1r ciclo Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

[gdonoso94]

Hola a todos, tengo el siguiente ejercicio que dice así:



Mi problema surge en el apartado c). Que no consigo resolverlo de ninguna manera. La velocidad de fase si la tengo ($v_f=\omega/k$), pero la de grupo no consigo llegar a ella. ¿Alguien me puede dar una pista?

Un saludo.

[Rodri]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

He intentado responderte pero no llego a la solución que mencionas para la velocidad de grupo. De todos modos pongo aquí mi razonamiento y mis cálculos, a ver si alguien más puede aportar luz.

La velocidad de grupo es un concepto que se aplica cuando tenemos un paquete de ondas que experimenta dispersión y no una onda monocromática: en el "paquete" que se propaga hay diversas componentes monocromáticas, cada una con su frecuencia y su velocidad de propagación propias. El modelo más sencillo de paquete de ondas lo podemos construir con dos ondas monocromáticas de frecuencias w1 y w2 y números de onda k1 y k2, respectivamente, muy cercanas entre sí, de forma que al superponerlas la resultante puede expresarse matemáticamente como una onda de frecuencia (w1+w2)/2 y número de onda (k1+k2)/2 modulada en amplitud por una onda de frecuencia (w1-w2)/2 y número de onda (k1-k2)/2 (esto sale usando la fórmula trigonométrica $\sin\ A + \sin\ B = 2 \sin\left( \frac{A+B}{ 2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{ 2} \right)$). Al ser ${\omega}_{ 1} \approx {\omega}_{2 }$ y ${k}_{ 1} \approx {k}_{2 }$ la situación puede describirse cualitativamente como una señal de "alta frecuencia" que se propaga con velocidad $\frac{{\omega}_{1}+{\omega}_{2}}{ {k}_{1}+{k}_{2}}$ modulada por una envolvente que a su vez se propaga con velocidad $\frac{{\omega}_{1}-{\omega}_{2}}{ {k}_{1}-{k}_{2}} = \frac{\Delta\omega}{\Delta k }$.

Puesto que la energía del paquete está asociada a la envolvente entonces esta última expresión es la que también define la velocidad a la que viaja la energía del paquete.

Pasando al límite cuando las dos ondas componentes están muy cercanas se llega a que la velocidad de propagación de la energía es $\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}$, que se llama "velocidad de grupo" y que como se ha dicho tiene el significado físico de la velocidad a la cual se propaga la energía.

Ahora vamos con el problema. Al inyectar dos ondas monocromáticas próximas en un medio con dispersión, sucede que cada una se propaga con diferente velocidad y tenemos el efecto descrito. A mi entender lo que en realidad pide el enunciado es deducir la expresión de $\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}$ a partir de la dependencia que tiene el índice de refracción con la longitud de onda.

Partimos de $n\left( {\lambda}_{0} \right) = A + \frac{B}{ {{\lambda}_{0}}^{2}}$, donde ATENCIÓN: ${\lambda}_{0}$ es la longitud de onda en el vacío y no en el medio (al menos eso entiendo yo).
Llamaré $\lambda$ a secas a la longitud de onda en el medio.

Buscamos una ecuación que relacione el número de onda en el medio $k = \frac{2\pi}{ \lambda}$ con la frecuencia angular de la onda $\omega$. Para ello expresamos primero el índice de refracción en función de $\omega$ así: $n\left( \omega \right) = A + \frac{B}{{(2\pi c)}^{2}}{\omega}^{2}$, donde se ha tenido en cuenta que ${\lambda}_{0} = \frac{2\pi c}{\omega}$

Entonces

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{{\lambda}_{0}}n = \frac{\omega n(\omega)}{c}$

Y diferenciando

$c dk = [n(\omega) + \omega n'(\omega)]d\omega$ $\to \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} = \frac{c}{n(\omega)+\omega n'(\omega)}$

A partir de esta expresión, calculando antes n'($\omega)$ y volviendo a expresar $\omega = 2\pi \frac{c}{{\lambda}_{0}}$ obtengo

$\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} = \frac{c}{A + \frac{3B}{{{\lambda}_{0}}^{2}}}$, que con los valores del enunciado me da 8,82 x 10⁷ m/s

[gdonoso94]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

Hola Rodri:

Lo primero, gracias por molestarte en contestar. La parte teórica la conocía bastante bien. El tema es que no conseguía aplicar la regla de la cadena a $\dst\frac{\dd \omega}{\dd k}$.

