Máquina de Atwood no tan ideal

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Hola arivasm
Yo me puse a hacer lo que pasaría si quitamos el rozamiento..y... SALVO ERROR (pues no soy muy práctico en estos métodos)...llego, -con un resultado igual al tuyo- a la conclusión de que el rozamiento no influiría en esta fuerza horizontal. Lo cual, físicamente, parece lógico.

Pero yo sigo intrigado....cuando miro para el sistema cuerda+polea+masas....Intuitivamente me sigue intrigando que ese sistema pueda moverse en horizontal....Unas pesas moviéndose en vertical que dan lugar a un movimiento horizontal de esa manera sin que sea por rodadura? Me entiendes! (Yo no soy de físicas y espero que perdoneis estes dislates de la intuición)

Te pongo, arivasm, una imagen con mi planteamiento para el caso en que no haya rozamiento (sobre todo porque mires, si encuentras algún desliz de concepto o de cálculo. Gracias).
sen rozamento.pdf

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Tu planteamiento de llegar a la misma fuerza a partir de la posición del centro de masa no ha necesitado para nada de la fuerza de rozamiento. Lo cual coincide con el resultado al que se llega con tu método anterior....

Y para concluír ....decía un profesor mío que cuando uno es capaz de llegar a Roma por varios caminos distintos, es porque Roma sin duda existe!
Ahora, amigo arivasm, nos quedaría hacer el experimento, no crees?
Casi me tienta la idea...de verlo funcionar!!!!

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Sólo he encontrado un error, que no afecta al resultado final, pues afecta a una integral de valor nulo: en la ecuación (2) está mal el signo de la componente del peso. Confirmo que coincidimos en el resultado.

Sobre lo de los cuatro pdf quizá puedas arreglarlo usando el modo avanzado y gestionando los adjuntos.

Saúdos, compañeiro!

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Añado: a lo del experimento, sí, sí, sí!

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

gracias
Ahora que he vuelto a mirar el archivo, tambien está mal el signo de la fuerza de la cuerda sobre la polea que necesariamente es de signo opuesto a la fuerza de la polea sobre la cuerda.
Errores corregidos
Un saludo

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amigo arivasm
Yo sigo intrigado con esta polea....
Hoy quedé a tomar café con unos compañeros de mi promoción de Bachillerato que en lugar de elegir la química eligieron ingeniería (esto es cotilleo, pero supongo que algo de cotilleo puede estar permitido) y les planteé el mecanismo de esta polea sobre unos rieles y con cuerda de masa no despreciable. Me sorprendio que, los dos a la vez, no dudaron en decirme inmediatamente que la polea, efectivamente, se movía hacia al lado en que iba aumentando la masa. Su explicación, sin embargo, me pareció más de intuición que de leyes físicas, en base siempre a otros ejemplos que respondían a otras razones y no a la masa de una cuerda (los ingenieros ya sabes que reducen los cálculos al manejo de tablas y fue por esto que no me dejé convencer a acompañarles a la escuela de ingeniería)

La cuestión es que yo sigo intrigado en lo mismo...Una vez admitido que el centro de masas se mueve (debido al trasvase de masa de un lado al otro de la polea) y admitida la necesidad de una fuerza externa.., en tu último cálculo has calculado la fuerza de reacción de la cuerda sobre la polea partiendo de como cambia el centro de masa al producirse el trasvase de una masa elemental dm desde un lado al otro de la polea, pero esa fuerza está calculada suponiendo que la polea no se traslada.

Yo ahora planteo lo siguiente: ¿cómo se mueve el centro de masas (por tanto, cual será la fuerza externa) en el caso de que dejemos que la polea, por medio de un mecanismo como el que puse, se traslade?

he visto que nos hemos quedado solos en este hilo....pero...

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

(Pues sí, está visto que no hay muchas voces por aquí, pero seguro que al menos desde Venezuela nos echan un ojo de vez en cuando.)

Precisamente, ésa era la cuestión que iba a plantear, por lo que me alegré cuando he visto tu actualización. Por cierto que discreparé con tus amigos: la polea se desplaza en el sentido contrario del movimiento de la cuerda sobre ella.


