1r ciclo Momento angular e Impulso

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente problema que estoy intentando resolver pero creo que se me complica demasiado, y no estoy seguro de la respuesta que obtengo. Dice lo siguiente:

Calcular la relación entre la velocidad angular y la velocidad del centro de masas adquirida por una bola de billar que rueda sin deslizar en una mesa horizontal tras ser golpeada por una fuerza F durante un breve periodo de tiempo t, en función del parámetro de impacto x.

He puesto mi origen en el punto de contacto entre la bola y el suelo, pero me surgireron dudas cuando veo que el vector $\vec{r}$ ha de ser la distancia entre ese punto y el punto donde actúa la fuerza, y se me llena de trigonometría. ¿Alguien podría esbozar el procedimiento y así puedo comparar mis resultados? Gracias

(2) Estaría bien resolverlo ahora sin rozamiento en la mesa. ¿Cómo lo tendría que hacer?

[arivasm]

Re: Momento angular e Impulso

Usar la forma angular para el impulso. Es decir, del mismo modo que $\vec F_{res}\, \Delta t=\Delta \vec p=m\Delta\vec v$ (donde pongo el subíndice "res" para destacar que se trata de la resultante, que en este caso deberá incluir a la fuerza de rozamiento con el suelo), también tenemos que $\vec M\,\Delta t=\Delta\vec L=I\Delta\vec \omega$, y el momento resultante es $M=F(x-R)+F_rR$. Añade la condición de rodadura $v=R\omega$ y el ejercicio debería salir.

En definitiva, es una línea semejante a otros ejercicios: tienes tres incógnitas (fuerza de rozamiento, velocidad final y velocidad angular final), y tres ecuaciones (impulso, impulso angular y condición de rodadura).

Si no hay rozamiento entonces tendrás dos incógnitas (velocidad final y velocidad angular final), y sólo dos ecuaciones (pues sin rozamiento ya no habrá condición de rodadura).

Saludos!

[Pepealej]

Re: Momento angular e Impulso

¿La velocidad que adquiere la bola siemrpe es $\vec F_{res}\, \Delta t=\Delta \vec p=m\Delta\vec v$, independientemente de donde se aplica la fuerza? Quiero decir, si yo aplico la fuerza justo en el centro está claro que toda la energía se aplica en mover la bola linealmente, pero si no es así no toda la energía se invertirá en el momento lineal. ¿Seguro que esto se cumple así siempre?

[arivasm]

Re: Momento angular e Impulso

Sí, pero debes tener en cuenta que la resultante $\vec F_{res}$ depende de la fuerza de rozamiento, la cual depende de la altura a la que se aplica la fuerza del taco. Por tanto, la velocidad final sí es dependiente de la altura. Si no recuerdo mal (no tengo a mano los papeles en los que hice este ejercicio y también de mis antiguas experiencias con el billar) la velocidad máxima corresponde a que el taco golpee la parte superior de la bola.

Sobre el razonamiento que haces basado en energías, cuando dices "está claro que" en realidad no lo está. Ten en cuenta que no hay causa alguna por la que en ese lugar habrá transferencia completa de la energía mientras que en cualquier otro no (es decir, no hay pérdidas energéticas). Es más, como la energía cinética (que incluye un término traslacional y otro rotacional, aunque ambos están acoplados por la rodadura) dependerá del trabajo realizado y en éste entra en juego el desplazamiento sobre el cual se aplica la fuerza del taco, y como el ejercicio afirma que el tiempo de aplicación es fijo, sólo podemos concluir una tontería: el punto de aplicación que dé lugar a mayor velocidad será el que tendrá mayor desplazamiento de aplicación de la fuerza del taco, de manera que será el caso de mayor energía cinética.

Digamos que nos sucede como en tantos otros casos de la Mecánica: los razonamientos basados en energías no siempre nos resuelven los problemas, especialmente si intervienen tiempos o distancias transversales a las fuerzas aplicadas. Un ejemplo típico son los cálculos de tiro libre: las energías (aunque pueden ayudar) no bastan para determinar distancias en horizontal.

[Pepealej]

Re: Momento angular e Impulso

Vale, te endiendo. En el caso en el que o hay rozamiento, con las ecuaciones que me dijiste, obtuve:

$\dst \frac{\omega}{v}=\dst\frac{5(x-R)}{2R^2}$.

De ahí no obtengo que la velocidad del centro de masas máxima sea en la parte superior de la bola, si no en el centro. ¿Tú te referías a cuando hay rozamiento?

---Más---

De hecho, acabo de hacerlo con rozamiento, y me queda: $F_R=\dst\frac{F\left(1-\dst\frac{5(x-R)}{2R}\right)}{1+\frac{5}{2R}}$... que lío

(Es una esfera, por lo que $I=\frac{2MR^2}{5}$)

[arivasm]

Re: Momento angular e Impulso

Si no hay rozamiento, la bola no rodará (la velocidad y la velocidad angular no estarán acopladas), de manera que $F\Delta t=m\Delta v=m v_f$ y $F (x-R)\Delta t=\frac{2}{5}mR^2\Delta \omega=\frac{2}{5}mR^2\omega_f$ (suponiendo en ambas expresiones que la bola parte del reposo). De aquí podemos sacar los valores finales. La respuesta que se pide para el ejercicio la tenemos dividiendo ambas ecuaciones: $\dst \frac{v_f}{\omega_f}=\frac{2}{5}\,\frac{R^2}{x-R}$.

Por cierto, la velocidad final no dependerá de x, será $F\Delta t/m$.

Si hay rozamiento ambas velocidades están acopladas, de modo que la respuesta es $\dst\frac{v_f}{\omega_f}=R$.

Por cierto, las ecuaciones serán, tomando para la fuerza de rozamiento sentido opuesto al de la fuerza aplicada,

$(F-F_r)\Delta t=m\Delta v=m v_f$
$[F(x-R)+F_r R]\Delta t=\frac{2}{5}mR^2\Delta \omega=\frac{2}{5}mR\Delta v=\frac{2}{5}Rm v_f$

Para encontrar la fuerza de rozamiento podemos substituir la primera ecuación en la segunda:

$[F(x-R)+F_r R]\Delta t=\frac{2}{5}R(F-F_r)\Delta t$

de manera que

$\dst F_r=\frac{7R-5x}{7R}F=\left(1-\frac{5}{7}\,\frac{x}{R}\right)F$

Por cierto, si despejamos la velocidad final, el resultado es (si no me he equivocado, por supuesto)

$\dst v_f=\frac{5}{7}\,\frac{x}{R}\,\frac{F}{m}\Delta t$

de manera que será máxima si $x=2R$.

[Pepealej]

Re: Momento angular e Impulso

Muchísimas gracias ya lo veo todo claro