Secundaria Tiro parabólico. Problema

[Ferelterrorista]

Buenas, el caso es que me he atascado con un problema, bueno, realmente no me he atascado sino que he sacado una solución, pero el caso es que no me da lo que me tiene que dar y quería que echarais un cable para ver donde la he podido cagar.

El caso es que hay que determinar el ángulo $\theta$ el cual un proyectil que es disparado desde una altura h, y con una velocidad inicial ${V}_{o}$ (en módulo) tiene un alcance máximo

Primero de todo y viendo que en un tiro parabólico de h=0 la expresión del alcance es $\frac{{{V}_{o}}^{2}\sin 2\beta}{g}$ será máximo cuando Beta=45 grados, me queda que la expresión del alcance máximo es tal que así ${X}_{max}=\frac{{{V}_{o}}^{2}}{g}$

Luego he considerado la distancia que recorre en sentido horizontal el proyectil partiendo de esa altura H, y la he igualado a 0 para comprobrar en que tiempo llegará al suelo.

Luego me queda que $t=\frac{-{V}_{o}\sin\theta\pm\sqrt[2]{{({V}_{o}\sin\theta})^{2}+2gh}}{-g}$

Sabiendo que $X={V}_{o}\cos\theta t$

Me queda que el alcance es el siguiente

$X={V}_{o}\cos\theta\frac{-{V}_{o}\sin\theta\pm\sqrt[2]{{({V}_{o}\sin\theta})^{2}+2gh}}{-g}$ y esto lo he igualado a la expresión incial del alcance máximo para un ángulo de 45 grados partiendo de h=0 (Creo que la he cagado al plantearlo así)

Luego he cogido y he sacado la h y la v

$\frac{{{V}_{o}}^{2}}{g}=\frac{{{V}_{o}}^{2}}{g}\cos\theta(\sin\theta\pm\sqrt[2]{{\sin\theta}^{2}+\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}})$

$\frac{1}{\cos\theta}-\sin\theta\ = \pm\sqrt[2]{{\sin\theta}^{2}+\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}}$

Elevando al cuadrado para cargarnos el $\pm$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$\frac{1}{{\cos\theta}^{2}}-2\tan\theta = \frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}$
${\tan\theta}^{2}-2\tan\theta+(1-\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}})$

Haciendo el cambio de variable $\tan\theta=\kappa$

Me queda una ecuación de segundo grado del tipo

${\kappa}^{2} - 2\kappa+ (1-\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}) = 0$

Resolviendo me queda

$\tan\theta=\kappa= \frac{2\pm\sqrt[2]{4 - 4(1-\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}})}}{2}$
$\tan\theta= \frac{2\pm 2\sqrt[2]{1 - (1-\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}})}}{2}$
$\tan\theta=1\pm\sqrt[2]{\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}}$

$\tan\theta=1\pm\frac{1}{{V}_{o}}\sqrt{2gh}$

$\tan\theta=\frac{{V}_{o}+\sqrt[2]{2gh}}{{V}_{o} }$

En teoría me tenía que dar

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[uli]

Re: Tiro parabólico. Problema

esta bien

[Ferelterrorista]

Re: Tiro parabólico. Problema

Pues yo creo que está mal. Que yo sepa cuanto mayor sea la altura, menor tendrá que ser el ángulo. Y la respuesta indica lo contrario.

Con respecto a tu problema te aconsejaría que abrieras otro hilo y que al menos intentaras hacer el problema y no que te lo resolvieran. Saludos.

[uli]

Re: Tiro parabólico. Problema

Perdon no lo sabia perdon

[felmon38]

Re: Tiro parabólico. Problema

Ferel, dices:

Primero de todo y viendo que en un tiro parabólico de h=0 la expresión del alcance es será máximo cuando Beta=45 grados

y resulta que en tu caso$h\neq0$.¿?

[Ferelterrorista]

Re: Tiro parabólico. Problema

Hombre, se supone que estoy calculando el ángulo bajo el cual el alcance es máximo partiendo de una altura h.
En mi caso evidentemente h es distinto de 0, pero he tomado como referencia la ecuación del alcance a una altura h=0, viendo cual es el alcance máximo en ese caso e igualándolo al alcance desde esa altura h, para tratar de sacar la relación angular que estoy buscando.

No acaba de convencerme del todo el método que he seguido, por eso no sé si será o no erróneo, porque el desarrollo matemático lo he comprobado y que yo sepa no hay ningun fallo, particularizando para h=0 me da que el ángulo es de 45 grados y dimensionalmente la expresión es correcta, pero claro, la solución también lo es, y también está el hecho antes mencionado, no creo que cuanto mayor sea la altura desde la que se lanza el proyectil, tenga que ser mayor el ángulo.

He probado también a buscarlo de otra forma, cogiendo la expresión del alcance en función del ángulo, derivándola e igualandola a 0, pero me salen unas ecuaciones trignonométricas bastante jodidas.

[felmon38]

Re: Tiro parabólico. Problema

Ferel, creo que el procedimiento que seguistes era el correcto y si las ecuaciones son complejas, eso no quiere decir que no lo hayas planteado bien. A lo mejor hay que resolverlas numericamente.

[Physicist]

Re: Tiro parabólico. Problema

Muy buenas!

Quizás ando muy espeso pero, como pasas de $\frac{1}{{\cos\theta}^{2}}-2\tan\theta = \frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}$ a ${\tan\theta}^{2}-2\tan\theta+(1-\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}) = 0$

[Ferelterrorista]

Re: Tiro parabólico. Problema

He utilizado la identidad $\frac{1}{{\cos\theta}^{2}}=1+{\tan\theta}^{2}$ y he pasado el $\frac{2gh}{{{V}_{o}}^{2}}$ al otro lado agrupándolo con el 1 como término independiente.

Ferel, creo que el procedimiento que seguistes era el correcto y si las ecuaciones son complejas, eso no quiere decir que no lo hayas planteado bien. A lo mejor hay que resolverlas numericamente.

¿Te refieres a calcular el máximo de la función $x=x(\alpha)$ o al que he utilizado para llegar a $\tan\theta=\frac{{V}_{o}+\sqrt[2]{2gh}}{{V}_{o}}$?

[felmon38]

Re: Tiro parabólico. Problema

Me refiero al de calcular el máximo de la función