1r ciclo Gravitación con Tª de Gauss

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Supuesta la tierra esférica y homogénea, de radio R, hallar la distancia d de un punto a una superficie cilíndrica, tal que la intensidad de la gravedad sea la misma que la de otro punto situado a una altura h sobre la superficie de la tierra, dando el resultado en función de h y de R (radio del cilindro r=2R/3)

Estuve intentándolo con el teorema de Gauss: $\dst \oint _S \vec{g}\cdot \vec{n}\cdot dA=-4\pi G M$, pero no obtengo la solución del ejercicio. ¿Alguien me podría echar una mano? Gracias

Solución: $d=\dst \frac{2}{3} \left( \dst\frac{h^2}{R}+2h \right)$

[arivasm]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

¿Estás seguro de que el enunciado pone lo que has escrito? 1º: No hay información alguna sobre la masa y longitud del cilindro. 2º: Es extraño que la solución sea una ecuación implícita (h aparece a la izquierda -¿será d?- y a la derecha, y tal como está escrito h sería perfectamente "despejable").

[Pepealej]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

Perdona, me equivoqué en la solución. A la izquierda de la ecuación es d, no h.

El cilindro es de densidad uniforme igual a la de la tierra, y su longitud no es relevante.

[angel relativamente]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

Yo no termino de imaginarme la situación. ¿El cilindro es un cuerpo másico que crea un campo totalmente aislado del campo gravitatorio terrestre?

[Pepealej]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

¿El cilindro es un cuerpo másico que crea un campo totalmente aislado del campo gravitatorio terrestre?

Sí. El cilindro es un cuerpo aislado de densidad igual a la de la tierra. En otro apartado del problema te piden calcular el radio del cilindro para que la intensidad del campo gravitatorio en su superficie sea igual a la de la tierra en la suya (por eso lo de r=2R/3).

El problema pide encontrar a que distancia d sobre la superficie del cilindro donde la intensidad gravitatoria sea igual a la de la tierra a una altura h sobre su superficie.

¿Me explico?

[pod]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

Sí. El cilindro es un cuerpo aislado de densidad igual a la de la tierra. En otro apartado del problema te piden calcular el radio del cilindro para que la intensidad del campo gravitatorio en su superficie sea igual a la de la tierra en la suya (por eso lo de r=2R/3).

El problema pide encontrar a que distancia d sobre la superficie del cilindro donde la intensidad gravitatoria sea igual a la de la tierra a una altura h sobre su superficie.

¿Me explico?

¿Cómo has hecho la integral del lado derecho de Gauss?

[Bertu]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

AAAAAAHHHH!!
Estaba dándole vueltas pensando que la superficie gaussiana a integrar era el cilindro con la tierra dentro... jaja. Pero sí ya he encontrado la solución, la clave está en lo último que has dicho, que el cilindro tiene la misma densidad que la tierra por lo tanto:
$\rho_T=\rho_c$

$\frac{M_T}{V_T }=\frac{M_c}{V_c}$

Entonces llegamos a la siguiente conclusión:

$M_c=\frac{M_T \pi {(\frac{2}{ 3}R)}^{ 2} L}{ \frac{4}{3 }{R}^{ 3}}$

Simplificando
$M_c=\frac{M_T L}{ 3R}$

Entonces sabiendo esto podemos utilizar gauss. Para el primer caso a una distancia r del centro de la tierra obtenemos la mas que conocida ecuación:

$g=\frac{-G M}{ {r}^{2 }}$

Sustituyendo $r=R+h$ obtenemos:

$g=\frac{-GM}{{(h+R)}^{2 } }$

Para el cilindro macizo de masa $M_c=\frac{M_T L}{ 3R}$ Integramos la ecuación $\dst \oint _S \vec{g}\cdot \vec{n}\cdot dA=-4\pi G M_c$

Que nos proporciona la solución de (ya en función de un r cualquiera):
$g=\frac{-2GM}{ 3Rr}$

Igualamos, simplificamos y despejamos el r cualquiera por $r=d+\frac{2R}{ 3}$

$\frac{2[{R}^{ 2}+{h}^{2 }+2Rh]}{ 3R}=d+\frac{2R}{3 }$

$\frac{2}{3 }[R+\frac{{h}^{ 2}}{ R}+2h]-\frac{2R}{3 }=d$

Por lo tanto:
$d=\frac{2}{3 }[\frac{{h}^{ 2}}{R }+2h]$


Un saludo!!

