Otras carreras Examen: Primer parcial

[Aer]

Ayer tuve el primer parcial de física y no terminé de conseguir resolver el ejercicio. Resuelvo hasta donde llegué a ver si a alguien se le ocurre como terminarlo.

No parece muy complicado el ejercicio, su caso plano sí que lo sé resolver completamente, pero no sé este por qué no me terminó de salir. Bueno, al lío:

Tenemos un cilindro liso. Sobre él se coloca una bola de masa m, el peso va el la dirección negativa del eje x:

Describir su velocidad y aceleración en cilíndricas, escribir las ecuaciones del movimiento, ¿Existen integrales primeras?. Hallar en qué coordenadas se separa la partícula del cilindro si para t = 0 está en theta = 0 y con una velocidad $\vec v = wR(\vec u_{\theta}+ \vec v u_z$. Encontrar en qué punto del plano x=0 impacta.

Vale las cuestiones previas al problema son sencillas (espero no haber metido la pata xD).
$\vec v = \dot \rho \vec u_r + \rho \dot \theta \vec u_{\theta} + \dot z \vec u_z$
Como el radio es constante se reduce a
$\vec v = R\dot \theta \vec u_{\theta} + \dot z \vec u_z$
La aceleración queda:
$\vec a = -R\dot\theta^2 \vec u_r + R\ddot\theta \vec u_{\theta}+\ddot z\vec u_z$

Ecuaciones del movimiento, desvinculando tenemos la fuerza peso
$\vec P = -mg \cos \theta \vec u_r + mg\sin \theta \vec u_\theta$
y la fuerza de reacción vincular
$\vec \Phi = \Phi \vec u_r$

La segunda ley de Newton queda
$\left\{\begin{matrix}m(-R\dot\theta^2) = \Phi - mg\cos\theta \\<br /> m(R\ddot\theta)= mg\sin \theta\\<br /> m\ddot z = 0 <br /> \end{matrix}\right.<br />$

¿Existen integrales primeras?
De la tercera ecuación se observa claramente que la cantidad de movimiento la dirección z se conserva. En efecto el sumatorio de fuerzas es nulo en la dirección $\vec u_z$
Conocemos la cantidad de movimiento en el instante inicial:
$\vec v = wR\vec u_{\theta} + wR\vec u_z \rightarrow \dot z = wR$
$m\dot z = p_z (\text {cte}) = mwR$

Y por ser el vínculo liso y esclerónomo se conserva la energía mecánica, eligiendo el origen del potencial gravitatorio en x = 0:
$\displaystyle T + V= \frac{1}{2}m(\rho^2\dot \theta^2 + \dot z^2)+mgR\cos\theta = E(\text{cte})$
Del instante inicial sacamos:
$\displaystyle E= \frac{1}{2}m(w^2R^2 + w^2R^2)+ mgR = mw^2R^2+mgR$

El problema tiene dos grados de libertad antes de separarse, theta y z, por lo qué en principio no necesitaríamos más integrales primeras. Ahora toca hallar las coordenadas en las que se separa la bola del cilindro. Esto ocurre cuando dejamos de tener reacción vincular: $\Phi = 0$
Por lo que del sistema de ecuaciones del movimiento:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Usando las integrales primeras:

$\displaystyle \frac{1}{2}m(Rg\cos\theta + w^2R^2)+mg\cos\theta = mw^2R^2+mgR$

$\displaystyle \frac{3}{2}Rg\cos\theta = \frac{1}{2}w^2R^2 + gR$

$\displaystyle \theta = \arccos (\frac{w^2R}{3g} + \frac{2}{3})$

Y no sé por qué al llegar a ese resultado me asusté porque no se parecía al resultado que había obtenido en el caso plano de una bola que desliza por un círculo, así que volví a hacer desde cero el problema con miedo a haberme dejado algo por algún sitio (sigo sin saber si este resultado es correcto), pero volví a obtener lo mismo. Pero no supe continuar a partir de aquí, porque ahora para conocer la coordenada z debería de encontrar una expresión de z en función de theta o calcular cuanto tiempo transcurre hasta llegar a ese ángulo calculado... pero no conseguí nada.

