Problema de una masa colgante y rotante.

[Ghiret]

Buenas, escribo por que en esto de estudiar en agosto me ha salido un problemilla en el que creo que me faltan datos en el enunciado o quizás es que no lo interpreto bien. El problema es sencillo, lo que no consigo es eliminar todas las variables que no conozco: todo lo que no sea la velocidad angular. El enunciado del mismo es:

Una masa sujeta a una cuerda, la cual está suspendida de un punto fijo. La masa describe un círculo, que está contenido en un plano horizontal cuyo centro pertenece a la línea vertical que pasa por el punto fijo(que están alineados vamos). Determinar la distancia del centro del círculo al punto fijo si la masa se mueve con una frecuencia $\omega=20rpm$.

Lo primero que se me ocurre es que si se está moviendo en un círculo la fuerza resultante en el eje vertial debe ser nula y como el sistema es ideal y demás sólo actúan la componente vertial de la tensión, $T\cos{\theta}$, y la aceleración de la gravedad, $g$; es decir: $T\cos{\theta} = g$. Donde $\theta$ es el ángulo que forma la cuerda que sujeta la masa con la vertical que une el punto fijo y el centro de la trayectoria(a veces me repito más que la ardoria :s).

En la componente horizontal también, puesto que el radio de la circunferencia es constante(si no, no sería una circunferencia) que hay un equilibro de fuerzas y por tanto la fuerza no inercial antes conocida como centrípeta es igual en módulo y de sentido opuesto a la componente horizontal de la tensión: $T\sin{\theta}=\omega^2R$.

Si la longitud de la cuerda es $l$, entonces el radio de la circunferencia será $l\sin{\theta}=R$ y la distancia, $d$, que me piden será $d=l\cos{\theta}$.

La cosa es que operando llego a dos expresiones: $d=\frac{Tmg}{\omega^2}=\sqrt{\frac{m^2g^2}{\omega^{4}}+R^2}$ y no se me ocurre como dejarlo en función de $\omega$ sólo. Lo más probable es que independientemente de la hora que es y mi desconfianza en mi jucio, no hay más forma que esta; pero como estoy un poco harto a esta hora y esto es más práctico que dormir lo pregunto.

Nota: Es ardoria, con R; se hace como el gazpacho con menos agua o el gazpacho se hace como la ardoria pero con más agua, como cada uno quiera.

[pod]

En primer lugar, no puedes igualar una fuerza (tensión) a una aceleración; te falta la masa. Las dos componentes de la fuerza son:

$T \sin\theta = m \omega^2 R \ ,$
$T \cos\theta - mg = 0 \ .$

Tomando el cociente,

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por otra forma, por trigonometría trivial y siguiendo tu notación

$\tan\theta = \frac{R}{d} \ ,$

Con lo que podemos simplemente igualar y aislar

$\frac{R}{d} = \frac{\omega^2 R}{g} \longrightarrow d = \frac{g}{\omega^2}\ .$

Dejaré al lector hallar la explicación de por qué el resultado no depende de la longitud del cable.

[Ghiret]

Thanks.

Muchas gracias pod, creo que apartir de ahora voy a dejar de hacer problemas tan tarde o repasarlos... xD.

[pod]

Re: Thanks.

Muchas gracias pod, creo que apartir de ahora voy a dejar de hacer problemas tan tarde o repasarlos... xD.

Bueno, ahora te pongo yo el apartado (b) del problema. Que pasa cuando $\omega \to 0$? Primero piensa cuál debería ser el resultado "lógico", y luego substituye en la solución y discute tus resultados.

[pod]

Re: Thanks.

Muchas gracias pod, creo que apartir de ahora voy a dejar de hacer problemas tan tarde o repasarlos... xD.

Bueno, ahora te pongo yo el apartado (b) del problema. Que pasa cuando $\omega \to 0$? Primero piensa cuál debería ser el resultado "lógico", y luego substituye en la solución y discute tus resultados.

Ghiret!!! Estas obligado a intentar responder esta pregunta!!! Adelante!

[Locke]

Yo creo que ya no te va a responder :?

[Ghiret]

Ante todo perdón por el retraso, es que andaba haciendo las cosas normales de septiembre: exámenes. xD. Además, no tenía acceso a internet y si me iba a la facultad con el portátil habría perdido mucho el tiempo.

Dejaré al lector hallar la explicación de por qué el resultado no depende de la longitud del cable.

Pues no soy capaz de dar un argumento convincente de ello, por el momento.

Bueno, ahora te pongo yo el apartado (b) del problema. ¿Qué pasa cuando $\omega \to 0$? Primero piensa cuál debería ser el resultado "lógico", y luego substituye en la solución y discute tus resultados.

Pienso.... a ver, si se reduce $\omega$ a cero y no se mantiene la masa formando el ángulo $\theta$, es decir, se pone la mano para pararla y se quita y se deja libre la partícula será dejada en libertad con un ángulo respecto de la vertical. Y se obtiene un péndulo simple.

