1r ciclo Plataforma giratoria

[Turing]

Hola,

sigo haciendo problemas de mecánica. He llegado a éste, dice así:

Una plataforma horizontal gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante positiva. Lanzamos una partícula desde el eje de rotación, a una altura $z_o$ positiva, con velocidad inicial horizontal de módulo $v_o$.

Considera un sistema de referencia cartesiano O, en reposo.

a) Calcula $\vec{v}(t)$ e indica el tipo de movimiento que sigue la partícula en O.
b) Calcula el punto donde cae en O.

He de describir la trayectoria desde el el sistema en reposo y compararlo con en el de la base móvil? Como lo haríais?

Un saludo.

[InesIncinerate]

Re: Plataforma giratoria

Hola Turing! Me hallo resolviendo ése mismo ejercicio . Tal y como yo lo entiendo, visto desde el origen de los ejes de coordenadas y estando en reposo, no tenemos ni que tener en cuenta la plataforma que gira. Si no me equivoco, más adelante hay que hacer prácticamente lo mismo para un observador con movimiento solidario con la plataforma. Así pues, he planteado las ecuaciones de la posición sin más y las he derivado respecto al tiempo. En el apartado b sencillamente he igualado z a 0 y he despejado el tiempo para luego poder sustituirlo en la ecuación de x.

[Turing]

Re: Plataforma giratoria

Es decir, realmente podríamos considerar los primeros dos apartados como un problema en $\mathbb{R}^2$? Cómo te quedan las ecuaciones? Todavía no he empezado a hacerlo y quizá estoy diciendo alguna tontería... pero el observador vería un tiro parabólico? Con un vector velocidad (vo, 0, -gt)?

Gracias por la ayuda!

PD: Veo que vas a la UB como yo .

[InesIncinerate]

Re: Plataforma giratoria

Yo creo que que sí, aunque planteándolo de esta manera el ejercicio resulta sospechosamente fácil, y eso me hace dudar xD La velocidad que obtengo es: $\vec{v(t)} = (v_0, 0, -gt)$, y como el observador se encuentra justo en el centro de coordenadas y la partícula solo se mueve a lo largo del eje x y por encima de su cabeza, yo diría que lo que observa es un movimiento rectilíneo.

Y sí, también estoy en F.mec., pero es la única que curso de primero, sigh... ¿En qué grupo estás?

[Turing]

Re: Plataforma giratoria

Quizá la dificultad recae en considerar las dos primeras partes del ejercicio de esa manera . Lo del movimiento rectilíneo no me convence demasiado porque pese a verlo por encima de su cabeza, llega un momento en que la altura de la partícula es 0 y, por lo tanto, ha de ver como cae, no?

Ahora voy a poner la tercera parte, la cuál no acabo de entender:

Considera un sistema de referencia cartesiano O', solidario a la plataforma. Dicho sistema sigue un movimiento relativo de rotacion uniforme respecto a O. Los ejes verticales z i z' son comunes y los ejes x' e y' coinciden con x e y en el instante del lanzamiento.

c) Calcula el vector posición de la partícula en O', y demuestra que la proyección de la trayectoria en el plano x'-y' es una espiral de Arquimedes.

d) Calcula las diferentes contribuciones de la aceleración de la partícula en el sistema de referencia O', en el instante del lanzamiento.

El vector de posición de la partícula en O', al coincidir en el momento del lanzamiento con los ejes de O, es el propio vector de posición del primer sistema de referencia?
La parte de la espiral de Arquimedes no la entiendo, sé que se define por $r=a\theta$, pero no sé como demostrar esto, si alguien pudiese ilustrarme...
A que se refiere con "contribuciones de la aceleración"?

[fringman]

Re: Plataforma giratoria

Buenas! Yo también estoy manos a la obra con el problema, veamos... Tal y como yo lo he interpretado desde O' el vector posición también tendrá solo dos componentes: El enunciado dice que el eje z y el z' son comunes y el x',y' están alineados con x,y. Se me ocurre interpretar que el eje z y el z' son el mismo eje, como única diferencia que en O' la altura es cero, pero en cualquier caso no habría que considerarlo. Así pues, he planteado como vector posición r(x,y)= R·cos(wt)+R·sin(wt) donde w es constante. Ahora viene lo entretenido , he estado informándome un poco más sobre la espiral de Arquímedes y en efecto aparece como
expresado en coordenadas polares. El ángulo al no depender del tiempo quizás se podría sacar con la arcotangente R/h. R siendo la distancia que hay entre el punto donde cae la partícula encontrado en el apartado b y el origen de coordenadas. A y b de momento no tengo la menor idea de qué podrían ser aquí, habrá que seguir probando...

