Ayer tuve el primer parcial de física y no terminé de conseguir resolver el ejercicio. Resuelvo hasta donde llegué a ver si a alguien se le ocurre como terminarlo.
No parece muy complicado el ejercicio, su caso plano sí que lo sé resolver completamente, pero no sé este por qué no me terminó de salir. Bueno, al lío:
Tenemos un cilindro liso. Sobre él se coloca una bola de masa m, el peso va el la dirección negativa del eje x:
Describir su velocidad y aceleración en cilíndricas, escribir las ecuaciones del movimiento, ¿Existen integrales primeras?. Hallar en qué coordenadas se separa la partícula del cilindro si para t = 0 está en theta = 0 y con una velocidad . Encontrar en qué punto del plano x=0 impacta.
Vale las cuestiones previas al problema son sencillas (espero no haber metido la pata xD).
Como el radio es constante se reduce a
La aceleración queda:
Ecuaciones del movimiento, desvinculando tenemos la fuerza peso
y la fuerza de reacción vincular
La segunda ley de Newton queda
¿Existen integrales primeras?
De la tercera ecuación se observa claramente que la cantidad de movimiento la dirección z se conserva. En efecto el sumatorio de fuerzas es nulo en la dirección
Conocemos la cantidad de movimiento en el instante inicial:
Y por ser el vínculo liso y esclerónomo se conserva la energía mecánica, eligiendo el origen del potencial gravitatorio en x = 0:
Del instante inicial sacamos:
El problema tiene dos grados de libertad antes de separarse, theta y z, por lo qué en principio no necesitaríamos más integrales primeras. Ahora toca hallar las coordenadas en las que se separa la bola del cilindro. Esto ocurre cuando dejamos de tener reacción vincular:
Por lo que del sistema de ecuaciones del movimiento:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Usando las integrales primeras:
Y no sé por qué al llegar a ese resultado me asusté porque no se parecía al resultado que había obtenido en el caso plano de una bola que desliza por un círculo, así que volví a hacer desde cero el problema con miedo a haberme dejado algo por algún sitio (sigo sin saber si este resultado es correcto), pero volví a obtener lo mismo. Pero no supe continuar a partir de aquí, porque ahora para conocer la coordenada z debería de encontrar una expresión de z en función de theta o calcular cuanto tiempo transcurre hasta llegar a ese ángulo calculado... pero no conseguí nada.
Espero que me pongan un cinco jeje a ver si hay suerte. Bueno la cuestión es que no sé como seguir a ver si alguien es capaz de terminarlo, le he estado dando vueltas y no caigo... Me falta hallar la coordenada z y después el punto de impacto, que no es más que un cuerpo en caída libre, deberemos saber la velocidad que lleva en el instante en el que se despega.
En resumen, coordenada z? lo conocemos, y faltaría también por hallar . Sólo se me ocurre conseguir la ley horaria de theta, pero no se me ocurría como integrarla... quizá se me escape alguna otra integral primera que pueda llevarnos a una solución del problema. Bueno, suerte a quien lo intente, si consigo terminarlo subiré el resultado.
Saludos!
No parece muy complicado el ejercicio, su caso plano sí que lo sé resolver completamente, pero no sé este por qué no me terminó de salir. Bueno, al lío:
Tenemos un cilindro liso. Sobre él se coloca una bola de masa m, el peso va el la dirección negativa del eje x:
Describir su velocidad y aceleración en cilíndricas, escribir las ecuaciones del movimiento, ¿Existen integrales primeras?. Hallar en qué coordenadas se separa la partícula del cilindro si para t = 0 está en theta = 0 y con una velocidad . Encontrar en qué punto del plano x=0 impacta.
Vale las cuestiones previas al problema son sencillas (espero no haber metido la pata xD).
Como el radio es constante se reduce a
La aceleración queda:
Ecuaciones del movimiento, desvinculando tenemos la fuerza peso
y la fuerza de reacción vincular
La segunda ley de Newton queda
¿Existen integrales primeras?
De la tercera ecuación se observa claramente que la cantidad de movimiento la dirección z se conserva. En efecto el sumatorio de fuerzas es nulo en la dirección
Conocemos la cantidad de movimiento en el instante inicial:
Y por ser el vínculo liso y esclerónomo se conserva la energía mecánica, eligiendo el origen del potencial gravitatorio en x = 0:
Del instante inicial sacamos:
El problema tiene dos grados de libertad antes de separarse, theta y z, por lo qué en principio no necesitaríamos más integrales primeras. Ahora toca hallar las coordenadas en las que se separa la bola del cilindro. Esto ocurre cuando dejamos de tener reacción vincular:
Por lo que del sistema de ecuaciones del movimiento:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Usando las integrales primeras:
Y no sé por qué al llegar a ese resultado me asusté porque no se parecía al resultado que había obtenido en el caso plano de una bola que desliza por un círculo, así que volví a hacer desde cero el problema con miedo a haberme dejado algo por algún sitio (sigo sin saber si este resultado es correcto), pero volví a obtener lo mismo. Pero no supe continuar a partir de aquí, porque ahora para conocer la coordenada z debería de encontrar una expresión de z en función de theta o calcular cuanto tiempo transcurre hasta llegar a ese ángulo calculado... pero no conseguí nada.
Espero que me pongan un cinco jeje a ver si hay suerte. Bueno la cuestión es que no sé como seguir a ver si alguien es capaz de terminarlo, le he estado dando vueltas y no caigo... Me falta hallar la coordenada z y después el punto de impacto, que no es más que un cuerpo en caída libre, deberemos saber la velocidad que lleva en el instante en el que se despega.
En resumen, coordenada z? lo conocemos, y faltaría también por hallar . Sólo se me ocurre conseguir la ley horaria de theta, pero no se me ocurría como integrarla... quizá se me escape alguna otra integral primera que pueda llevarnos a una solución del problema. Bueno, suerte a quien lo intente, si consigo terminarlo subiré el resultado.
Saludos!
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