Solución de oscilador armonico

[Breogan]

Re: Solución de oscilador armonico

Hola:

Como dijo Beto, en mi post anterior hice una pequeña trampa y para hallar la solución partí de otra base del espacio solución.

Bueno no se si me voy a meter en camisa de once varas, lo que diga esta sujeto a confirmación, ya que no conozco profundamente el tema.

Las soluciones de la ED forman un espacio.
Dicho espacio (que incluye todas las funciones que son solución de la ED dada) tiene distintas bases.
Con las distintas combinaciones lineales de las funciones de cada una de las bases obtenemos la totalidad de las funciones del espacio solución.
Si hallas la solución expresada con funciones de una base la misma función la podes expresar con funciones de otra base haciendo un cambio de base.

En este caso particular yo use la base $(cos \omega t , sen \omega t)$, y el resultado fue:

$y(t)= \lambda_1 cos \omega t + \lambda_2 sen \omega t$

como queremos que y(t) sea real yo use $\lambda_1 \ y \ \lambda_2 \quad \in \ \Re$, y se llega al resultado:

$y(t)=\lambda\ cos (\omega t - \phi)$



Vos usaste la base $\dst (\ee^{i \omega t} , \ee^{- i \omega t})$, y el resultado es:

$y(t)= \lambda_1 \ee^{i \omega t} + \lambda_2 \ee^{- i \omega t}$

y llegas al resultado:

$\dst y(t)= (\lambda_1 + \lambda_2) cos(\omega t) + (\lambda_1 - \lambda_2) i sen(\omega t)$

ahora para que y(t) sea real debe ser:

$Si \quad \lambda_1\ y \ \lambda_2 \quad \in \quad \Re \quad \Rightarrow \quad \lambda_1=\lambda_2= \lambda$

y la solución queda:

$\dst y(t)= 2 \lambda cos (\omega t)$

pero:

$Si \quad \lambda_1\ y \ \lambda_2 \quad \in \quad \Im \quad podemos \ hacer \quad \lambda_1=\lambda_2^*$ para que y(t) sea real, esta ultima elección incluye a la anterior (cuando $\lambda_1 \ y \ \lambda_2$ pertenecían a los reales), y es de índole mas general.

y resulta:

$\lambda_1-\lambda_2=\lambda_1-\lambda_1^*=2 Im[\lambda_1]\ i$

$\lambda_1+\lambda_2=\lambda_1+\lambda_1^*=2 Re[\lambda_1]$

por lo cual la ecuación queda:

$\dst y(t)= 2 Re[\lambda_1] cos(\omega t) - 2 Im[ \lambda_1) sen(\omega t)$

y de esta ultima se llega al mismo resultado.

Disculpa que me enrede bastante, pero te vuelvo a reiterar que no es un tema que domine.

s.e.u.o.

Suerte

[Elkin]

Re: Solución de oscilador armonico

Hola:

Como dijo Beto, en mi post anterior hice una pequeña trampa y para hallar la solución partí de otra base del espacio solución.

Bueno no se si me voy a meter en camisa de once varas, lo que diga esta sujeto a confirmación, ya que no conozco profundamente el tema.

Las soluciones de la ED forman un espacio.
Dicho espacio (que incluye todas las funciones que son solución de la ED dada) tiene distintas bases.
Con las distintas combinaciones lineales de las funciones de cada una de las bases obtenemos la totalidad de las funciones del espacio solución.
Si hallas la solución expresada con funciones de una base la misma función la podes expresar con funciones de otra base haciendo un cambio de base.

En este caso particular yo use la base $(cos \omega t , sen \omega t)$, y el resultado fue:

$y(t)= \lambda_1 cos \omega t + \lambda_2 sen \omega t$

como queremos que y(t) sea real yo use $\lambda_1 \ y \ \lambda_2 \quad \in \ \Re$, y se llega al resultado:

$y(t)=\lambda\ cos (\omega t - \phi)$



Vos usaste la base $\dst (\ee^{i \omega t} , \ee^{- i \omega t})$, y el resultado es:

$y(t)= \lambda_1 \ee^{i \omega t} + \lambda_2 \ee^{- i \omega t}$

y llegas al resultado:

$\dst y(t)= (\lambda_1 + \lambda_2) cos(\omega t) + (\lambda_1 - \lambda_2) i sen(\omega t)$

Hola yo estoy de acuerdo siempre que acotes que esto no es válido para cualquier ED en general sino para el reducido conjunto de ED lineales y homogéneas.

saludos

[felmon38]

Re: Solución de oscilador armonico

Juantv, da igual las constantes que tomes, su valor dependerá de dos condiciones, p.e., las condiciones iniciales.

[Breogan]

Re: Solución de oscilador armonico

Hola:

Hola yo estoy de acuerdo siempre que acotes que esto no es válido para cualquier ED en general sino para el reducido conjunto de ED lineales y homogéneas.

Disculpas, no se me ocurrió en ningún momento aclarar esto.

Suerte