Sea $x_c$ la coordenada X, horizontal, del centro de la polea, cuya masa denotaré por $M_p$. Supongamos que a ambos lados de la misma cuelgan dos masas, $M_1$ y $M_2$, debido a dos porciones verticales de cuerda, de masas $m_1$ y $m_2$, respectivamente. Por fijar ideas, situemos lo que tenga subíndice 1 en el lado "izquierdo" y lo del 2 en el "derecho". Como antes, llamaré $\lambda$ a la densidad lineal de masa de cuerda.


El centro de masa del sistema tendrá por coordenada X

$x_{cdm} = (M_p+\pi R \lambda) x_c + (M_1+m_1)(x_c-R)+(M_2+m_2)(x_c+R)$

Si llamamos M a la masa total del sistema, $M=M_p+M_1+M_2+m_1+m_2+\pi R \lambda$, podemos escribir la expresión anterior como

$$x_{cdm} = M x_c + (M_2-M_1+m_2-m_1)R$$

Como las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son verticales esta cantidad se conservará, de manera que

$\dst M v_c + R\frac{\dd}{\dd t}(m_2-m_1)=0$

Pero

$\dst \frac{\dd m_2}{\dd t}=-\frac{\dd m_1}{\dd t}=\lambda R\omega$

luego

$$M v_c + 2\lambda R^2\omega=0$$

que al derivar nos proporciona la expresión de marras:

$$M a_c =- 2\lambda R^2\alpha$$

En realidad, se trata de la conservación del momento lineal, y el sistema se comporta de un modo parecido al disparo de un proyectil y el consecuente retroceso del arma. Por supuesto, aquí hay una diferencia: la bala (cuerda) es también arrastrada por el arma (polea). Es decir, el trasvase de masa de la cuerda desde un lado hacia el otro deberá causar el desplazamiento de la polea en el sentido contrario.


Por cierto, que (2) nos da la pista para diseñar el experimento. En realidad no necesitamos que haya aceleración, para observar el desplazamiento de la polea. Seguramente nos bastará con que las velocidades angulares se traduzcan en velocidades apreciables del centro de la polea, suficientes como para apreciar que se ha movido (aunque el rozamiento podría fastidiar bastante).


Así a ojo, a la vista de (2) o de (3), parece que lo que interesa es que la polea y las masas colgantes tengan la menor masa posible, la cuerda la mayor posible, y que el radio de la polea sea lo mayor posible. Claro que como la masa de la polea crecerá con el cuadrado de su radio, quizá no convenga demasiado esto último (habrá que pensarlo algo más).


Yo ando ahora comiéndome el coco con tratar de encontrar, precisamente, el desplazamiento del centro de la polea si el sistema parte del reposo, pero por ahora lo tengo un poco verde (estoy basándome en la conservación de la energía para llegar a la ecuación diferencial que proporcione $x_c(t)$, pero como digo no estoy nada satisfecho con lo que tengo).


Saludos!!

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Mis compañeros ingenieros están entrenados para hacer funcionar los mecanismos y el fundamento físico (cuantitativo) les es menos importante. Y tengo que decir, en mérito de ellos, que inmediatamente encontraron los ingredientes con los que probar: una rueda de bicicleta (mucho radio, poca masa y mucha inercia en relación a la masa), una cadena (sin masas) y unos rodamientos cilindricos sobre guías en forma de V invertida para reducir el rozamiento al máximo (lo bueno de los ingenieros es que tienen la solución para hacer funcionar cualquier cosa. jajaja). Quedamos en ponernos a ello en Navidades (porque ellos tienen unos días de vacaciones)

Cuando tengas alguna solución al movimiento del centro de masas con la polea en movimiento, ponla y la discutimos.
Yo me pondré también a ello. Pero de momento solo pensé en las ecuaciones del movimiento relativo, pero no creo que solucionen gran cosa, porque lo que interesa es deducir el movimiento de la polea a partir del movimiento del centro de masas.

Discutiendo con mis compañeros ingenieros salieron algunas cuestiones más relacionadas con esto que a ver si pongo alguna y quien se anima

Un saludo

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Creo que está claro lo que gobierna el diseño: se trata de observar el desplazamiento; luego integrando (2) tenemos que el desplazamiento de la polea $\Delta x_c$ se relaciona con el cambio en la longitud de la cuerda en cualquiera de los lados $\Delta l$ mediante

$$M\Delta x_c = 2\lambda R \Delta l$$

Por tanto, hace falta una cuerda lo más masiva posible, que pueda variar mucho en su longitud, un sistema con una masa total lo menor posible. Con respecto al radio, si no me equivoco, habrá un valor óptimo, según se deduce de suponer que M tiene un término fijo y otro que crece con el cuadrado de R y derivar $\Delta x_c$ frente a R.

