Problema de Cinemática

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

Bueno pues en el problema voy a razonar el desarrollo final de Breogan junto con las operaciones y el primer desarrollo que hice a sucio.

¡Gracias a tod@s por la atención!

[Breogan]

Re: Problema de Cinemática

Hola:

Lo que no llego a entender es por qué si minimizas la función con Wolfram sale otro resultado para el valor mínimo de la velocidad...

http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29

El calculo que haces es correcto, como dijo davinci me comí un 2 al transformar el producto del sen y el cos en el seno del doble del angulo, ya corrijo mi post anterior.

Suerte

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

Ante todo, ¡muchísimas gracias por contestar y por la atención!

Breogan en la ecuación (3), ¿no tendrías que--para obtener sen 2a (siendo a el ángulo)--multiplicar seno y coseno por 2? (Lo que es lo mismo, ambos miembros de la ecuación por 1/2) Si así fuera, entonces me saldría lo mismo que a ti.

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

Lo que no llego a entender es por qué si minimizas la función con Wolfram sale otro resultado para el valor mínimo de la velocidad...

http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29

[pod]

Re: Problema de Cinemática

Recorrido vertical: 20 centimetros. Esto nos lleva a considerar que para recorrer esos 20 cm en caida libre hacen falta 0,2 segundos (y=4,9*t2).

Corrígeme si me equivoco, pero esto sería así si el punto de impacto estuviera 20cm por debajo del punto de partida. Lo que ha estado haciendo la gente en el hilo es justo lo contrario (ciertamente, el enunciado es algo ambiguo al respecto...).

[fisicucho]

Re: Problema de Cinemática

A mi modo de ver creo que es un problema donde se persiguen más los conceptos que el cálculo numérico a tenor de los números que se manejan en el problema:
Recorrido vertical: 20 centimetros. Esto nos lleva a considerar que para recorrer esos 20 cm en caida libre hacen falta 0,2 segundos (y=4,9*t2).
Recorrido horizontal: recorrer los 100 metros en ese tiempo sera nacesaria una velocidad de 500 metros por segundo (v=x/t), que es obviamente la velocidad mínima para impactar.
Respecto del angulo de tiro, vemos que desde 100 metros se subtiende un angulo de 0,002 radianes (0,2/100 por aproximación para angulos muy pequeños) que en grados son 0,11.
Como vemos no hace falta ni papel ni calculadora.

[Breogan]

Re: Problema de Cinemática

Hola:

Asi a primera vista creo que hay algún error en el resultado propuesto.

Para poder avanzar en esto voy a hacer el planteo matemático del problema.

Las dos ecuaciones del movimiento son:

Mov. horizontal (MRU):

$\dst 100=v_{0x} \ t$

$\dst v_{0x}=v_0\ cos \theta$

$$\dst t=\frac {100} {v_0 \ cos \theta}$$

Tiro vertical (MRUA):

$\dst 0=v_{0y} \ t - \frac 1 2 \ g \ t^2$

$\dst v_{0y}=v_0\ sen \theta$

$$\dst v_0 \ sen \theta = \frac 1 2 \ g \ t$$

Reemplazando (1) en (2) queda:

$\dst v_0 \ sen \theta = \frac 1 2 \ g \ \frac {100} {v_0 \ cos \theta}$

Corregida

$$\dst v_0^2 = \frac {50 \ g}{sen \theta \ cos \theta} = \frac {2 \ 50 \ g}{sen ( 2 \ \theta) }$$

Evidentemente mi primera impresión estaba errada y la formula propuesta es correcta (si no me equivoque también).

Ahora aplicamos las condiciones de mínimo:

Corregida $\dst 2 \ \frac{\mathrm{d} v_0}{\mathrm{d} \theta} = - \ \frac {2 \ 50 \ g}{(sen ( 2 \ \theta ))^2} \left[ 2 \ cos (2 \ \theta ) \right]$

despejando:

Corregida $\dst \frac{\mathrm{d} v_0}{\mathrm{d} \theta} = - \ \frac {2 \ 50 \ g}{(sen ( 2 \ \theta ) )^2} \ cos ( 2 \ \theta)$

Esta ultima igualada a cero nos indica que en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] hay puntos singulares de la función. Habría que hacer la segunda derivada para saber si se trata de un mínimo o un máximo, cosa que te dejo a vos.

Otro análisis posible, no tan formal, es el que un poco inicio davinci, podemos partir del echo señalado que para que la bala de en el blanco el angulo $\theta$ debe estar comprendido en el intervalo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Viendo la formula (3):

Corregida $\dst v_0^2 = \frac {2 \ 50 \ g}{sen ( 2 \ \theta) }$

podemos por simplicidad dividir el dominio de $\theta$ en dos dominios en donde se cumplira lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ creciente \quad \Rightarrow \quad v_0^2 \ \in \ ]\infty; v_m^2] \ monotamente \ decreciente$

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\ decreciente \quad \Rightarrow \quad v_0^2 \ \in \ [ v_m^2;\infty[ \ monotamente \ creciente$

de esto se ve que en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la función $v_0^2 (\theta)$ pasa de ser monotamente decreciente a monotamente creciente, y como la función seno es continua resulta que este punto es un mínimo de esta función, cuyo valor es el que yo llame $v_m^2$.

Sabemos que la función $v_m^2(\theta) \ y \ v_m (\theta)$ tiene los mininos en el mismo valor de $\theta$.

Por ultimo el valor de la velocidad mínima saldrá de:

Corregida [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Corregida $\dst v_m =\sqrt{2 \ 50 \ g}$

Espero no haberme equivocado, y que este entendible.

s.e.u.o.

Suerte

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

A mano no lo he hecho, antes me salía eso, pero porque me había comido un 0, el del 50. Ahora corregido wolfram me da ese resultado.

