1r ciclo Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

[Clarck Luis]

Hola con todos, leyendo sobre dinamica rotacional me he topado con una demostracion sobre la energia que lleva un cuerpo rigido cuando rota y se traslada al mismo tiempo, hay una parte de la demostracion que no entiendo bien, aqui esta el resumen a ver si me ayudan a entender:

Sabiendo que:
$m$= masa de una particula
$\vec{{V}_{cm}}$ = velocidad del centro de masa respecto a un sistema inercial
$\vec{{V}_{i}}$ = Velocidad de la particula relativa al centro de masa

Entonces la velocidad total de la particula seria la suma vectorial de $\vec{{V}_{cm}}$+$\vec{{V}_{i}}$, reemplazando en la definicion de energia cinetica y operando (operando el binomio al cuadrado, aplicando sumatoria para todas las particulas, y acomodando) al final nos quedaria:

$K= \frac{1}{2}(\sum{m}_{i}){{V}_{cm}}^{2}+\vec{{V}_{cm}}.(\sum{m}_{i}\vec{{V}_{i}})+\frac{1}{2 }(\sum{m}_{i}{{V}_{i}}^{ 2})$

La parte que no entiendo, es cuando me dicen que el segundo termino es "0". Yo puedo notar que lo que esta en la sumatoria es el momento lineal de todo el cuerpo, y ¿porque este es "0"?
Otra cosa que me intriga y no habia tomado en cuenta es que:
Si tuvieramos un cuerpo simplemente girando sobre un eje fijo, ¿su momento lineal es "0" con respecto a un sistema inercial? ó ¿su momento lineal es "0" con respecto al eje de rotación? y porque?
Gracias de antemano.

[visitante20160513]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Nota que en esa expresión las velocidades $\vec V_i$ son las velocidades relativas de cada partícula respecto al centro de masa del sólido, y un solido rígido no puede tener momento lineal respecto de su centro de masa porque el sólido y su centro de masas deben viajar juntos, allí donde vaya uno debe ir el otro, luego:

$\displaystyle\sum m_i\vec V_i=0$

¿pillas?

Salu2

[ZYpp]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Nota que en esa expresión las velocidades $\vec V_i$ son las velocidades relativas de cada partícula respecto al centro de masa del sólido, y un solido rígido no puede tener momento lineal respecto de su centro de masa porque el sólido y su centro de masas deben viajar juntos, allí donde vaya uno debe ir el otro, luego:

$\displaystyle\sum m_i\vec V_i=0$

¿pillas?

Salu2

Eso es incorrecto, o más bien incompleto. El sistema de referencia del que se habla tiene por origen el centro de masas, pero no el sólido rígido, por tanto existe velocidad de las partículas respecto al centro de masas.
La idea reside en la "geometría" del sólido: en este término de la energía cinética entra en juego el momento estático de primer orden, que en efecto es nulo por estar referido al centro de masas, mientras que en el término de la energía cinética de rotación, por ejemplo, entra en juego el momento estático de segundo roden (momento de inercia). Escrito matemáticamente...

El término, escrito debidamente, sería

$$\sum _{i}m_i \vec v_{CM} \cdot \vec v_i$$

que si recordamos la distribución de velocidades de un sólido rígido respecto de un punto fijo (el centro de masas), $\vec v_i = \vec \omega \times \vec r_i$ se transforma en

$$\sum _{i}m_i \vec v_{CM} \cdot \left( \vec \omega \times \vec r_i \right) = \left( \vec v_{CM} \times \omega \right) \cdot \sum m_i \vec r_i$$

Y esto último sí es cero ya que, por definición de centro de masas, éste es el punto que cumple que $\sum m_i \vec r_i = \vec 0$.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Estás seguro, yo no lo veo ni incorrecto ni incompleto. ¿Puedes citar un caso en el que dicha expresión, para un sólido rígido, no sea nula?

Afirmas que mi razonamiento es incorrecto o incompleto, y argumentas con otro razonamiento distinto al que yo propuse, pero no dices donde falla el mío. Me parece que no es correcto hacer eso, si consideras que mi razonamiento es incompleto o incorrecto lo justo es que nos indiques porqué, ¿donde falla mi razonamiento? Si efectivamente existe una resultante del momento cinético del sólido respecto de su centro de masas es porque éste se aleja (o se acerca) de su centro de masas, y solo me falta que me digas que hay sólidos rígidos que debido a su movimiento pueden alejarse de su centro de masa, "osa, que el sólido se va pa Antequera y su centro de masas pa Aranjuez. ¡Ahora sí que mas matao!"

[ZYpp]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Estás seguro, yo no lo veo ni incorrecto ni incompleto. ¿Puedes citar un caso en el que dicha expresión, para un sólido rígido, no sea nula?

