1r ciclo Velocidad angular/ ecuación

[Clarck Luis]

Hola con todos, revisando los hilos de la web referidos al tema de velocidad angular me he topado con esta ecuación:
$\vec{\omega}=\vec{r}\times\vec{v}$
Yo tenia entendido que la velocidad angular es la razon del desplazamiento angular en un intervalo de tiempo:
$\omega=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t }$
Quisiera que me explicaran de donde surge la primera ecuacion que señale, yo supongo que ahi se esta haciendo un producto vectorial entre el radio vector y la velocidad tangencial, pero no entiendo el porque. Gracias de antemano.

[pod]

Re: Velocidad angular/ ecuación

Tu primera ecuación está mal. Es $\vec \omega = \frac1{r^2} \vec r \times \vec v$. Puedes ver que debe ser así por simple análisis dimensional.

Toda rotación ocurre en un plano (2-D). La notación por la que preguntas se aprovecha de algo que sólo ocurre en el mundo tridimensional: todo plano tiene un vector tangente. Eso nos permite escribir la velocidad angular como si fuera un vector: el módulo es la velocidad angular de toda la vida (la que pones tú en en la segunda ecuación), y la dirección es la perpendicular al plano donde ocurre la rotación. El sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

Luego, esto lo que hace es aprovecharse de las propiedades del producto escalar de dos vectores, que siempre es perpendicular a ambos vectores. $\vec r$ es el vector que une el centro de rotación con la partícula (a menudo llamado radio-vector), y $\vec v$ es el vector que indica la dirección actual del movimiento. Luego, ambos vectores definen el plano de rotación, y por lo tanto la velocidad angular (vector) debe ser perpendicular a ambos.

Más en general, todas las variables angulares que tienen un equivalente lineal pueden relacionarse con el producto vectorial con el radio vector. Por ejemplo, $\vec a = \vec r \times\vec\alpha$.

[Clarck Luis]

Re: Velocidad angular/ ecuación

Hola Pod gracias por tu respuestas, ahora si lo tengo mas claro. Mi duda fundamental era sobre la primera ecuacion , y al final resulto que estaba mal escrita. Esa ecuacion la vi en un post antiguo que estuve leyendo, nose si es de importancia pero seria bueno si pudieras corregirla, esta escrita en el segundo comentario que tu escribiste, de este post http://forum.lawebdefisica.com/threa...a+mano+derecha. Gracias denuevo.

[pod]

Re: Velocidad angular/ ecuación

Hola Pod gracias por tu respuestas, ahora si lo tengo mas claro. Mi duda fundamental era sobre la primera ecuacion , y al final resulto que estaba mal escrita. Esa ecuacion la vi en un post antiguo que estuve leyendo, nose si es de importancia pero seria bueno si pudieras corregirla, esta escrita en el segundo comentario que tu escribiste, de este post http://forum.lawebdefisica.com/threa...a+mano+derecha. Gracias denuevo.

My bad. Obviamente la fórmula que escribí en su día está mal dimensionalmente, pero no es por el orden de los factores. Faltaba un factor $1/r^2$.

La fórmula correcta es

$$\boxed{\vec\omega = \dfrac{ \vec r \times \vec v}{r^2} .}$$

La forma de justificarlo: de la definición, el módulo de la velocidad angular debe ser la derivada del ángulo, y su dirección la del eje de rotación,

$$\vec\omega = \frac{\dd\theta}{\dd t} \hat \omega = \omega\ \hat\omega.$$

Donde el uso del acento circunflejo en vez de la flecha indica vector unitario, y los símbolos sin flecha ni acento circunflejo son escalares (el módulo del vector). Luego, como sabemos del caso bidimensional, si la velocidad (lineal) es perpendicular al radio vector, entonces tenemos $\omega =v/r$. En general, si la velocidad no es perpendicular al radio vector, lo que tenemos que poner es la velocidad perpendicular, $\omega = v_\perp/r$. Luego, tenemos

$$\vec\omega = \frac{v_\perp}{r}\ \hat \omega .$$

Luego, podemos utilizar las propiedades del producto escalar para reescribir todo esto. En primer lugar, el producto vectorial selecciona las componentes perpendiculares de los vectores, con lo cual $v_\perp = | \vec v \times \hat r |$. En segundo lugar, el producto vectorial es perpendicular a ambos vectores (con el sentido dado por la regla de la mano derecha); y sabemos que la velocidad angular debe ser perpendicular a velocidad y al radio vector, así que $\hat\omega = \widehat{\hat r \times \vec v}$. Es decir,

$$\vec\omega = \dfrac{| \vec v \times \hat r |}{r} \widehat{\hat r \times \vec v} = \dfrac{\hat r \times \vec v}{r} .$$

Por último, si tenemos en cuenta que $\hat r = \vec r / r$, obtenemos la ecuación que indiqué anteriormente.

Si te fijas, si nos tuviéramos que fiar de la ecuación que puse en mi fatídico post del otro día, entonces la velocidad (lineal) sería siempre perpendicular al radio. Lo cual equivaldría a decir que no puede existir la velocidad radial, una soberana estupidez.

[Clarck Luis]

Re: Velocidad angular/ ecuación

Gracias por la respuesta Pod, nunca habia visto esa demostración . Ahora si despejaste totalmente mis dudas.