Otras carreras Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

[sertoljim]

El problema es el siguiente. Me dicen que sobre una superficie hay un aro. Entre dicha superficie y el aro no hay rozamiento. Sobre el aro, hay un insecto que comienza a andar sobre él. Me piden la trayectoria del insecto. El dibujo que hace su trayectoria conforme se va moviendo. El caso es que creo que hará algo parecido a una cicloide, pero no sé cómo exactamente ni cómo argumentar que hará eso. ¿Alguien puede ayudarme? Muchas gracias de antemano.

[FisicAlberto]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Este link tal vez te ayude: http://es.scribd.com/doc/39137178/Ca...nto-rotacional

[sertoljim]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

El Sears-Zemanski es el libro que usamos, pero no he encontrado nada ahí que me ayude con la trayectoria...

[oscarmuinhos]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Y solo te da esos datos? No te dicen nada de si se mueve o no se mueve el aro? y si se mueve, de que forma se mueve?, de como se mueve el mosquito sobre el aro?
ni te dan la masa del aro? ni la del mosquito? ni dimensiones de ningún tipo? No creo que se pueda concluir algo sobre tanta austeridad de datos...

[Breogan]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Hola:

Creo que se podría hacer en forma genérica (ni idea como!!), lo que mas me genera dudas es si el modulo de la velocidad del bicho respecto del aro hay que considerarla cte.; y si el problema es sin rozamiento o sin deslizamiento entre el aro y la mesa, la 2º opción me parece mas interesante.

Suerte

[sertoljim]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

El aro no tiene rozamiento sobre la mesa, por lo que puede deslizar sobre ésta sin ningún problema. El insecto lleva una velocidad constante. Es todo así de genérico. A mi profesor le gusta que saquemos conclusiones genéricas.

[carroza]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Hola.

Empieza con leyes de conservación:

- El centro de masas (insecto + aro) permanece en la misma posición.

- El momento lineal (insecto + aro) es constante, por tanto es cero, ya que inicialmente el insecto está quieto.

- Al momento angular (insecto + aro) con respecto a un punto fijo (por ejemplo, el centro de masas) es constante. Por tanto es cero, por la razón anterior.

Todo esto te permite expresar unas relaciones en función del movimiento del insecto sobre el aro.

Saludos

[arivasm]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

¿Y no será más sencillo abordarlo con composición de movimientos?

Tomemos el centro del aro: sus coordenadas serán (si tomamos un SR ligado a un punto de la superficie) $\vec r_c(t)=(x_c(t),R)$. Respecto del centro del aro el movimiento del insecto seguirá una ecuación de la forma $\vec r_i(t)=(R\cos\theta(t),R\sin\theta(t))$. Por tanto la ecuación de movimiento respecto de la superficie es $\vec r(t)=(x_c(t)+R\cos\theta(t),R+R\sin\theta(t))$.

Eso sí, el enunciado es demasiado ambiguo, pues apenas aclara nada del movimiento, como mucho que al no haber rozamiento el centro del aro seguirá un movimiento uniforme $x_c(t)=x_{c,0}+v_c t$. En lo que se refiere a $\theta(t)$ la ausencia de información es notoria: ¿está el aro en rotación? (se mantendría por la ausencia de rozamiento), ¿cómo se mueve el insecto respecto del aro?.

Por tanto, ¿estás seguro de que el enunciado es tal como lo has puesto?, en particular "un insecto comienza a andar" sin más (¿uniformemente?).

En caso de que el movimiento del insecto sobre el aro sea uniforme, con velocidad constante $v_i$ respecto del aro y que éste tenga originalmente una velocidad angular $\omega$, entonces $\theta(t)=(\omega t+v_i/R)t$ y la trayectoria ciertamente será un cicloide.

[pod]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

¿Y no será más sencillo abordarlo con composición de movimientos?

Tomemos el centro del aro: sus coordenadas serán (si tomamos un SR ligado a un punto de la superficie) $\vec r_c(t)=(x_c(t),R)$. Respecto del centro del aro el movimiento del insecto seguirá una ecuación de la forma $\vec r_i(t)=(R\cos\theta(t),R\sin\theta(t))$. Por tanto la ecuación de movimiento respecto de la superficie es $\vec r(t)=(x_c(t)+R\cos\theta(t),R+R\sin\theta(t))$.