[oscarmuinhos]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Ahora que vuelvo a leer tu post #34 vuelvo a dudar sobre el sentido de la fuerza que creía haber entendido.
A ver:
1) en tu cálculo incluyendo el rozamiento y en el mío sin rozamiento (siguiendo el método de tu primer cálculo) se calculaba la reacción de la polea sobre la cuerda y esta era:
$\vec{F}=-2 \lambda {R}^{2}\alpha$
Por lo tanto, la fuerza de la cuerda sobre la polea tendrá que ser:
$\vec{F}=2 \lambda {R}^{2}\alpha$
No es así?
La fuerza horizontal externa que debe de actuar sobre la polea será, pues, en el sentido en que se mueve la cuerda? No es así? O estoy entendiendo mal los signos?.

2) En tu cálculo del movimiento del centro de masas (el que tenías en archivo adjunto) quitabas un dm de M1 y lo añadías a M2 llegando al resultado de que la fuerza era:
$\vec{F}=2 \lambda {R}^{2}\alpha$. Por lo tanto en el sentido en que aumenta la masa del sistema? No es?

3) Y razonando físicamente:
El centro de masas se desplaza hacia el lado en que está aumentando la masa (sentido de giro). Por lo tanto, esa fuerza externa horizontal habrá de ser en el sentido en que aumenta la masa? No es?

Mira que es intrigante esta polea!!
Saludos y gracias por tu paciencia. Disculpa si estoy entendiendo mal!

- - - Actualizado - - -

En tu propuesta para el mecanismo experimental coinciden (como te explicaba en un post anterior) mis compañeros. Una cadena sin masas montada sobre una rueda de bicicleta por su gran radio y poca masa. Y puesto que el movimiento se acelera rapidamente (con el cuadrado de R), ellos aseguran que no será dificil hacer funcionar el mecanismo a pesar de los rozamientos.
Pero bueno, esperar y ver
Un saludo

[arivasm]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Hola Óscar.

1) En el tratamiento que hice en el post #14, al pasar de la ecuación (2) a la (3) ya estaba haciendo uso de la ley de acción y reacción, de manera que transferí de (2) a (3) los módulos, pero los signos para H se correspondían con positivo si esta fuerza estuviese dirigida hacia la derecha (bien, en realidad, el sentido de crecimiento de $\theta$); digamos que (3) se corresponde con unas df y dN de sentidos contrarios de las dibujadas sobre el elemento. Por tanto, el resultado final refleja una fuerza de sentido contrario al de giro acelerado (la izquierda, para entendernos).

Con respecto al caso sin rozamiento de tu post #31 sucede exactamente lo mismo: en realidad estás despejando el módulo dN en la ecuación (1) de tu documento, que luego multiplicas por el coseno en (4), convirtiéndola así en componente horizontal de la fuerza que ejerce el elemento de cuerda sobre la polea. De lo contrario, por la dirección que tiene el dN que está en el dibujo en (6) todos los términos deberían tener el signo contrario (digamos que la dN del dibujo tiene una componente horizontal "negativa"; el que la pongas positiva es porque la volteaste).

2) En el cálculo basado en el cdm, del post #28 [al que adjunté entonces un pdf por el problema del LaTeX] lo que sedetermina en es el desplazamiento horizontal del cdm de la cuerda, a través de él la componente horizontal del momento lineal de la misma y, entonces, la fuerza que se ejerce sobre ella, que, lógicamente tiene el sentido de movimiento de la cuerda. Pero fíjate que terminé diciendo que la que ejerce la cuerda sobre la polea se obtiene por la ley de acción y reacción (es decir, entonces sólo destaqué el módulo; el sentido, por supuesto, será el opuesto).

3) Como bien dices, la fuerza irá en el sentido de desplazamiento de la masa. Pero entonces, si nos fijamos en la de la cuerda será la fuerza que se ejerce sobre ella. Para la polea será inverso (quizá esté siendo pesado con esto, porque ya lo señalé antes -sólo es por comentar cada punto-).


