Problema de Cinemática

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

¡Ah! O sea que el valor mínimo de la velocidad sería raíz de dos, ¿no? Pues me fio más de tu resultado, ya que el mío es resultado de hacer una suposición por el camino...

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

Argh, he dicho una estupidez ahora que lo veo, voy a ver si consigo corregirlo todo. La fórmula que tenemos es aproximadamente:

$\dst v_0=\sqrt{\frac{50\cdot 9.8}{\sin(\theta)\cos(\theta)}}$

Cuyo valor mínimo en Wolfram (ahora bien, ya que antes me he comido el numerador) es $\approx 31.31 [ms^{-1}]$. Lo puedes comprobar: http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29

Lo siento por haberlo liado tanto.

Saludos!

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

¿Pero derivaste la velocidad? O sea, yo derivo la velocidad y obtengo aproximadamente 9,9 (m/s)

P.D: Gdonoso94 Leída tu última edición. No creo que lo vaya a resolver, así que no pasa nada, tómate el tiempo que quieras

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

A mano no lo he hecho, antes me salía eso, pero porque me había comido un 0, el del 50. Ahora corregido wolfram me da ese resultado.

[Breogan]

Re: Problema de Cinemática

Hola:

Asi a primera vista creo que hay algún error en el resultado propuesto.

Para poder avanzar en esto voy a hacer el planteo matemático del problema.

Las dos ecuaciones del movimiento son:

Mov. horizontal (MRU):

$\dst 100=v_{0x} \ t$

$\dst v_{0x}=v_0\ cos \theta$

$$\dst t=\frac {100} {v_0 \ cos \theta}$$

Tiro vertical (MRUA):

$\dst 0=v_{0y} \ t - \frac 1 2 \ g \ t^2$

$\dst v_{0y}=v_0\ sen \theta$

$$\dst v_0 \ sen \theta = \frac 1 2 \ g \ t$$

Reemplazando (1) en (2) queda:

$\dst v_0 \ sen \theta = \frac 1 2 \ g \ \frac {100} {v_0 \ cos \theta}$

Corregida

$$\dst v_0^2 = \frac {50 \ g}{sen \theta \ cos \theta} = \frac {2 \ 50 \ g}{sen ( 2 \ \theta) }$$

Evidentemente mi primera impresión estaba errada y la formula propuesta es correcta (si no me equivoque también).

Ahora aplicamos las condiciones de mínimo:

Corregida $\dst 2 \ \frac{\mathrm{d} v_0}{\mathrm{d} \theta} = - \ \frac {2 \ 50 \ g}{(sen ( 2 \ \theta ))^2} \left[ 2 \ cos (2 \ \theta ) \right]$

despejando:

Corregida $\dst \frac{\mathrm{d} v_0}{\mathrm{d} \theta} = - \ \frac {2 \ 50 \ g}{(sen ( 2 \ \theta ) )^2} \ cos ( 2 \ \theta)$

Esta ultima igualada a cero nos indica que en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] hay puntos singulares de la función. Habría que hacer la segunda derivada para saber si se trata de un mínimo o un máximo, cosa que te dejo a vos.

Otro análisis posible, no tan formal, es el que un poco inicio davinci, podemos partir del echo señalado que para que la bala de en el blanco el angulo $\theta$ debe estar comprendido en el intervalo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Viendo la formula (3):

Corregida $\dst v_0^2 = \frac {2 \ 50 \ g}{sen ( 2 \ \theta) }$

podemos por simplicidad dividir el dominio de $\theta$ en dos dominios en donde se cumplira lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ creciente \quad \Rightarrow \quad v_0^2 \ \in \ ]\infty; v_m^2] \ monotamente \ decreciente$

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ decreciente \quad \Rightarrow \quad v_0^2 \ \in \ [ v_m^2;\infty[ \ monotamente \ creciente$

de esto se ve que en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la función $v_0^2 (\theta)$ pasa de ser monotamente decreciente a monotamente creciente, y como la función seno es continua resulta que este punto es un mínimo de esta función, cuyo valor es el que yo llame $v_m^2$.

Sabemos que la función $v_m^2(\theta) \ y \ v_m (\theta)$ tiene los mininos en el mismo valor de $\theta$.

Por ultimo el valor de la velocidad mínima saldrá de:

Corregida [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Corregida $\dst v_m =\sqrt{2 \ 50 \ g}$

Espero no haberme equivocado, y que este entendible.

s.e.u.o.

Suerte

[fisicucho]

Re: Problema de Cinemática

A mi modo de ver creo que es un problema donde se persiguen más los conceptos que el cálculo numérico a tenor de los números que se manejan en el problema:
Recorrido vertical: 20 centimetros. Esto nos lleva a considerar que para recorrer esos 20 cm en caida libre hacen falta 0,2 segundos (y=4,9*t2).
Recorrido horizontal: recorrer los 100 metros en ese tiempo sera nacesaria una velocidad de 500 metros por segundo (v=x/t), que es obviamente la velocidad mínima para impactar.
Respecto del angulo de tiro, vemos que desde 100 metros se subtiende un angulo de 0,002 radianes (0,2/100 por aproximación para angulos muy pequeños) que en grados son 0,11.
Como vemos no hace falta ni papel ni calculadora.

[pod]

Re: Problema de Cinemática

Recorrido vertical: 20 centimetros. Esto nos lleva a considerar que para recorrer esos 20 cm en caida libre hacen falta 0,2 segundos (y=4,9*t2).

Corrígeme si me equivoco, pero esto sería así si el punto de impacto estuviera 20cm por debajo del punto de partida. Lo que ha estado haciendo la gente en el hilo es justo lo contrario (ciertamente, el enunciado es algo ambiguo al respecto...).

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

Lo que no llego a entender es por qué si minimizas la función con Wolfram sale otro resultado para el valor mínimo de la velocidad...

http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

Ante todo, ¡muchísimas gracias por contestar y por la atención!

Breogan en la ecuación (3), ¿no tendrías que--para obtener sen 2a (siendo a el ángulo)--multiplicar seno y coseno por 2? (Lo que es lo mismo, ambos miembros de la ecuación por 1/2) Si así fuera, entonces me saldría lo mismo que a ti.

[Breogan]

Re: Problema de Cinemática

Hola:

Lo que no llego a entender es por qué si minimizas la función con Wolfram sale otro resultado para el valor mínimo de la velocidad...

http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29

El calculo que haces es correcto, como dijo davinci me comí un 2 al transformar el producto del sen y el cos en el seno del doble del angulo, ya corrijo mi post anterior.

Suerte

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

Bueno pues en el problema voy a razonar el desarrollo final de Breogan junto con las operaciones y el primer desarrollo que hice a sucio.

¡Gracias a tod@s por la atención!