizontal cuando más bien es de esperar que por simetría las fuerzas horizontales que pueda ejercer la masa de la cuerda a un lado y otro de la polea se cancelen mutuamente.
No me he puesto a revisar el cálculo, pero yo diría estar seguro (y llevo días dandole vueltas a ello)que no puede haber tal fuerza horizontal. De haberla sería posible, desde luego, idear el siguiente experimento: colocar el eje de esa máquina de Atwod en una caja de cojinetes que no pueda girar pero pueda deslizar (o rodar) sin rozamiento sobre unos rieles horizontales. Tendría que aparecer entonces un movimiento de traslación horizontal de la polea solo con permitir que esta girase?



No lo veo muy claro, la verdad!!
Yo apostaría antes por revisar el cálculo!

No estoy muy práctico en este tipo de planteamientos con elementos puntuales que tu haces, pero, a mi entender,
a) creo que $dT$ y $Td\theta$ son la misma fuerza, de dirección efectivamente normal a la polea?;
b) cuando descompones las fuerzas para hallar la fuerza horizontal, habría que descomponer también dT?

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

$\dd T$ es la variación del módulo de la tensión y se corresponde con la componente tangencial de la resultante de las tensiones a ambos lados del elemento de cuerda. En cambio $T\dd\theta$ es la componente normal de dicha resultante.

Siendo un poco informales, podemos plantearlo de esta manera: la tensión a un lado del elemento, $T+\dd T$ forma un ángulo $\dd\theta$ con la tensión $T$ al otro lado. Si descomponemos la primera según la dirección de esta última y una perpendicular, la componente en la misma dirección será

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y la perpendicular

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sobre la situación que propones, tienes toda la razón: si el cálculo es correcto debería producirse ese efecto que señalas! Otro sería que si la polea cuelga de una cuerda se debería ladear!

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Amigo arisvam, sigo sin verlo FISICAMENTE.
y además tu me acabas de señalar algo en lo que yo no había caído...en que si la polea fija está sujeta de una cuerda, esta polea deberá ladear, es decir moverse horizontalmente separándose de la vertical. Así lo veo todavía menos. Me imagino yo tirando de un extremo de la cuerda hacia abajo (substituyendo la tensión de una masa por la fuerza que pueda hacer yo) y que la polea suba hacia arriba desplazándose horizontalmente?.
O me imagino las masas en reposo, la cuerda de la polea fija en perfecta vertical. Dejo mover las masas y aparece una desviación de la vertical que aumenta a medida que aumenta la aceleración de las masas?
FISICAMENTE no logro verlo.
Intentaré seguir pensando en ello
Unha aperta

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

A mí lo que más me extraña del resultado que encontré es que no intervenga la masa de la polea. No me cuesta aceptar que el efecto no sea observable, por el simple hecho de que la masa de la cuerda suele ser despreciable... pero debería serlo frente a la de la polea!.

Con respecto a la situación de reposo, verás que en la expresión entra la aceleración angular, de modo que en reposo no habría tal arrastre.

Unha aperta tamén da miña parte, compañeiro!

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Hola Arisvam
Mira que es intrigante esta polea....Físicamente diría que no puede haber fuerza horizontal alguna. No acabo de entender que si todas las fuerzas externas son verticales, pueda aparecer una fuerza horizontal...

Acabo de entender que, efectivamente, el vector $d\vec{T}$ lo descompones en una componente tangencial que llamas $dT$ y en otra componente normal $Td\theta$. No es así?
Pues ahora primera pregunta:
por que no aparecen estas dos fuerzas en tu ecuación 3? No habría que descomponer también una y otra?

Segunda pregunta:
se podrá, por simplificar un poco el problema, prescindir de la fuerza de rozamiento? Al fin y al cabo lo que nos interesa es el efecto de la masa de la polea.

A ver si lo intento yo también
Unha aperta

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

No lo enfoqué como descomponer un vector dT, sino descomponer el T+dT de la figura y tener en cuenta que hay un T en sentido "casi contrario".

Sobre el rozamiento, como ya comenté antes, era algo sobre lo que nunca había reparado, pero está claro que debe existir para que la cuerda mantenga su reposo relativo respecto de la polea. Digamos que si no hubiese rozamiento la cuerda simplemente deslizará sobre la polea. Y quizá ahí esté la clave de la cuestión: la fuerza que la cuerda ejerce sobre la polea se extiende todo a lo largo de la mitad superior donde ambas están en contacto. Quiero decir que aunque tendemos a pensar en que la cuerda sólo ejerce fuerzas en los laterales, en realidad no es así.

Con respecto a lo de la masa, creo que tengo la respuesta a la objeción que puse anteriormente: el efecto se traducirá o bien en aceleración en el sistema que has puesto (y ahí es donde entra la masa de la polea, y entonces la aceleración dependerá del cociente entre las masas de la cuerda sobre la polea y la masa de ésta) o bien en inclinación de la cuerda que sostenga la polea (y ahí también entrará la masa de la polea, a través de su peso, y de nuevo será el cociente entre ambas masas el que gobierne la inclinación).