[InesIncinerate]

Re: Plataforma giratoria

Yo también me he atascado en ése apartado... Ya sea haciendo un dibujito de los ejes rotados y estableciendo las relaciones trigonométricas, o directamente aplicando la matriz de rotación a las coordenadas iniciales, obtengo que $x'=r\cdot\cos\theta$ e $y'=r\cdot\sin\theta$ (donde $r=v_0t$, puesto que $\left\vert{} r \right\vert{} = \sqrt{x^2+y^2}$ y en el apartado anterior hemos sacado que $x= v_0t, y=0$). Como dice fringman, al pasar de 3 a 2 dimensiones podemos ignorar la coordenada z porque será exactamente igual que en el vector de posición anterior. Hasta aquí no veo ningún fallo. El problema es que cuando me dispongo a hacer el módulo de r' según este planteamiento, obtengo: $\left\vert{} r' \right\vert{} = \sqrt{v_0^2t^2(\cos\theta^2+\sin\theta^2)} = v_0t$. Este resultado ni siquiera depende del ángulo, pero como sé que $v_0t = x$, si vuelvo a hacer el cambio a coordenadas polares (y creo que aquí estoy incurriendo en alguna redundancia, porque lo acababa de hacer arriba; estoy muy espesa), tengo que $r = v_0t\cos\theta$. Pero de nuevo, ni $v_0t$ es constante, ni la dependencia debería ser del coseno del ángulo. Estoy algo desorientada...

[Turing]

Re: Plataforma giratoria

Hola fringman,

por qué no consideras el eje z en el vector posición? Porque es el único que no varía ya que a partir de él se hace la rotación? Por qué consideras w positiva? Desde O' no es -w ? En la arcotangente que realizas, la h que es?

Gracias por contestar!

[InesIncinerate]

Re: Plataforma giratoria

[FONT=arial]Es por eso, sí. Siempre que apliques una rotación a un sistema de ejes de coordenadas obtendrás una ecuación matricial de éste tipo:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_rotación (de hecho, enseguida las saludarás en álgebra...)

Como puedes ver, para una rotación alrededor de z, la coordenada correspondiente a este eje permanece inalterada. En cuanto a $\omega$[/FONT] positiva, juraría que el enunciado mismo la establece así, y puesto que estamos rotando junto con la plataforma, no tendría por qué cambiar de signo. Anyways, ¡creo que ya tengo la respuesta! No estaba teniendo en cuenta la relación $\theta = \omega t$. Es tan fácil como sustituir el tiempo en el módulo de r hallado con anterioridad, quedando así:

$r(\theta) = \frac{v_0}{\omega}\theta$

que es la ecuación de nuestra escurridiza espiral.

[Turing]

Re: Plataforma giratoria

Bien!!! Hemos llegado a lo mismo y hemos tenido exactamente el mismo problema! No sabía como meter un ángulo "solitario" en una ecuación, hasta he tenido que hacer alguna integral para darme cuenta de que $\dst \theta=\omega t$ T.T (es lo que ocurre cuando estás tan metido en un problema, que olvidas lo más sencillo xD). Exactamente, ahora ya tenemos una constante al lado del ángulo .

Ahora para el apartado c me hace falta saber el significado de "contribuciones a la aceleración" hehe, se refiere a coriolis y centrífuga?

[InesIncinerate]

Re: Plataforma giratoria

Jajaja, muy cierto, solemos tener todos los datos delante de las narices y muchísimas veces los apartamos sin más para enzarzarnos en cálculos innecesarios... Pero eso es lo que nos define como físicos, ¿no?

En cuanto a las contribuciones de la aceleración, equilicuá, no puede referirse a otra cosa. Yo he aplicado la fórmula de la aceleración relativa $a' = a - 2 \omega \times v' - \omega \times (\omega \times r)$ y de ahí las he separado como:
$-2 \omega \times v'$ -> Coriolis
$\omega \times (\omega \times r)$ -> Centrífuga

[Turing]

Re: Plataforma giratoria

Exactamente, eso nos define :P!!!

Yo demostraré de donde sale esa ecuación ya que estamos, siempre viene bien demostrar que "entiendes" las cosas haha.

Gracias por la ayuda Ines