Espero que me pongan un cinco jeje a ver si hay suerte. Bueno la cuestión es que no sé como seguir a ver si alguien es capaz de terminarlo, le he estado dando vueltas y no caigo... Me falta hallar la coordenada z y después el punto de impacto, que no es más que un cuerpo en caída libre, deberemos saber la velocidad que lleva en el instante en el que se despega.

En resumen, coordenada z? $\dot z$ lo conocemos, y faltaría también por hallar $\dot \theta$. Sólo se me ocurre conseguir la ley horaria de theta, pero no se me ocurría como integrarla... quizá se me escape alguna otra integral primera que pueda llevarnos a una solución del problema. Bueno, suerte a quien lo intente, si consigo terminarlo subiré el resultado.

Saludos!

[Breogan]

Re: Examen: Primer parcial

Hola:

Perdón, pero en coordenadas cilíndricas, r o como lo llamaste vos $\rho$ es la proyección del vector posición sobre el plano xy, y en este caso no es constante. Si fuera en coordenadas esféricas si el largo del vector posición seria constante. Hasta donde yo creo saber. Espera otra confirmacion.
Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Examen: Primer parcial

Hola Aer
Yo en esto también estoy aprendiendo, así que, por sí acaso, tampoco te fíes mucho...

En esta ecuación has cambiado $cos \theta$ por $\theta$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Puede ser eso?.
La integraciones que continúan al corregir esta substitución parecen fáciles
Suerte

- - - Actualizado - - -

Hola Breogan
Efectivamente que tienes razón que en coordenadas cilíndrícas [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la proyección del vector de posición sobre el plano xy.
Y, en el caso de este problema, si que es constante porque se trata de un cilindro.

[Breogan]

Re: Examen: Primer parcial

Hola:

Gracias Oscar, en realidad mi error fue no prestarle demasiada atención al dibujo, después de tu msj me percate de la orientación del SC que usaron. Eso me pasa por despistado. Un abrazo

Suerte

PD: ahora que lo vi la coordenada z no es cte e igual a cero en todo el movimiento?.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Examen: Primer parcial

ahora que lo vi la coordenada z no es cte e igual a cero en todo el movimiento?.

La coordenada z en este caso no es constante porque hay una velocidad inicial. Lo que si es constante es la componente z de la velocidad, pues no hay fuerza externa alguna aplicada en la dirección del eje OZ

[Aer]

Re: Examen: Primer parcial

En esta ecuación has cambiado por

Perdón fue un error de escritura puse \Cos en vez de \cos, y no salió en la formula, pero quería decir como has señalado el coseno. Lo edito. Pero aún así no sé como seguir, es decir hallar la coordenada z a la que se separa y la $\dot \theta$. Sigo sin ver como integrar, pues phi es una función del tiempo que desconocemos, luego ahí no podemos integrar si no hallamos antes una expresión de phi(t).

Saludos y gracias por aportar!

[Breogan]

Re: Examen: Primer parcial

Hola:

La coordenada z en este caso no es constante porque hay una velocidad inicial. Lo que si es constante es la componente z de la velocidad, pues no hay fuerza externa alguna aplicada en la dirección del eje OZ

Y dale con lo mismo... Disculpas, no le preste atención a la velocidad inicial en el enunciado.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Examen: Primer parcial

$\dst \ m(-R\dot\theta^2) = \Phi - mg\ cos\theta = - mg\ cos\theta$

Y por tanto como tienes tú:
$R\dot\theta^2=g\ cos\theta$ (2)

De la siguiente ecuación despejas $\ cos \theta$
$\displaystyle \frac{3}{2}Rg\cos\theta = \frac{1}{2}w^2R^2 + gR$ (3)

$\dst \cos \theta = \left(\frac{ \omega^2\ R}{3g } \ + \frac 2 3 \right)$ (4)

y lo sustituyes en la ecuación (2) anterior:
$\dst \ R\dot\theta^2=\ g \left(\frac{ \omega^2\ R}{3g } \ + \frac 2 3 \right)$