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

¿Pero derivaste la velocidad? O sea, yo derivo la velocidad y obtengo aproximadamente 9,9 (m/s)

P.D: Gdonoso94 Leída tu última edición. No creo que lo vaya a resolver, así que no pasa nada, tómate el tiempo que quieras

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

Argh, he dicho una estupidez ahora que lo veo, voy a ver si consigo corregirlo todo. La fórmula que tenemos es aproximadamente:

$\dst v_0=\sqrt{\frac{50\cdot 9.8}{\sin(\theta)\cos(\theta)}}$

Cuyo valor mínimo en Wolfram (ahora bien, ya que antes me he comido el numerador) es $\approx 31.31 [ms^{-1}]$. Lo puedes comprobar: http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29

Lo siento por haberlo liado tanto.

Saludos!

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

¡Ah! O sea que el valor mínimo de la velocidad sería raíz de dos, ¿no? Pues me fio más de tu resultado, ya que el mío es resultado de hacer una suposición por el camino...

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

No sé si estará bien. Yo llego a la misma expresión que tú:

$\dst v_0=\sqrt{\frac{50g}{\sin(\theta)\cos(\theta)}}$

Ahora, tendrías que hallar un mínimo de esta función derivándola respecto de $\theta$ e igualándola a 0. Según Wolfram el valor mínimo es $\sqrt{2}$ (http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28x%29%29%29).

Lo que no estoy seguro es de que si minimizas la función sin la raíz cuadrada (como tú has hecho), es válido el resultado.

Saludos.

P.D: Mi resultado no me convence demasiado, pero ahora mismo tengo que irme. Esta noche lo reviso (si no lo has resuelto ya :P).

[davinci]

Re: Problema de Cinemática

Veamos:

r=r0+v0t+1/2t^2 ; (100 , 0) = (0 , 0) + (v0 $\cos \theta$ , v0 $\sin \theta$)t + 1/2 (0 , -9,8) t^2

- 100 = v0 $\cos \theta$t
- 0 = v0 $\sin \theta$t - 4,9t^2

Tras despejar, simplificar y sustituir me queda esto: 0 = v0 $\sin \theta$ - 490/v0 $\cos \theta$

Y ahí me quedo...

Me quedo claro el segundo apartado, pero no consigo resolver el primer apartado.

Edito: Revelación de última hora!!!!!!

Despejamos y queda: 490/vo $\cos \theta$ = v0 $\sin \theta$ ; pasamos multiplicando el coseno al seno, y multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 2, de tal manera que: 2 $\sin \theta$ $\cos \theta$ = $\sin 2\theta$ Ahora consideramos que el ángulo máximo que puede darse es el de 45 grados--no va a curvarse la bala saliendo para atrás -- (hallando la velocidad mínima, tal como me piden en el apartado): Nos queda que $\sin 90$ = 1. Luego la velocidad es: $v0^2$ = 980.

¿Está bien esa consideración?

[gdonoso94]

Re: Problema de Cinemática

Hola, creo que Breogan ha explicado perfectamente la primera parte del ejercicio. En cuanto a lo de el "rango de ángulos" se refiere a que deberás dar una incertidumbre (al ángulo con el que disparas para dar en el centro) de modo que si disparas con $\pm\theta$ la altura del disparo cuando golpea en la diana sea $|y|<0.1$, ya que el radio de la diana es de 0.1 m. Supongo que será con la misma velocidad a la que disparas para dar en el centro, por simplificar cálculos.

Si no lo consigues avisa de nuevo y lo hago numéricamente.

Un saludo!

[Breogan]

Re: Problema de Cinemática

Hola:

¡Buenas! En un problema me dicen que un tirador se encuentra a 100 metros de la diana con un radio de 20 cm (0,2 m). Dicha diana se encuentra a una altura de 1,5 m del suelo. El tirador (para dar en el centro de la diana) eleva la escopeta 1,5 m. La pregunta del problema es: ¿A que velocidad mínima ha de salir la bala para dar en el centro? ¿A qué ángulo se realiza el disparo?

El enunciado del problema es bastante ambiguo, suponiendo que esta tal cual como te lo plantearon se deben hacer algunas suposiciones.

Parece lógico suponer que la altura dada de la diana se refiere al centro de esta, y que la altura que te dan para la escopeta es la de su boca.

Con estos supuestos podes considerar que las coordenadas de los vectores posición de ambos, respecto de un SR ubicado con su origen en el suelo y debajo de la boca de la escopeta son:

Escopeta: (0 ; 1.5)
Diana: (100 ; 1.5)

o mas convenientemente tomar un SR con su origen en la boca del cañon de la escopeta, y entonces tendriamos que:

Escopeta: (0 ; 0)
Diana: (100 ; 0)

El movimiento de la bala es un movimiento uniformemente acelerado (mas exactamente un tiro oblicuo), cuya aceleración es la gravedad; de tal forma que la bala describirá una trayectoria parabólica hasta llegar a la diana.

Para este disparo y con los datos dados hay infinitas trayectorias, es decir hay infinitas parábolas que pasan por los dos puntos (escopeta y diana); para cada angulo de disparo habrá una velocidad del disparo que hará que este de en la diana.

Planteando las ecuaciones del movimiento (este movimiento se puede descomponer en un MRU en el eje horizontal, y un tiro vertical en el eje vertical, valga la redundancia; con igual tiempo de vuelo), tenes que llegar a una ecuación que vincule el modulo de la velocidad del disparo con el angulo en el cual se hace este; ahora solo lo que falta es hallar el mínimo de esta ecuación por medio de sus derivadas (matemática pura).

Aunque no lo hice creo que por ahí van los tiros .

Disculpas anticipadas si hay algún error.

s.e.u.o.

Suerte