Un buen amigo mío que es físico me ha mandado la resolución, pero no la llego a entender y él no puede explicármela, ya que está bastante ocupado estos días. Procedo a copiar lo que me ha pasado:

$\dst v_g=\frac{\dd \omega}{\dd t}=\frac{\dd}{\dd k}\left(\frac{ck}{n}\right)=\frac{c}{n}-\frac{ck}{n^2}\frac{\dd n}{\dd k}=\dst =\frac{c}{n}-\frac{ck}{n^2}\frac{\dd n}{\dd \lambda}\frac{\dd \lambda}{\dd k}=\frac{c}{n}-\frac{ck}{n^2}\left(-\frac{2B}{\lambda^3}\right)\left(-\frac{2\pi}{k^2}\right)=$

$\dst =v_f-\frac{2cB}{n^2\lambda^2}=v_f-\frac{2cB}{\lambda_0^2}$

No entiendo los pasos que realiza para sacarlo, me refiero, a partir del segundo igual, ¿por qué aparece ese término c/n? ¿y el ck/n^2?


Muchas gracias, un saludo.

[Rodri]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

Quizá me equivoque, pero no me convence mucho la respuesta de tu amigo: si sustituyes valores sale -1,7 x 10⁸ m/s, es decir un valor negativo, lo cual no tiene sentido en mi opinión.

El paso que preguntas a partir del segundo igual es la aplicación de la regla de la cadena al derivar con respecto a k, ya que se está tomando n como función de k. Sin embargo, mi mayor objeción a esta solución es que se está considerando que $\lambda$ en $n(\lambda)$ es la longitud de onda en el medio, cuando mi opinión es que debe ser la longitud de onda en el vacío. Yo creo que es así como tiene sentido definirlo, es decir, como una función de una variable "independiente del medio", como es la longitud de onda en el vacío.
En otras palabras, si la lambda en $n(\lambda)$ es la longitud de onda en el medio, no le veo el sentido a definir $n(\lambda)$ como una función explícita de $\lambda$ ya que $n(\lambda)$ a su vez depende de n. En mi opinión la $n(\lambda)$ en la expresión $n(\lambda) = A + \frac{B}{{\lambda}^{2}}$ es la longitud de onda en el vacío.

Estaría bien que alguien más opinara sobre esto

Un saludo
Rodri

[gdonoso94]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

Me aclaró que se tomaba el valor absoluto de la veñocidad, que se me ha olvidado mencionarlo. Cuando agarre un ordenador leo tranquilamente tu post y te contesto a todo. A ver si alguien puede aportar su granito de arena y nos ilumina.Gracias y un saludo.

[Rodri]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

Sí, yo también pensé que tomar el valor absoluto podría valer. Sin embargo reflexionando un poco más... Pensemos en la curva $\omega (k)$...¿Qué quiere decir que $\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} < 0$? Quiere decir que a un incremento infinitesimal de la frecuencia $\omega$ de la onda le corresponde una disminución del número de onda k. O lo que es lo mismo: que al aumentar una cantidad infinitesimal la frecuencia se aumenta infinitesimalmente la longitud de onda en el medio. Sin embargo esto es absurdo: siempre que aumentemos la frecuencia la longitud de onda debe disminuir, o dicho de otra forma: la curva $\omega (k)$ es monótona creciente, aunque no sea una recta (sería una recta si no hubiera dispersión, en cuyo caso la velocidad de fase y la de grupo coinciden). En definitiva, no creo que un valor negativo de $\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k} < 0$ tenga sentido físico: querría decir que la energía de la onda se propaga en sentido contrario a la propia señal, según la descripción teórica de mi primer mensaje
Por otra parte insisto en lo dicho en mi segundo mensaje: yo creo que $n(\lambda)$ es la función que relaciona el índice de refracción con la longitud de onda en el vacío y no en el medio. Esto haría que no fuese válido el cálculo que ponías en tu mensaje.

Saludos
Rodri

[pod]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

La velocidad de grupo puede ser negativa, sin problemas. Es lo que pasa, por ejemplo, cuando los coches salen de un semáforo. La fase se propaga hacia adelante (siguiendo el movimiento de los coches), pero la onda se propaga hacia atrás.