Eso sí, el enunciado es demasiado ambiguo, pues apenas aclara nada del movimiento, como mucho que al no haber rozamiento el centro del aro seguirá un movimiento uniforme $x_c(t)=x_{c,0}+v_c t$. En lo que se refiere a $\theta(t)$ la ausencia de información es notoria: ¿está el aro en rotación? (se mantendría por la ausencia de rozamiento), ¿cómo se mueve el insecto respecto del aro?.

Por tanto, ¿estás seguro de que el enunciado es tal como lo has puesto?, en particular "un insecto comienza a andar" sin más (¿uniformemente?).

En caso de que el movimiento del insecto sobre el aro sea uniforme, con velocidad constante $v_i$ respecto del aro y que éste tenga originalmente una velocidad angular $\omega$, entonces $\theta(t)=(\omega t+v_i/R)t$ y la trayectoria ciertamente será un cicloide.

Yo no creo que el enunciado sea tan ambiguo. El único dato que falta es la posición inicial del bicho; y quizá asumir que es capaz de moverse sin deslizar por el aro independientemente de cualquier movimiento que se pueda producir. Haciendo lo que propone Carroza debería salir a la perfección.

[sertoljim]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Tenemos un aro y, sobre éste, un insecto. El aro es hueco, es un anillo, y el insecto está situado sobre el borde del anillo. Ésta arandela está en posición horizontal sobre un plano. Sobre la arandela y el plano no hay rozamiento. Ni el aro ni el insecto se mueven en t=0. En un instante determinado, el insecto comienza a moverse sobre el borde del anillo, con rozamiento, por lo que el anillo también se mueve. Espero que haya quedado un poco más claro así. ¿Cómo quedarían las ecuaciones de movimiento una vez aclarado (espero, y perdonad por mi ambigüedad)?

[arivasm]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Entonces no hay duda: la respuesta de carroza es la buena!

[Breogan]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Hola:

Yo había interpretado que el aro estaba parado sobre una superficie plana, de ahí la posibilidad de una cicloide. En este caso para que el aro ruede sobre la superficie, el rozamiento debe ser distinto de cero no? y que no haya resbalamiento es una condición que simplifica el problema?

Suerte

[sertoljim]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Pero no sé cómo plantear las ecuaciones del modo que dice Carroza, alguien puede explicármelo?

[arivasm]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Imagínate que el centro del aro está en el origen de coordenadas y que la posición inicial del insecto está sobre el eje X, en (R,0). Si la masa del aro es M y la del insecto es m, es muy fácil encontrar la posición del centro de masas: $\dst \frac{m}{M+m}\left(R,0\right)$.

Como bien ha dicho carroza, el centro de masas permanecerá inmóvil. Sea cuál sea la posición del insecto sobre el aro, se mueva como se mueva sobre él, ésas serán las coordenadas del centro de masas.

Consejo: traslademos el origen a dicho lugar. La posición inicial del centro del aro estará en $\dst -\frac{m}{M+m}\left(R,0\right)$ y la del insecto estará en $\dst \frac{M}{M+m}\left(R,0\right)$. Y repito, el cdm no se moverá. Siempre estará en el origen de coordenadas.

Ahora viene la clave del ejercicio: el insecto se ha movido, y entonces el centro del aro también; eso sí, entre estos dos puntos siempre habrá una distancia R. ¿Qué le habrá sucedido a la distancia entre el insecto y el centro de masas? ¿será mayor, menor o igual que la inicial?.

En cuanto tengas la respuesta a esta última pregunta te resultará inmediato saber la forma de la trayectoria que sigue el insecto respecto de la mesa. Eso sí, no es un cicloide!, sino algo mucho más conocido!

PD: ¡Qué bella danza ejecutarán el insecto y el centro del aro!

[Breogan]

Re: Trayectoria de un insecto que anda sobre un aro.

Hola:

No es mas fácil poner el centro del SR en el centro del aro y aplicar la conservación del momento angular, ya que al no haber rozamiento ni ninguna fuerza externa al aro+bicho este se debe conservar? Es correcto suponer esto?

Gracias

Suerte