Secundaria Oscilaciones con par motor

[luiseduardo]

Hola,
Soy nuevo aquí en el foro y no saben mucho español (Soy Brasileño). He estado buscando en el Internet en algún foro que podría encontrar una buena ayuda para algunas preguntas difíciles.

"La polea de un radio R y masa despreciable, se fija una barra de longitud L (masa despreciable) con una masa m en el extremo. Hay un alambre envuelto alrededor de la polea que tiene una masa M en el extremo libre (véase la figura). Determinación del período de las oscilaciones."



No soy capaz de visualizar correctamente la resolución. Creo que la idea es utilizar el par motor, pero no puedo resolverlo.

[arivasm]

Re: Oscilaciones con par motor

En primer lugar, imagino que el alambre está unido de manera rígida a la polea, pues de lo contrario tendríamos un humilde péndulo simple.

Como bien dices, se trata de manejar los momentos de las fuerzas que actúan sobre el sistema polea-barra.

Tomando como sentido de giro positivo el antihorario (es decir, tomando los ángulos $\alpha$ positivos como está en el dibujo), el momento resultante sobre la polea será $Tr-mgl\sin\alpha$, siendo T la tensión del hilo unido a M. Aplicando el principio fundamental de la dinámica de rotación tenemos que $Tr-mgl\sin\alpha=I\ddot\alpha$, donde el momento de inercia será $I=ml^2$.

Por supuesto, el comportamiento armónico lo tendremos para oscilaciones de pequeña amplitud, tales que $\sin\theta\approx\theta$, con lo que

$$Tr-mgl\alpha\approx m l^2\ddot\alpha$$

Por otra parte, del principio fundamental de la dinámica aplicado a M, y teniendo en cuenta que el sentido positivo de $\alpha$ se corresponde con que M descienda, tienes que

$$Mg-T=Ma=Mr\ddot\alpha$$

Por supuesto, debemos combinar ambas expresiones:

$$Mgr-mgl\alpha\approx(Mr^2+ml^2)\ddot\alpha$$

Para que puedas encontrar el comportamiento de oscilador armónico, de manera que

$$\ddot\theta=-\omega^2\theta$$

simplemente tendrás que hacer un cambio de variable, de $\alpha$ a una $\theta$. Te bastará con que hagas(*)

$$\theta=a+b\alpha$$

y compares (4) con (5). No debería resultarte difícil concluir que la solución es

$$\dst\tau=2\pi\sqrt{\frac{Mr^2+ml^2}{mgl}}$$

Por supuesto, si no me he equivocado!

Saúdos!

(*) En realidad es $b=1$, pues el sentido de este cambio de variable es tener en cuenta que el punto de equilibrio no se corresponderá con $\alpha=0$, sino con $\alpha=-a$. La razón por la que te propongo ese cambio de variable es porque es más general (y entonces aplicable a otros problemas) que si ponemos directamente $\theta=a+\alpha$.

[luiseduardo]

Re: Oscilaciones con par motor

Explicación Perfect! Enhorabuena y gracias.