Un tal Geek3 tiene colgado este otro ejemplo en la wikipedia:

$\dst v_g=\frac{\dd \omega}{\dd t}=\frac{\dd}{\dd k}\left(\frac{ck}{n}\right)=\frac{c}{n}-\frac{ck}{n^2}\frac{\dd n}{\dd k}=\dst =\frac{c}{n}-\frac{ck}{n^2}\frac{\dd n}{\dd \lambda}\frac{\dd \lambda}{\dd k}=\frac{c}{n}-\frac{ck}{n^2}\left(-\frac{2B}{\lambda^3}\right)\left(-\frac{2\pi}{k^2}\right)=$

$\dst =v_f-\frac{2cB}{n^2\lambda^2}=v_f-\frac{2cB}{\lambda_0^2}$

No entiendo los pasos que realiza para sacarlo, me refiero, a partir del segundo igual, ¿por qué aparece ese término c/n? ¿y el ck/n^2?

Se trata de la derivada de un producto, y después de la regla de la cadena.

Con un poco más de detalle,

$$\begin{aligned}<br /> v_g & = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\dd}{\dd k}\left( \frac{ck}{n} \right) \\<br /> & = c \frac{\dd}{\dd k}\left( k \cdot \frac{1}{n} \right) \\<br /> & = c \left( \frac{\dd k}{\dd k} \cdot \frac{1}{n} + k \cdot \frac{\dd n^{-1}}{\dd k} \right) \\<br /> & = c \left( 1 \cdot \frac{1}{n} + k \cdot (-n^{-2}) \frac{\dd n}{\dd k} \right) \\<br /> & = \frac{c}{n} - \frac{c k}{n^2} \frac{\dd n}{\dd k} \\<br /> & = \frac{c}{n} - \frac{c k}{n^2} \frac{\dd n}{\dd \lambda} \frac{\dd\lambda}{\dd k}<br /> \end{aligned}$$

A partir de ahí debería ser sencillo

[Rodri]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

De acuerdo, pod. Buen ejemplo el del semáforo.
Veo que efectivamente la velocidad de grupo puede ser negativa.

Pero también me gustaría que comentases esto:

Sin embargo, mi mayor objeción a esta solución es que se está considerando que $\lambda$ en $n(\lambda)$ es la longitud de onda en el medio, cuando mi opinión es que debe ser la longitud de onda en el vacío. Yo creo que es así como tiene sentido definirlo, es decir, como una función de una variable "independiente del medio", como es la longitud de onda en el vacío.
En otras palabras, si la lambda en $n(\lambda)$ es la longitud de onda en el medio, no le veo el sentido a definir $n(\lambda)$ como una función explícita de $\lambda$ ya que $n(\lambda)$ a su vez depende de n. En mi opinión la $n(\lambda)$ en la expresión $n(\lambda) = A + \frac{B}{{\lambda}^{2}}$ es la longitud de onda en el vacío.

Lo "normal", creo yo, es expresar el índice de refracción en función de la frecuencia (o de la longitud de onda de la luz EN EL VACÍO) pero no de la longitud de onda en el material. Lo normal en física es caracterizar un fenómeno dando la variación de un parámetro físico afectado por el fenómeno en función de otro parámetro físico independiente del propio fenómeno: la frecuencia lo es y también la longitud de onda en el vacío. Si no, es la pescadilla que se muerde la cola ¿no?
Además, así es como suele aparecer las gráficas de n(lambda) en los libros de Óptica. Ver por ejemplo la tercera figura en http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_(optics)

[pod]

Re: Ondas. Velocidad de grupo y velocidad de fase.

De acuerdo, pod. Buen ejemplo el del semáforo.
Veo que efectivamente la velocidad de grupo puede ser negativa.

Pero también me gustaría que comentases esto:


Lo "normal", creo yo, es expresar el índice de refracción en función de la frecuencia (o de la longitud de onda de la luz EN EL VACÍO) pero no de la longitud de onda en el material. Lo normal en física es caracterizar un fenómeno dando la variación de un parámetro físico afectado por el fenómeno en función de otro parámetro físico independiente del propio fenómeno: la frecuencia lo es y también la longitud de onda en el vacío. Si no, es la pescadilla que se muerde la cola ¿no?
Además, así es como suele aparecer las gráficas de n(lambda) en los libros de Óptica. Ver por ejemplo la tercera figura en http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_(optics)

Yo diría que las relaciones de dispersión (como $n(\lambda)$) suelen relacionar magnitudes en el mismo medio, aunque no pongo la mano en el fuego. Pero bueno, siempre puedes intentar hacer el cálculo suponiendo que no es así, a ver si da la respuesta que pide el problema.