Tensor de inercia.

[escarabajo]

Hola!

Tengo algunas dificultades para entender cómo calcular las entradas del tensor de inercia.

¿Alguien se anima a explicarme?

Saludos, y gracias.

[aLFRe]

Re: Tensor de inercia.

Hola!

Tengo algunas dificultades para entender cómo calcular las entradas del tensor de inercia.

¿Alguien se anima a explicarme?

Saludos, y gracias.

Hola.

Supongo que por entradas se refiere a los autovalores y/o direcciones principales del tensor.
A ver si se lo puedo indicar.
Si la representación del tensor en una cierta base viene dado por la matriz A
Estos vienen dados por la solución de la ecuación secular:
$det ( \lambda I - A ) = 0$
I es la matriz unidad.
La ecuación es un polinomio de grado 3 en $\lambda$

( poner esto como dudoso porque no lo recuerdo demasiado bién )
y se puede plantear de una forma más sencilla como
$\lambda^3 + \sigma_1 \lambda^2 + \sigma_2 \lambda + \sigma_3 = 0$
siendo $\sigma_i$ la suma de todos los menores diagonales de A de orden i
un menor diagonal es aquel que contiene elementos de la diagonal
el $\sigma_1$ es la traza de la matriz
( hasta aquí )

Una vez obtenido los autovalores $\lambda_i$,

1. suponiendo que son tres distintos
( el problema no tiene degeneración ) hay que obtener
los autovectores $\vec{u}_i$
que vienen dados por $\widehat{A} \vec{u}_i= \lambda_i \vec{u}_i$
sujetos a la condición de que sean unitarios
$u_{ix}^2+u_{i y}^2+u_{iz}^2= 1$

2. Si alguno de los autovalores tiene degeneración hay que construir la base
mediante ortogonalidad.
En una esfera cualesquiera tres vectores ortogonales son autovectores
En un cilindro tiene una dirección que es evidente y los otros dos vectores
deben de estar en el plano perpendicular a esta y ser perpendiculares entre si.

Saludos, espero que fuese aquello por lo que preguntaba y no haber metido mucho la pata.

[pod]

Re: Tensor de inercia.

Las nueve entradas del tensor de inercia son integrales de volumen (así que en el peor caso tendrás que hacer 27 integrales ). La forma general es

$$\begin{aligned}<br /> I_{ii} & = \int \!\! \dd V\ \rho (x_j^2 + x_k^2) \ , &\text{$i,j,k$ diferentes,}\\<br /> I_{ij} & = -\int\!\! \dd V\ \rho x_i x_j \ . & i \neq j \ .<br /> \end{aligned}$$

Luego procedes como cualquier integral de volumen; tienes que parametrizar la(s) frontera(s) del volumen de integración para elegir unos limites de integración adecuados. Incluso hacer un cambio de coordenadas... En fin, si lo que necesitas es un ejemplo, simplemente propón uno

[escarabajo]

Re: Tensor de inercia.

Hola!! Gracias a ambos por su respuesta.

Lo que necesitaba saber es un poco lo que dice Pod, pero ni bien termine de comprender cómo calcular el tensor entonces me vendrá muy bien tu aporte ,alfre.

Respecto al mensaje de Pod, $x_j, x_i, x_k$, ¿serían las coordenadas de cada punto del rígido respecto a la base {i,j,k} centrada en el punto sobre el que calculo el tensor?, ¿no?

Las entradas en la diagonal, ¿no son los momentos de inercia respecto a cada dirección?


Saludos.

PD:27 es un lindo número y a mi no me desagrandan las integrales, pero si me hacen calcular 27 integrales yo les doy 27 patadas en.....y la dejo por acá.

[pod]

Re: Tensor de inercia.

Los elementos de la diagonal son los momentos de inercia respecto los ejes coordenados. Lo que pasa que estos no serán los momentos de inercia principales a no ser que el resto de la fila y de la columna sea todo ceros.

En principio, $x_i$ son las coordenadas en cualquier base cartesiana. Otra cosa es que cuando tienes una vez planteada, entonces puedes cambiar de coordenadas para hacer la integral más fácil. Si lo que quieres es obtener la expresión general en otra base, simplemente aplica la matriz de cambio de base y a ver que churro te queda

[escarabajo]

Re: Tensor de inercia.

Perfecto, muchas gracias Pod.

Solo queda por decir: Bienvenidos serán los rígidos con simetrias.

Saludos!

[polonio]

Re: Tensor de inercia.

...y si el sólido no tiene simetrías, siempre es diagonalizable (elementos reales): así que puedes tener unos ejes (direcciones principales: autovectores) en los que el tensor es diagonal (los elemntos, diagonales, claro, son los momentos de inercia respecto a estos tres ejes): esto se calcula como dijo aLFRe. Entonces, siempre hay un elipsiones (de inercia) que se comporta dinámicamente igual que el sólido irregular que tengas.

Para calcular los elementos del tensor (que se hace como indicó pod) es bueno recurrir a unas coordenadas lo más cómodas posibles para hacer las integrales. Los problemas que vas a resolver casi siempre tienen alguna simetría que ayudan a elegir estas coordenadas.

A veces también es bueno usar el principio de superposición y descomponer el sólido en otros más simples y sumar sus tensores de inercia (¡respecto al mismo punto!).

[Jordiel]

Re: Tensor de inercia.

[FONT=Verdana]( poner esto como dudoso porque no lo recuerdo demasiado bién )[/FONT]
[FONT=Verdana]y se puede plantear de una forma más sencilla como[/FONT]
[FONT=Verdana]$\lambda^3 + \sigma_1 \lambda^2 + \sigma_2 \lambda + \sigma_3 = 0$[/FONT]
[FONT=Verdana]siendo $\sigma_i$ la suma de todos los menores diagonales de A de orden i[/FONT]
[FONT=Verdana]un menor diagonal es aquel que contiene elementos de la diagonal[/FONT]
[FONT=Verdana]el $\sigma_1$ es la traza de la matriz [/FONT]
[FONT=Verdana]( hasta aquí )[/FONT]

[FONT=Verdana]Creo que todo es correcto salvo en la fórmula para calcular $det ( \lambda I - A ) = 0$[/FONT]
[FONT=Verdana]$\lambda^3 + \sigma_1 \lambda^2 + \sigma_2 \lambda + \sigma_3 = 0$ , que exactamente debería ser [/FONT]
[FONT=Verdana]$\lambda^3 - \sigma_1 \lambda^2 + \sigma_2 \lambda - \sigma_3 = 0$[/FONT]