Ciertamente es un sistema muy bonito, y tengo un par de problemas propuestos al respecto que ya pondré por aquí (uno de ellos es la ecuación de movimiento).

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Le he dado algunas vueltas a los posibles óptimos para el experimento. A continuación se supone una situación inicial en la que prácticamente toda la cuerda parte del lado "izquierdo", con una longitud $l$, y en el lado "derecho" hay una masa $m_d$ (necesaria para forzar el giro, y de la que podría formar parte también la propia cuerda).

El desplazamiento del centro de la polea será, como señalé en un post anterior,

$$\dst\Delta x_c = \frac{2\lambda R}{M} l$$

donde $M$ es la masa total del sistema

$$M=\lambda(l+\pi R)+m_d+M_p$$

siendo $M_p$ la masa de la polea.

El radio óptimo es aquél que cumple que

$\dst\frac{\partial \Delta x_c}{\partial R}=0$

Pero por (1) eso significa que

$\dst\frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{R}{M}\right)=\frac{1}{M}\left(1-\frac{R}{M}\,\frac{\partial M}{\partial R}\right)=0$

Es decir

$$\dst M=R\frac{\partial M}{\partial R}$$

y entonces, por (2),

$$\dst M=\pi\lambda R+R\frac{\partial M_p}{\partial R}$$

Si consideramos que la masa de la polea crece con su radio, como sucede por ejemplo si se distribuye fundamentalmente a lo largo de su contorno, entonces

$$\dst\frac{\partial M_p}{\partial R}=\frac{M_p}{R}$$

y (4) se convierte en

$$\dst M=\pi\lambda R+M_p$$

condición que, evidentemente, es imposible de satisfacer.

Ahora bien, este resultado tan sólo expresa que la derivada parcial del alcance respecto del radio es positiva, lo que nos lleva a una conclusión práctica: el radio de la polea debe ser el mayor que sea posible.

Debo decir, que el caso de una rueda de bicicleta se ajusta bastante bien a este caso, toda vez que está claro que la llanta cumplirá la condición de que su masa sea proporcional al radio y que lo mismo sucederá con la masa de sus varillas.

Si consideramos que la masa de la polea se distribuye de manera que es dependiente del cuadrado del radio (como sucede si es cilíndrica), entonces

$$\dst \frac{\partial M_p}{\partial R}=2 \frac{M_p}{R}$$

y ahora (4) pasa a ser

$\dst M=\pi\lambda R+ 2 M_p$

Trasladando este resultado a (2) tenemos que el óptimo se corresponde con

$$M_p=m_d+\lambda l$$

es decir, la masa de la polea debería ser igual a la masa "colgante" (o viceversa). Como en el caso de menor masa total se tiene que

$m_d=\lambda l$

entonces la longitud óptima de la cuerda será

$$\dst l=\frac{M_p}{2\lambda}$$

Al llevar este resultado a (1) encontramos la cota máxima para la distancia que recorrerá la polea si ésta es cilíndrica:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Espero no haber cometido muchos errores!

Saludos!

[josemartR]

Re: Máquina de Atwood no tan ideal

Estos señores que idearon las máquinas para medir la atracción terrestre, aunque sin los medios de precisión que hoy tenemos, disponían de una gran imaginación y de paciencia para repetir los experimentos una y otra vez y conseguir un resultado, por el promedio de los resultados, que parece imposible por su exactitud.
Se basaban en la idea del plano inclinado donde la caída se ralentiza, pero, los espacios, los tiempos y las velocidades son proporcionales a la caída libre.
(Perdón si cometo algún fallo, pero la idea general es esta).
La cuerda (hilo finísimo) esta siempre extendido, ya que siempre soporta las pesas.
¿Sin masa? ha de ser muy finísimo y cuando están a la misma altura las pesas, el peso esta equilibrado. El problema está cuando se pone en marcha. Mientras disminuye el peso del hilo de un lado aumenta el del otro. por ello ha de ser finísimo.
El sistema de poleas esta estudiado de tal manera que en las pruebas, al hacerlas girar en vacío, su giro dura 5 minutos. Como la Máquina en movimiento dura unos segundos. Se puede despreciar el rozamiento.
Principalmente es la cantidad de veces que se hace el experimento para intentar llegar a un resultado fiable.
http://www.mostolesmuseo.com/maquina...ina_atwood.htm