Despejas $\dot \theta$:
$\dst \dot \theta = \sqrt{\frac g R \left(\frac{\omega^2 \ R}{3 g} + \frac 2 3 \right)}$

Y esta es facilmente integrable....obteniendo $\theta$ en función del tiempo


(NOTA: Aquí, como bien anota Aer en el siguiente post, no se puede integrar, porque se trata de un valor fijo de la variable $\theta$. Habría que haber escrito mejor:

$\dst \dot \theta_1 = \sqrt{\frac g R \left(\frac{\omega^2 \ R}{3 g} + \frac 2 3 \right)}$

siendo $\theta_1$ el valor de la componente angular de la velocidad en el momento de despegarse del cilindro)


Suerte Aer

A propósito, alguien sabe como tachar un texto en LATEX en lugar de borrarlo???

[Aer]

Re: Examen: Primer parcial

mmm $R\dot\theta^2=g\ cos\theta$ es válido solo para el instante en que se separa la partícula pues hemos hecho phi cero, pero no para todo el tiempo, no? Luego ahí no podríamos integrar. Lo que sí es verdad que de ahí si se puede sacar $\dot \theta (t_s)$ siendo $t_s$ el instante en el que se separa, por lo que una cosa menos, solo quedaría hallar z.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Examen: Primer parcial

Tienes razón en que es para un momento concreto! Miré para las ecuaciones, no para el desarrollo. Y como no había subíndice alguno....
Y aprovecho para recomendarte (yo lo hago de esta forma para evitar despistes) que cuando se trate del valor fijo de una variable, utilices subíndices para destacar que se trata de un valor fijo....
Suerte

[Aer]

Re: Examen: Primer parcial

Ok, lo tendré en cuenta, la verdad que lleva al despiste.

[oscarmuinhos]

Re: Examen: Primer parcial

Hola de nuevo
Vamos a ver si ahora no hay despistes por medio:
Tenemos las siguientes ecuaciones del movimiento:
Ecuaciones segunda Ley de Newton:
$\dst \ R\dot \theta^2 = \ m\ g\ cos\theta \ - \phi$ (1)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (2)
$\dst \ddot z \ =\ 0$ Lo que implica: $\dst \dot z = \omega_0\ R$ (3)

Ecuación del principo de conservación de la energía:
$\dst \frac 1 2 \ (\ R^2\dot \theta^2 \ + \omega_0^2\ R^2\ ) \ + \ g \ R \ cos\theta \ = \omega_0^2 \ R^2\ + \ g \ R$ (4)

Como tienes la velocidad en el momento en que la partícula se despega del cilindro, queda conocer la coordenada. Esto se puede hacer, integrando la ecuación (2):
$\dst \ddot \theta\ = \frac g R \ sen \theta$
$\dst \frac{\ d\dot \theta}{dt } \ = \frac{\ d\dot \theta}{d \theta }\frac{d\theta}{dt } \ =\dot \theta \frac{\ d\dot \theta}{d \theta }$$\ = \dst \frac g R \ sen \theta$

Esta ecuación de variables separables es fácil de integrar, con lo que se tiene la coordenada $\theta$ en función de la velocidad. Y conociendo la velocidad $\dot \theta_1$ en el momento de despegar conoces la coordenada $\theta_1$:

$\dst\frac g R \ (\ 1\ - \ cos\theta \ ) \ =\frac 1 2 \left( \dot \theta^2\ -\omega_0^2\ R^2\right)$

Volviendo a integrar se tendría la coordenada $\theta$ en función del tiempo y (teoricamente) se podría calcular el tiempo, para con este tiempo calcular la coordenada z del momento en que la partícula abandona el cilindro.

ESPERO NO HABERME EQUIVOCADO....

[Aer]

Re: Examen: Primer parcial

Tiene buena pinta, no se me había ocurrido como integrar eso, pero eso tiene mucha pitna de ser una solución posible. Muchas gracias