Por último, con respecto al significado físico, quizá se pueda enfocar de este modo: la fuerza (por unidad de longitud) entre la cuerda y la polea no es uniforme, sino que irá aumentando de un lado al otro, y sería dicho aumento el causante de que su resultante sea no nula.

La idea que me ronda por la cabeza es hacer un montaje experimental que permita verificarlo (o refutarlo): lo malo es que la polea debe tener poca masa (eso no es demasiado problema) mientras que la cuerda debe ser bastante masiva (y eso es lo que no sé de dónde se puede sacar). Por cierto, el montaje que has puesto es el que encuentro más adecuado para hacer la verificación.

Saúdos á galega (y también saludos a la hispanoamericana, para nuestro amigo Al y los demás amigos del foro que se hayan animado a seguir este hilo)

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Hola Arisvam
Sigo cada vez más intrigado en no lograr casar mi intuición física (que me parece segura) con ese resultado del cálculo.
Por que estarás de acuerdo conmigo en que todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema (compuesto por polea, cuerda y masas) son verticales?...Y si todas las fuerzas externas son verticales, de donde puede aparecer esa fuerza horizontal? Estoy convencido que no puede ser! (y convencido me refiero a mientras no se demuestre lo contrario)

Además, si la suma de las fuerzas externas (porque las internas se cancelan) es igual a la masa total por la aceleración del centro de masas....como puede el centro de masas adquirir una aceleración horizontal?

a) Sobre el rozamiento: efectivamente que para mantener el reposo relativo entre cuerda y polea debe de haber una fuerza de rozamiento estático, fuerza de rozamiento que es la que hace girar la polea. Pero supongo que suprimir ese rozamiento y permitir que la cuerda deslice sin rozamiento alguno no tendría porque influír en esa fuerza horizontal;

b) sobre tu ecuación (3) del desarrollo matemático: no habría que descomponer también la tensión?

c) Sobre lo que dices de que la tensión sobre cada elemento de la cuerda va aumentando de un lado a otro de la polea. Efectivamente así será porque va aumentando la carga que soporta, pero también aumenta la tensión en sentido contrario, pues todos los puntos de la cuerda tienen la misma aceleración, por lo tanto todos los puntos han de estar sometidos a las misma fuerza resultante
$d\vec{T}$
con lo cual la fuerza horizontal no podría deberse a eso.
Intrigante
Un saúdo

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Si en el sistema incluyes la polea y la cuerda entonces la fuerza de marras es una fuerza interna. Por otra parte, el centro de masas, incluso con la polea absolutamente fija, se desplaza horizontalmente (y por supuesto también verticalmente) al desplazarse la cuerda, si ésta tiene masa.

Con respecto a lo que indicas, tengo que mirar cómo sería el problema si no hay rozamiento, porque la componente normal sí estará presente y me temo que es posible que no sea uniforme, debido a la no uniformidad de la tensión.

Para la ecuación (3) el resultado es el mismo que puse si consideras que ambas tensiones forman un ángulo $\dd\theta/2$ con la dirección de la tangente y descompones las dos.

Por último, tu razonamiento sobre que la fuerza resultante sobre todos los puntos de la cuerda debe ser la misma (en módulo), estoy de acuerdo y precisamente eso es lo que justifica que al variar la tensión varíen las demás fuerzas que ejerce la polea. De todos modos, verás que tal como hice la integral evito los detalles acerca de cómo será la variación de la tensión. Ahora bien, confieso que me interesé por este último detalle y, sinceramente, no fui capaz de encontrar una expresión para dicha variación.

PD: Como ves, me dedico a rebatir lo que pones, pero que quede claro que no es por fastidiar, sino por defender el punto de vista que empleé. Yo también tengo una enorme "mosca detrás de la oreja"

Saludos!

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Llevo un rato mirando el razonamiento...y está claro que tengo que familiarizarme más con este tipo de planteamiento....
De todas formas mi intuición del problema físico me dice que no puede haber fuerza horizontal alguna...

Y razonando físicamente:
- las fuerzas externas sobre el sistema masas, polea y cuerda son todas verticales. No es así?
Pues entonces el centro de masas del sistema solo puede moverse verticalmente. Por lo tanto, no puede haber desplazamiento horizontal.

Razonando matemáticamente:
Trataré de entender ese planteamiento tuyo....estoy seguro que algo se tiene que estar razonando mal.

Cuando el trabajo me deje tiempo volveré a ello.
Pero te sugiero que trates de resolver el mismo problema sin la fuerza de rozamiento. Solo por ver si los resultados son coherentes

Saúdos

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

El cdm se mueve horizontalmente aunque sólo sea porque de un lado disminuye la masa de la cuerda y al otro aumenta.