Si se sustituye en la fórmula se obtiene que $d\to\infty$, lo cual es imposible puesto que existe la ligadura $R^{2}+d^{2}=l^{2}$. Y el máximo valor que puede tomar $d$ es $l$ en el caso de $R=0$, que es el caso en que la masa está en la vertical.

[pod]

Si se sustituye en la fórmula se obtiene que $d\to\infty$, lo cual es imposible puesto que existe la ligadura $R^{2}+d^{2}=l^{2}$. Y el máximo valor que puede tomar $d$ es $l$ en el caso de $R=0$, que es el caso en que la masa está en la vertical.

Bueno como interpretas tu eso de que la distancia vertical tenga que ser infinita? O, visto de otra forma, que velocidad angular debe ser imprimida a la masa para que se mantenga a $d = \ell$?

[Ghiret]

Bueno como interpretas tu eso de que la distancia vertical tenga que ser infinita? O, visto de otra forma, que velocidad angular debe ser imprimida a la masa para que se mantenga a $d = \infty$

Me refería a que si tomas la fórmula que tu dedujiste y haces $\omega=0$ entonces $d$ se hace infinito y eso no puede ser; ¿porqué? Por que la fórmula se dedujo bajo la condición implícita de $\omega\neq0$ y por lo tanto no tiene validez para el caso de $\omega\to 0$. Así que si se calcula el límite de $d$ cuando la velocidad angular se hace muy pequeña basándose en la fórmula se obtiene un resultado que no tiene sentido puesto que la misma no tenía sentido.

Es por eso que dije algo como:

si se reduce $\omega$ a cero y no se mantiene la masa formando el ángulo $\theta$, es decir, se pone la mano para pararla y se quita y se deja libre la partícula será dejada en libertad con un ángulo respecto de la vertical. Y se obtiene un péndulo simple.

Si se escribe la fórmula del balance de fuerzas:

$<br /> T\sin{\theta}-mR\omega^{2} = m\ddot{x}<br />$

ahí si se puede hacer $\omega\to 0$ y se obtiene la ecuación del péndulo simple. De hecho, con $\omega = 0$ se puede tener $d=l$, pero siempre que $\theta(0)=0rad$ y $\dot{\theta}(0) = 0rad/s$, es decir, se parta de la posición de equilibrio y de velocidad nula.

Aunque si $\dot{\theta}(0)\neq 0$ se tiene un péndulo simple y cada período se tendrá un instante de tiempo en el que se cumple que $d=l$, pero no creo que sea eso lo que preguntas.

[pod]

Muy mal ghiret. En este problema se impone una condición de equilibrio. Si te fijas en la solución, $d = \ell$ implica $\omega^2_c = g /\ell$. Naturalmente, se tiene que cumplir $d \le \ell$, por lo tanto hay una condición de equilibrio:

$\displaystyle \omega \ge \omega_c = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\ .$

No puede existir equilibrio con una frecuencia menor. Y la única forma de que se pueda tener equilibrio con frecuencia nula es que la longitud sea infinita.

Todo esto es consecuencia de que la frecuencia (o velocidad angular, si se expresa en unidades angulares) no dependa de la longitud del hilo. Lo cual aún nos tienes que explicar

[Ghiret]

Creo que el problema ha sido mío, al confundir la frecuencia de rotación alrededor del eje y la de la oscilación que tendría el péndulo. Si haces $\omega=0$ te queda el péndulo simple de frecuencia de oscilación $\omega_{pen}^{2} = \frac{g}{l}$.

No puede existir equilibrio con una frecuencia menor. Y la única forma de que se pueda tener equilibrio con frecuencia nula es que la longitud sea infinita.

Cojes un hilo, le cuelgas una moneda o una pelota y lo pones vertical: $\omega = 0$ y posición de equilibrio que es a lo que yo me refería. Supongo que interpreté mal tu pregunta y que tu te referías a... vale, creo que es que no entiendo la pregunta.

[pod]

Cojes un hilo, le cuelgas una moneda o una pelota y lo pones vertical: $\omega = 0$ y posición de equilibrio que es a lo que yo me refería. Supongo que interpreté mal tu pregunta y que tu te referías a... vale, creo que es que no entiendo la pregunta.

Ese es otro equilibrio, el de un péndulo simple. No es el que impones en tu sistema, que es el de un péndulo rotatorio.

[Ghiret]

Y yo lo que entendí es qué ocurría si hacemos $\omega=0$, y entonces se queda un péndulo simple. Pero no entiendo entonces que significa hacer eso y seguir con un péndulo rotante.

[pod]

Y yo lo que entendí es qué ocurría si hacemos $\omega=0$, y entonces se queda un péndulo simple. Pero no entiendo entonces que significa hacer eso y seguir con un péndulo rotante.

Si ya te lo he explicado. Simplemente que en el péndulo rotante no existen frecuencias demasiado bajas... a no ser que el hilo sea muy muy largo.