Afirmas que mi razonamiento es incorrecto o incompleto, y argumentas con otro razonamiento distinto al que yo propuse, pero no dices donde falla el mío. Me parece que no es correcto hacer eso, si consideras que mi razonamiento es incompleto o incorrecto lo justo es que nos indiques porqué, ¿donde falla mi razonamiento? Si efectivamente existe una resultante del momento cinético del sólido respecto de su centro de masas es porque este se aleja de su centro de masas indefinidamente, y no me digas que hay sólidos rígidos que debido a su movimiento pueden alejarse de su centro de masa. ¡Ahora sí que mas matao!

Creo que he explicado correctamente la "incompletitud" de tu razonamiento. Precisamente consiste en demostrar por qué, según tú, $\sum _i m_i \vec v _i = \vec 0$, cuando a priori no es trivial. No es trivial porque las velocidades no son nulas, y la suma de todas ellas tampoco tiene por qué serlo. Es el producto entero el que es nulo porque viene dado por el momento estático de primer orden, que en efecto es nulo.

Este producto es nulo en cualquier sólido rígido, referido al centro de masas. Sin embargo el momento cinético del sólido respecto al centro de masas, por lo general, no es nulo (siempre que exista rotación es distinto del vector nulo). Mucho menos, que el momento cinético respecto del centro de masas no sea nulo no significa que el sólido se "aleje" (dilate) indefinidamente: No hay más que comprobar que la velocidad de cualquier punto del sólido que no pertenezca al eje instantáneo de rotación es distinta de cero y perpendicular al radio que la une al eje.

Respecto a que existan sólidos rígidos que puedan alejarse de su centro de masas, nunca he dicho tal cosa.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Pero no puedes invalidar mi razonamiento, porque sencillamente es correcto y completo. No es lo mismo la afirmación que yo hago, es decir que:

(1) $\sum _i m_i \vec v _i = \vec 0$

a la que haces tú:

(2) $\sum _{i}m_i \vec v_{CM} \cdot \vec v_i=0$

Son pruebas distintas y conclusiones distintas, y debes reconocer que la mía es correcta o deberías explicar porqué no lo es, cosa que hasta ahora no has hecho. Me bastaría tan solo un ejemplo de un sólido rígido en movimiento que no cumpliera la ecuación que yo demostré, la (1) para darte la razón, pero no voy a dártela porque no encontrarás ningún ejemplo.

[ZYpp]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Pero no puedes invalidar mi razonamiento, porque sencillamente es correcto y completo. No es lo mismo la afirmación que yo hago, es decir que:

(1) $\sum _i m_i \vec v _i = \vec 0$

a la que haces tú:

(2) $\sum _{i}m_i \vec v_{CM} \cdot \vec v_i=0$

Son pruebas distintas y conclusiones distintas, y debes reconocer que la mía es correcta o deberías explicar porqué no lo es, cosa que hasta ahora no has hecho. Me bastaría tan solo un ejemplo de un sólido rígido en movimiento que no cumpliera la ecuación que yo demostré, la (1) para darte la razón, pero no voy a dártela porque no encontrarás ningún ejemplo.

Al ser la suma en "i", puede sacarse factor común a $\vec v _{CM}$ y mi afirmación queda reducida a la tuya. Son completamente equivalentes.

En efecto, no encontraré ningún caso en que un sólido rígido no cumpla eso, ¿pero por qué? La explicación es lo que te ha faltado, y eso he completado yo. Cuando alguien pregunta "¿por qué ocurre tal cosa?" normalmente la explicación ha de poder reducirse a leyes irreductibles que conocemos (por ejemplo leyes de Newton) o definiciones (por ejemplo centro de masas). También podría darse el caso de que la explicación se reduzca a algo ya conocido a priori, pero precisamente la pregunta de por qué $\sum m_i \vec v_i = \vec 0$ es lo que nuestro amigo Clarck Luis quería saber.

De todas formas, seguir por aquí la conversación creo que la tornaría en absurda, así que si no hay más dudas que tengan que ver intrínsecamente con la física y no con la forma de las demostraciones, me ausento.

Un placer. Saludos.

[Clarck Luis]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Hola con todos, gracias por las respuestas. Zypp entendi los reemplazos que hiciste en tu primera respuesta, pero quisiera que me confirmaras lo que sospecho sobre lo que planteaste:

$\sum{m}_{i}\vec{{r}_{i}}=\vec{0}$

Esa expresion debe ser "0" porque si calcularamos el vector posicion del centro de masa, tomando como punto de referencia para los vectores de posicion de las particulas, el mismo centro de masa, el vector posicion del centro de masa deberia ser "0", y ya que por definicion del centro masa:

$\vec{r}=\frac{\sum{m}_{i}\vec{{r}_{i}}}{ \sum{m}_{ i}}$

Para que dicho vector posicion del CM sea "0", la parte del numerador debe ser "0".
Asi es como entiendo esa parte que planteaste, espero estar en lo correcto , gracias de antemano.

[ZYpp]

Re: Energia en un movimiento de rotacion y traslacion

Efectivamente, así es. Si calculas el vector posición del centro de masas desde el propio centro de masas, evidentemente este vector será el vector nulo.

Saludos y espero haber sido de ayuda.