[Pepealej]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

¿Cómo has utilizado el teorema de Gauss para obtener $g=\frac{-2GM}{ 3Rr}$?

Yo, considerando un cilindro de radio 2R/3+d y de densidad igual a la de la tierra obtengo $g=2 \pi G \rho (\frac{2R}{3}+d)$

[Bertu]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

Estas integrando mal, o eso creo...

Para llegar al resultado debes integrar de esta forma:

$\dst \oint _S \vec{g}\cdot \vec{n}\cdot dA=-4\pi G \frac{ML}{3R }$

Como suponemos que el punto que cogemos para conocer la intensidad de la gravedad es un punto fijo, en dicho punto la intensidad $\vec{g}$ será constante (sale fuera de la integral, además de una serie de simplificaciones). Por lo tanto solo te queda integrar el $dA$ y te quedará algo así:

$g A_c=-4\pi G \frac{M L}{3 R }$

Como sabemos que el área de un cilindro de radio $r$ es igual a $A_c=2 \pi r L$ sustituimos

$g2 \pi rL = -4 \pi G \frac{ML}{3R}$

Despejas g y te da el resultado mencionado.

Luego particularizas $r$ que es la distancia desde el centro del cilindro para tu caso, que es $r=\frac{2R}{ 3}+d$ y lo sustituyes.


Nota: La explicación de la integral no es rigurosa, de hecho , es de andar por casa. Mirate apuntes de cálculo para saber de forma correcta el por qué se llega a esas simplificaciones.

Un saludo!

[Pepealej]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

La integral la resolví bien, solo que en vez de sustituir la masa del cilindro por la expresión que indicaste, lo dejé en función de su densidad * su volumen. Si haces eso te queda otra expresión..

[arivasm]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

En el mensaje de Bertu encuentro un par de cosas que no comparto. La primera es el propio teorema de Gauss, que debería ser $\dst\oint\vec g\cdot\dd\vec S=\oint\vec g\cdot\vec n \dd S=-4\pi G m$, siendo m la masa encerrada por la Gaussiana.

La segunda es que como el campo gravitatorio está dirigido hacia el eje del cilindro(*) si se toma como gaussiana un cilindro concéntrico con el creador del campo se tendrá, en la superficie lateral, $\vec g\cdot\vec n=- g$, lo que evitará el módulo negativo para el campo, que no es coherente con el hecho de que los módulos de los vectores se definen como cantidades positivas.

Por tanto, el teorema tomará la forma $g 2 \pi (r+d) L = 4\pi G m=4\pi G \rho \pi r^2 L$ siendo $\rho$ la densidad del cilindro.

Entiendo que para resolver el ejercicio hay que substituir $r=\frac{2}{3}R$ y $\dst g=G \frac{M}{(R+h)^2}= G \frac{4}{3}\pi \rho \frac{R^3}{(R+h)^2}$.

(*)Entiendo que el ejercicio sólo tiene sentido si se dan dos condiciones: que $d<<r$ y que el punto considerado esté alejado de las "tapas" de la masa cilíndrica, de manera que no hay que tener en cuenta los efectos de borde que se darán cerca de esas caras. De no ser así, ni siquiera tiene sentido el enunciado, pues el campo no sólo dependerá de la distancia a la superficie del cilindro, sino también del lugar concreto considerado.

[Bertu]

Re: Gravitación con Tª de Gauss

Sí, es cierto. A lo primero que comentas, no fui nada riguroso ni en la integración ni en el teorema de Gauss simplemente lo copié del que él tenía y me limité a resolver el ejercicio aplicando ciertas simplificaciones (como los efectos de las tapas del cilindro) y llegar a la solución pedida.
Además, en el teorema de Gauss que escribo ya pongo la masa del cilindro que produce el campo que tiene el radio dado y utilizo Gauss para conocer el campo a una distancia r cualquiera, que creo que es lo mismo que comentas...

Pero bueno en todo caso tienes razón y pido disculpas .

Un saludo!