Secundaria Duda conceptual: fuerza centrípeta

[Trantidon]

Hola a todos, me gustaría que me ayudaseis a aclarar una simple duda en relación a la fuerza centrípeta:

Me he planteado un problema que consiste en lo siguiente (imagen): un plano inclinado en el cual hay una masa m apoyada, en condiciones normales y sin rozamiento esta caería por el plano, pero si lo hacemos girar como se indica en la imagen, creo que habría un punto donde la componente x de la fuerza normal, sería igual a la fuerza centrípeta necesaria para que rotara en torno al eje y dejara de caer.

Mis cálculos son los siguientes:
la fuerza normal: $mg*\cos\theta$
la componente x de la fuerza normal: $mg\cos\theta\sin\theta$
fuerza centrípeta: $m\omega R$

Al igualar la fuerza centrípeta a la componente x de la normal, creo que encontraría el valor de radio (horizontal, eje x) para el cual dejaría de caer. Sin embargo esto no lo tengo muy claro ya que no soy capaz de dibujar el diagrama de fuerzas correcto, consigo cancelar digamos la fuerza en el eje x pero me queda una componente y, mg - la componente y de la normal. Agradecería mucho si alguien pudiera decirme si mi razonamiento es correcto o no, y también si pudiera indicarme como sería el diagrama de fuerzas. Muchas gracias a cualquiera que conteste.

[arivasm]

Re: Duda conceptual: fuerza centrípeta

El diagrama de fuerzas es como lo has dibujado. Lo que no es correcta es la aplicación de la 2ª ley.

Si la partícula describe un movimiento circular, el peso se anulará con la componente vertical de la normal, luego $F_N\cos\theta=mg$, esto es, $F_N=mg/\cos\theta$. Como la resultante será la componente horizontal de la normal, $mR\omega^2=F_N\sin\theta=mg\tan\theta$

Yo suelo decirle a mis alumnos que la guía que suele funcionar mejor para descomponer las fuerzas es la misma que usamos con la aceleración. Es decir, responder a estas preguntas: ¿qué movimiento tiene la partícula?; identificar entonces las direcciones tangencial y centrípeta (y entonces, implícitamente, también la perpendicular a ambas); con la primera aplicar la 2ª ley para tener $ma_t$ y con la segunda $ma_c$.

Por ejemplo, en este caso tenemos una circunferencia horizontal: la componente centrípeta de la aceleración (y entonces de las fuerzas que contribuyen a la misma) es horizontal; la tangencial es perpendicular al papel (de donde concluimos que será $a_t=0$ y entonces que el movimiento necesariamente será circular uniforme). A la vista de eso queda claro que la descomposición que has hecho es correcta, y que el peso y la componente vertical de la normal se anularán entre sí.

Terminaré aclarando que si tratas de hacer la experiencia (bastará una canica en un embudo) te resultará bastante difícil conseguir que el movimiento ocurra en un plano horizontal. El motivo es simple: el análisis anterior corresponde a sólo una de las muchas posibilidades. Nada impide que la trayectoria sea otra (por ejemplo, una elipse ladeada), en cuyo caso la descomposición habría que hacerla de otra manera, bastante más complicada que la anterior.

[Trantidon]

Re: Duda conceptual: fuerza centrípeta

Hola, en primer lugar muchas gracias por responder pero aun tengo una pequeña duda: entiendo que la fuerza normal tenga esa expresión, ya que de otro modo no se cumpliría la premisa del problema, pero lo que no entiendo es lo siguiente. ¿No se supone que la fuerza normal debe tener modulo igual al peso? Si el plano no estuviera rotando, la bola caería en ausencia de las fuerzas de rozamiento, ¿por qué en este caso no? ¿como se sabe que la bola no va a caer? según tengo entendido la fuerza normal es igual a la fuerza que el cuerpo hace sobre la superficie, ¿cuales serían estas fuerzas? Muchas gracias por contestar.

[arivasm]

Re: Duda conceptual: fuerza centrípeta

¿No se supone que la fuerza normal debe tener modulo igual al peso?

No, eso no es cierto. ¿Por qué crees que habría de ser así?

Si el plano no estuviera rotando, la bola caería en ausencia de las fuerzas de rozamiento

Tampoco es cierto. De nuevo, ¿por qué crees eso?

¿por qué en este caso no? ¿como se sabe que la bola no va a caer?

Por la 2ª ley de Newton

según tengo entendido la fuerza normal es igual a la fuerza que el cuerpo hace sobre la superficie

Eso es cierto, en módulo, por la ley de acción y reacción. En rigor, la normal es la fuerza (o al menos una componente) que la superficie ejerce sobre el cuerpo.