1r ciclo Teorema de Gauss

[gdonoso94]

Hola, tengo una duda sobre cuándo aplicar el teorema de Gauss en planetas esféricos. El caso es que el planeta no tiene densidad constante, a partir de cierto radio el planeta tiene densidad variable. Para aplicar el teorema de Gauss y tomar el planeta como una masa puntual, ¿puedo aplicar el teorema a pesar de que tenga esta densidad variable?

Un saludo!

[pod]

Re: Teorema de Gauss

El teorema de Gauss es válido siempre, por eso es un teorema. Así que aplicarlo, puedes aplicarlo siempre.

Otra cosa distinta es que el teorema sea útil. Es útil cuando puedes calcular el flujo gravitatorio de forma sencilla. Recuerda que la aplicación del teorema de Gauss tiene dos partes: primero te inventas una superficie cerrada imaginaria, segundo calculas el flujo gravitatorio en esa superficie, tercero calculas la masa total que hay dentro de esa superficie y cuarto igualas los resultados de los puntos 2 y 3 (con las constantes apropiadas).

El punto delicado es sobre todo el segundo (el tercero también puede serlo, pero normalmente no tanto). Por supuesto, lo fácil que sea el segundo punto depende del primero, si te has podido imaginar una buena superficie, el cálculo será sencillo. En general, será posible/sencillo/útil si tienes un argumento de simetría que te permita encontrar una superficie a lo largo de la cual el campo gravitatorio sea constante y su orientación respecto de la superficie sea también constante (lo normal es que el campo sea perpendicular o paralelo a la superficie, en el primer caso el flujo es simplemente el producto de campo por superficie y en el segundo siempre es cero por las propiedades del producto escalar).

Ahora, yendo al ejemplo que propones, el teorema de Gauss será útil siempre que no se rompa la simetría esférica. Si tenemos simetría esférica, entonces el campo gravitatorio siempre es radial, y su valor depende únicamente de la distancia al centro. Eso quiere decir que si se cumplen esas propiedades y elegimos una superficie imaginaria esférica y concéntrica al planeta, entonces el campo siempre es perpendicular a la esfera imaginaria y además el valor del campo es constante. Por lo tanto, el flujo es fácil de calcular como el producto de superficie por campo: $4\pi r^2 g$.

En el caso de densidad variables, ¿cuando se mantiene o se rompe la simetría esférica? Pues depende de como varíe la densidad. Simetría esférica significa que "todo" depende únicamente de la distancia al centro. Si la densidad depende únicamente de la distancia al centro, entonces seguimos teniendo simetría esférica sin ningún problema, y el teorema de Gauss seguirá siendo útil, lo único que habrá que trabajar más para calcular la masa dentro de la superficie, $M(r) = 4\pi \int_0^r \!\!\dd r\ r^2 \rho(r)$.

Si la densidad depende no sólo de la distancia al centro, pero también de la orientación por ejemplo, entonces todo esto deja de ser verdad. El teorema sigue siendo aplicable, siempre lo es, pero ya no podemos calcular el flujo con un razonamiento de dos líneas como hasta ahora, con lo cual probablemente ya no sea útil aplicarlo.

[gdonoso94]

Re: Teorema de Gauss

Muchas gracias por la respuesta!