Sobre el enfoque sin rozamiento, voy a ponerme con ello.

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

ah!!! efectivamente. tienes razon.
La cuerda con masa!!!! un grave fallo de intuición. La cuerda con masa que efectivamente traslada masa de un lado al otro de la polea. Y claro está: las fuerzas externas no son todas verticales...!!!! tendrá que haber una componente de reaccion horizontal en el eje de la polea!!!!! tengo que seguir reflexionando....porque ahora veo logico que esa fuerza horizontal dependa de la aceleración...pues la masa de la cuerda se está trasladando cada vez más rápido de un lado a otro de la polea....!!!!
estoy escribiendo con el móbil y esto no me dela escribir esquemas....Es que ahora me doy cuenta que tiene que haber una fuerza de reacción horizontal y un momento tambien...

amigo arivasm, me gustaría ver ese experimento funcionando...supongo que cuestion de calcular el orde de magnitud de las fuerzas y ver si puede funcionar..

creo que tambien hoy me vas a dejar sin café con esta intrigante polea!!!
pero GRACIAS!!!!

- - - Actualizado - - -

y esa fuerza horizontal...(y el desplazamiento horizontal) tiene que ser contrario al sentido de giro...???

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Creo que tengo una respuesta general al problema, precisamente basándose en lo que acaba de señalar Óscar. Vamos a fijarnos en qué sucede con la coordenada horizontal del centro de masas de la cuerda. Supongamos que en cierto instante tenemos una masa $M_1$ a un lado de la polea (por fijar ideas, el izquierdo) y $M_2$ al otro. La coordenada x del cdm de la cuerda, si tomamos el 0 en la posición actual del centro de la polea será (pongo comandos LaTeX, porque tengo la esperanza de pronto poder editar el mensaje y activarlos)

$\dst x_0=\frac{-R M_1 + R M_2}{M_1+M_2}$

Si ahora $M_1$ pasa a ser $M_1-\dd m$ y $M_2$ pasa a ser $M_2+\dd m$ dicha coordenada habrá cambiado a

$\dst x_0+\dd x = \frac{-R (M_1-\dd m) + R (M_2+\dd m)}{M_1+M_2} = \frac{-R M_1 + R M_2}{M_1+M_2} + \frac {2 R \dd m}{M_1+M_2}$

Por tanto, el cdm de la cuerda se habrá movido en horizontal

$$\dst \dd x = \frac {2 R \dd m}{M_1+M_2} = \frac {2 R \dd m}{M}$$

donde he llamado M a la masa "colgante" de la cuerda.

Si metemos en danza la densidad lineal de materia

$\dd m = \lambda \dd l$

siendo $\dd l$ un elemento de longitud de la cuerda, y también dividimos (1) por el $\dd t$ correspondiente, tenemos que la componente horizontal del cdm de la cuerda tiene una velocidad, respecto del centro de la polea,

$$\dst v_x = 2 R \frac{\lambda}{M} \,\frac{\dd l}{\dd t}$$

Como el último factor es la velocidad con la que asciende o desciende la cuerda en cada lado, es decir, $R\omega$, pasando M al primer miembro tenemos que el momento lineal de la cuerda será, en su componente horizontal,

$$p_x = 2 \lambda R^2 \omega$$

Al derivar esta expresión respecto del tiempo tenemos finalmente la fuerza horizontal que ejerce la polea sobre la cuerda (y por la ley de acción y reacción la que la cuerda ejerce sobre la polea):

$$H = 2 \lambda R^2 \alpha$$

que es la misma que escribí anteriormente.

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

a verdade que eu sigo intrigado!!!!
algo debo estar razonando mal.
hacia que lado se desplaza el centro de masas?
hacia que lado actua esa fuerza horizontal sobre la polea!?

- - - Actualizado - - -

Hola arivasm
Puedes poner ese desarrollo último en una imagen...
No estoy nada acostumbrado a manejar el LATEX y hay símbolos que no se traducir
Gracias

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

El centro de masas de la cuerda se desplaza hacia el lado que está descendiendo. Eso significa que sobre la cuerda como un todo debe haber una fuerza horizontal, que evidentemente no es ejercida por el peso, con lo que sólo nos queda un cuerpo que ejerce fuerzas sobre la cuerda: la polea. Por la ley de acción y reacción, la cuerda ejerce sobre la polea la fuerza que Al intuyó.

Ya puestos: Al ¿a partir de qué intuiste la existencia de la fuerza?

Aprovecharé para comentar sobre la (magnífica) idea que has propuesto en el post #17: como, en horizontal, el cdm del sistema cuerda+polea permanecerá fijo, es fácil determinar cuál será el desplazamiento de la polea. Casi mejor lo dejo para cuando el LaTeX vuelva a estar operativo!

Saludos, amigos!