1r ciclo Problema de gravitación

[gdonoso94]

Hola, tengo este problema de [FONT=lucida sans unicode][/FONT]gravitación que no sé resolver:

[FONT=lucida sans unicode] Determinen la distancia entre dos estrellas lejanas cuyas masas suman 4 veces la masa del Sol, y que se mueven alrededor de su centro de masa, bajo la acción de la fuerza gravitacional entre ellas, en órbitas circulares con periodo de 6 años. Consideren que la masa de la Tierra es despreciable en comparación con la del Sol, que la distancia promedio Tierra-Sol es de 149,6x106 km y que el periodo de revolución es 1 año. [/FONT]



Alguien puede echarme una mano? Adjunto la foto, si no se ve o se ve mal decídmelo y me pongo a investigar otra forma de subirla.
Un saludo!

[pod]

Re: Problema de gravitación

¿Sabes lo que es la masa reducida? Lo digo porque si ya has estudiado ese concepto, entonces se simplifica el problema. Pero si no has dado el concepto, entonces se supone que tienes que hacerlo de la forma larga.

[gdonoso94]

Re: Problema de gravitación

Si me defines brevemente qué es la masa reducida te puedo decir si sí o si no, pero no me suena. De todas maneras si me puedes explicar cómo hacerlo de las dos formas... Me vendría genial.

[pod]

Re: Problema de gravitación

La masa reducida permite tratar el problema de dos cuerpos como si fuera un sólo cuerpo equivalente con una masa diferente (la masa reducida). En este caso, sería el problema de una estrella orbitando al rededor de la otra. ¿Ese problema sabrías hacerlo?

[gdonoso94]

Re: Problema de gravitación

Probablemente, pero no he dado en clase lo de la masa reducida. Dime cómo sería el planteamiento y lo resuelvo así, y si puedes ponerme el planteamiento sin masa reducida te lo agradecería.

[pod]

Re: Problema de gravitación

El planteamiento es básicamente aplicar la segunda ley de Newton. La fuerza seria igual a la de toda la vida (sin masa reducida). La aceleración sería la centrípeta, que permite relacionar el radio de la órbita con el periodo de rotación, $a = v^2 / r = (2\pi r/T)^2 / r = 4\pi^2 r / T^2$. La masa que multiplica esa aceleración es la reducida, $1/m_r = 1/m_1 + 1/m_2$. Júntalo todo y aísla la distancia.

Sin la masa reducida, tienes que plantear la ley de Newton para cada estrella. Vista desde una estrella (es decir, tomandola como fija), la otra da vueltas a su al rededor. Por lo tanto, en este caso lo que es igual a la aceleración centrípeta es la aceleración relativa. Por lo tanto, tendrías que coger las leyes de Newton, aislar las aceleraciones de cada estrella y restarlas. Esa resta será, como hemos dicho, igual a la aceleración centrípeta.

En ambos casos, como no sabes la masa de las estrellas (sólo la sabes en relación al sol), lo que tienes que hacer es plantear exactamente las mismas ecuaciones para el sol. Eso te dará una relación entre el radio de la órbita terrestre y su periodo (1 año). Dividiendo esta relación y la que habrás obtenido para las estrellas, podrás escribir la distancia buscada en términos comparativos con la órbita terrestre. Verás como la masa del sol se cancelará.

[gdonoso94]

Re: Problema de gravitación

Lo he hecho con la masa reducida y me ha salido. Es aplicable a todo tipo de sistemas?

Un saludo.

[pod]

Re: Problema de gravitación

Lo he hecho con la masa reducida y me ha salido. Es aplicable a todo tipo de sistemas?

Un saludo.

Sólo al problema de dos cuerpos. Pero no tiene porqué ser con fuerza gravitatoria, funciona con cualquier fuerza.

De hecho, el procedimiento del segundo párrafo del mensaje anterior es básicamente la deducción de la masa reducida:

$$\left.<br /> \begin{aligned}<br /> F_{12} & = m_2 a_2 \\<br /> F_{21} & = m_1 a_1 <br /> \end{aligned}<br /> \right\}<br /> \Longrightarrow<br /> \left.<br /> \begin{aligned}<br /> a_2 & = F_{12}/m_2 \\<br /> a_1 & = F_{21}/m_1 <br /> \end{aligned}<br /> \right\} <br /> \Longrightarrow<br /> a_\text{rel} = a_2 - a_1 = F_{12} \left( \frac1{m_2} + \frac1{m_1} \right) = \frac{F_{12}}{m_r} .$$

Donde sólo he usado que, por el tercer principio de Newton, $F_{12} = - F_{21}$.

Nota: Ahí todo son vectores (menos las masas), pero estaba vago como para poner flechitas o negrita.

[gdonoso94]

Re: Problema de gravitación

Muchas gracias! ya lo entendí!

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Continúo este hilo con otra pregunta: Qué tiene que ver que un objeto se lance en una dirección u en otra desde el ecuador? Apartado d) del problema:



¿Cómo se resolvería?